多边形及其内角和-教学设计.doc

11.3　多边形及其内角和
11.3.1　多边形
【教学目标】
知识与技能
(1)了解多边形及有关概念,理解正多边形的概念.
(2)区别凸多边形与凹多边形.

过程与方法
在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯.
情感、态度与价值观
体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气和信心.
【教学重难点】
重点:多边形及有关概念、正多边形的概念.
难点:区别凸多边形与凹多边形.
【教学过程】
一、情景导入
[投影1]看下面的图片,你能从中找出由一些线段围成的图形吗?

多边形及有关概念
这些图形有什么特点?
由几条线段组成;它们不在同一条直线上;首尾顺次相接.
这种在平面内,由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.
多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……、n边形.这就是说,一个多边形由几条线段组成,就叫做几边形,三角形是最简单的多边形.
与三角形类似地,多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角,如图中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E.多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.如图中的∠1是五边形ABCDE的一个外角.
　　[投影2]

连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线.
四边形有几条对角线?五边形有几条对角线?画图看看.
你能猜想n边形有多少条对角线吗?说说你的想法.
n边形有n(n-3)条对角线.因为从n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线,n个顶点共引n(n-3)条对角线,又由于连接任意两个顶点的两条对角线是相同的,所以,n边形有1/2n(n-3)条对角线.
凸多边形和凹多边形
[投影3]如图,下面的两个多边形有什么不同?

在图(1)中,画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线,整个图形都在这条直线的同一侧,这样的四边形叫做凸四边形,这样的多边形称为凸多边形;而图(2)就不满足上述凸多边形的特征,因为我们画BD所在直线,整个多边形不都在这条直线的同一侧,我们称它为凹多边形.
注意:今后我们讨论的多边形指的都是凸多边形.
正多边形的概念
我们知道,等边三角形、正方形的各个角都相等,各条边都相等,像这样各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形.
[投影4]下面是正多边形的一些例子.

二、课堂练习
课本21页练习第1、2题.
3.有五个人在告别的时候相互各握了一次手,他们共握了多少次手?你能找到一个几何模型来说明吗?
三、课堂小结
1.多边形及有关概念.
2.区别凸多边形和凹多边形.
3.正多边形的概念.
4.n边形对角线有1/2n(n-3)条.
四、布置作业
课本24页习题11.3第1题.

11.3.2　多边形的内角和
【教学目标】
知识与技能
1.了解多边形的内角、外角等概念.
2.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式,并会应用它们进行有关计算.
过程与方法
在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯.
情感、态度与价值观
体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气和信心.
【教学重难点】
重点:多边形的内角和与多边形的外角和公式.
难点:多边形的内角和定理的推导.
【教学过程】
一、复习导入
我们已经证明了三角形的内角和为180°,在小学我们用量角器量过四边形的内角的度数,知道四边形的内角和为360°,现在你能利用三角形的内角和定理证明吗?
多边形的内角和
[投影1]如图,从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线?它们将四边形分成几个三角形?那么四边形的内角和等于多少度?

可以引一条对角线;它将四边形分成两个三角形;因此,四边形的内角和=△ABD的内角和+△BDC的内角和=2×180°=360°.
类似地,你能知道五边形、六边形……n边形的内角和是多少度吗?
[投影2]观察下面的图形,填空:

从五边形一个顶点出发可以引　　　　对角线,它们将五边形分成　　　　三角形,五边形的内角和等于　　　　; 
从六边形一个顶点出发可以引　　　　对角线,它们将六边形分成　　　　三角形,六边形的内角和等于　　　　; 
[投影3]从n边形一个顶点出发,可以引　　　　对角线,它们将n边形分成　　　　三角形,n边形的内角和等于　　　　. 
n边形的内角和等于(n一2)·180°.
从上面的讨论我们知道,求n边形的内角和可以将n边形分成若干个三角形来求.现在以五边形为例,你还有其它的分法吗?
分法一　如图1,在五边形ABCDE内任取一点O,连结OA、OB、OC、OD、OE,则得五个三角形.
∴五边形的内角和为5×180°-2×180°=(5-2)×180°=540°.

分法二　如图2,在边AB上取一点O,连OE、OD、OC,则可以(5-1)个三角形.
∴五边形的内角和为(5-1)×180°-180°=(5-2)×180°.
如果把五边形换成n边形,用同样的方法可以得到n边形内角和=(n-2)×180°.
二、例题
[投影6]例1:如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角有什么关系?

如图,已知四边形ABCD中,∠A+∠C=180°,求∠B与∠D的关系.
【分析】∠A、∠B、∠C、∠D有什么关系?
解:∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°=360°,∠A+∠C=180°,
∴∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)=180°.
这就是说,如果四边形一组对角互补,那么另一组对角也互补.
[投影7]例2:如图,在六边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少?

如图,已知∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠6分别为六边形ABCDEF的外角,求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值.
【分析】多边形的一个外角同与它相邻的内角有什么关系?六边形的外角和是多少度?
解:∵∠1+∠BAF=180°,∠2+∠ABC=180°,∠3+∠BCD=180°,∠4+∠CDE=180°,∠5+∠DEF=180°,∠6+∠EFA=180°,
∴∠1+∠BAF+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEF+∠6+∠EFA=6×180°.
又∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=4×180°,

　　∴∠BAF+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠EFA=6×180°-4×180°=360°.
这就是说,六边形形的外角和为360°.
如果把六边形换成n边形可以得到同样的结果:
n边形的外角和等于360°.

对此,我们也可以这样来理解.
[投影8]如图,从多边形的一个顶点A出发,沿多边形各边走过各顶点,再回到A点,然后转向出发时的方向,在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和,由于走了一周,所得的各个角的和等于一个周角,所以多边形的外角和等于360°.
三、课堂练习
课本24页习题11.3第2、3题.
四、课堂小结
n边形的内角和是多少度?
n边形的外角和是多少度?
五、布置作业
课本24页第2、3题.