水平宽铅垂高求三角形面积.doc

作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法
------------二次函数教学反思
铅垂高

　　如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1\2 ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．

最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
D
B
A
O
y
x
P
C
B
A
O
y
x

B
C
铅垂高
水平宽
h
a
图1

例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.
解：（1）B（1，）
（2）设抛物线的解析式为y=ax(x+a)，代入点B（1, ），得，因此
（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小.
设直线AB为y=kx+b.所以，因此直线AB为，当x=－1时，，因此点C的坐标为（－1，/3）.
（4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D.

当x=－时，△PAB的面积的最大值为，此时.
例2．(2014益阳) 如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及；(3)是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
解：(1)设抛物线的解析式为：把A（3,0）代入解析式求得所以设直线AB的解析式为：由求得B点的图-2
x
C
O
y
A
B
D
1
1
坐标为 把，代入中 解得：所以
(2)因为C点坐标为(１,4)所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2所以CD＝4-2＝2(平方单位)
(3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，则由S△PAB=S△CAB得化简得：解得，将代入中，解得P点坐标为
例3．（2015江津）如图，抛物线与x轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.
解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代中得∴
∴抛物线解析式为：
(2)存在。 理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴对称
∴直线BC与的交点即为Q点， 此时△AQC周长最小 ∵
∴C的坐标为：(0，3) 直线BC解析式为： Q点坐标即为的解
∴∴Q(－1，2)
（3）答：存在。理由如下：
设P点∵若有最大值，则就最大，∴
＝＝
当时，最大值＝ ∴最大＝
当时，∴点P坐标为

同学们可以做以下练习：
1．（2015浙江湖州）已知如图，矩形OABC的长OA=，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC。
（1）填空：∠PCB=____度，P点坐标为（ ， ）；
（2）若P，A两点在抛物线y=－x2+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；
（3）在（2）中的抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点M，使得四边形MCAP的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由。

2．（湖北省十堰市2014）如图①， 已知抛物线（a≠0）与轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C．(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

图① 图②

3.(2015年恩施) 如图11，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B
两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，
点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC， 那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

图11
解：（1）将B、C两点的坐标代入得
解得： 所以二次函数的表达式为：
（2）存在点P，使四边形POPC为菱形．设P点坐标为（x，），PP交CO于E若四边形POPC是菱形，则有PC＝PO．
连结PP 则PE⊥CO于E，∴OE=EC= =．
∴= 解得=，=（不合题意，舍去）
∴P点的坐标为（，）
（3）过点P作轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，），易得，直线BC的解析式为则Q点的坐标为（x，x－3）.

=
当时，四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积．
25．（2015绵阳）如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；
（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积．
K
N
C
E
D
G
A
x
y
O
B
F
C
E
D
G
A
x
y
O
B
F

【解析】（1）由题意，得 解得，b =－1．
所以抛物线的解析式为，顶点D的坐标为（－1，）．
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M．因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH + CH最小，即最小为
DH + CH = DH + HB = BD =． 而 ．
∴ △CDH的周长最小值为CD + DR + CH =．
设直线BD的解析式为y = k1x + b，则 解得 ，b1 = 3．
所以直线BD的解析式为y =x + 3．由于BC = 2，CE = BC∕2 =，Rt△CEG∽△COB，
得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5，GO = 1.5．G（0，1.5）．同理可求得直线EF的解析式为y =x +．
联立直线BD与EF的方程，解得使△CDH的周长最小的点H（，）．
（3）如图所示，设K（t，），xF＜t＜xE．过K作x轴的垂线交EF于N．
则 KN = yK－yN =－（t +）=．
所以 S△EFK = S△KFN + S△KNE =KN（t + 3）+KN（1－t）= 2KN = －t2－3t + 5 =－（t +）2 +．
即当t =－时，△EFK的面积最大，最大面积为，此时K（－，）．

平面直角坐标系中三角形面积的求法

我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧.
1． 有一边在坐标轴上：
例1：如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），求△ABC的面积.
分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y轴上，
由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是
A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解.

2． 有一边与坐标轴平行：
例2：如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求△ABC的面积.
分析：由A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边AB
与y轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，就可求得线段
CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.                      

3． 三边均不与坐标轴平行：
例3：
分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接
求边长，也无法求高，因此得另想办法.

4． 三角形面积公式的推广：
过△ABC三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线，外侧两条
直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在
△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出
一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=ah
即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半
例4：已知：直线l1：y=﹣2x+6与x轴交于点A，直线l2：y=x+3与y轴交于点B，直线l1、l2交于点C．
(Ⅰ)建立平面直角坐标系，画出示意图并求出C点的坐标；
(Ⅱ)利用阅读材料提供的方法求△ABC的面积．

5． 巩固练习：
（1）已知：如图，直线与反比例函数（＜0）的图象相交于点、点，与轴交于点，其中点的坐标为（－2，4），点的横坐标为－4.
（Ⅰ）试确定反比例函数的关系式；
（Ⅱ）求△的面积．

（2）如图，在直角坐标平面内，函数（，是常数）的图象经过，，其中．过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，连结，，．
若的面积为4，求点的坐标；

（3）已知，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．且点P（1，a）为坐标系中的一个动点．
（Ⅰ）求三角形ABC的面积S△ABC；
（Ⅱ）请说明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数；
（Ⅲ）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值．

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