算法设计与分析习题答案1-6章.doc

习题1

图1.7 七桥问题
北区
东区
岛区
南区
1. 图论诞生于七桥问题。出生于瑞士的伟大数学家欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）提出并解决了该问题。七桥问题是这样描述的：一个人是否能在一次步行中穿越哥尼斯堡（现在叫加里宁格勒，在波罗的海南岸）城中全部的七座桥后回到起点，且每座桥只经过一次，图1.7是这条河以及河上的两个岛和七座桥的草图。请将该问题的数据模型抽象出来，并判断此问题是否有解。

七桥问题属于一笔画问题。
输入：一个起点
输出：相同的点
1， 一次步行
2， 经过七座桥，且每次只经历过一次
3， 回到起点
该问题无解：能一笔画的图形只有两类：一类是所有的点都是偶点。另一类是只有二个奇点的图形。

2．在欧几里德提出的欧几里德算法中（即最初的欧几里德算法）用的不是除法而是减法。请用伪代码描述这个版本的欧几里德算法

1.r=m-n
2.循环直到r=0
2.1  m=n
2.2   n=r
2.3  r=m-n
3 输出m

3．设计算法求数组中相差最小的两个元素（称为最接近数）的差。要求分别给出伪代码和C++描述。

//采用分治法
//对数组先进行快速排序
//在依次比较相邻的差
#include <iostream>
using namespace std;

int partions(int b[],int low,int high)
{
int prvotkey=b[low];
b[0]=b[low];
while (low<high)
{
while (low<high&&b[high]>=prvotkey)
--high;
b[low]=b[high];
while (low<high&&b[low]<=prvotkey)
++low;
b[high]=b[low];
}

b[low]=b[0];
return low;
}

void qsort(int l[],int low,int high)
{
int prvotloc;
if(low<high)
{
prvotloc=partions(l,low,high); //将第一次排序的结果作为枢轴
qsort(l,low,prvotloc-1); //递归调用排序 由low 到prvotloc-1
qsort(l,prvotloc+1,high); //递归调用排序 由 prvotloc+1到 high

}
}

void quicksort(int l[],int n)
{
qsort(l,1,n); //第一个作为枢轴 ，从第一个排到第n个
}

int main()
{
int a[11]={0,2,32,43,23,45,36,57,14,27,39};
int value=0;//将最小差的值赋值给value
for (int b=1;b<11;b++)
cout<<a[b]<<' ';
cout<<endl;

quicksort(a,11);

for(int i=0;i!=9;++i)
{
if( (a[i+1]-a[i])<=(a[i+2]-a[i+1]) )
value=a[i+1]-a[i];
else
value=a[i+2]-a[i+1];

}
cout<<value<<endl;

return 0;

}

4． 设数组a[n]中的元素均不相等，设计算法找出a[n]中一个既不是最大也不是最小的元素，并说明最坏情况下的比较次数。要求分别给出伪代码和C++描述。

#include<iostream>
using namespace std;

int main()
{
int a[]={1,2,3,6,4,9,0};
int mid_value=0;//将“既不是最大也不是最小的元素”的值赋值给它
for(int i=0;i!=4;++i)
{
if(a[i+1]>a[i]&&a[i+1]<a[i+2])
{
mid_value=a[i+1];
cout<<mid_value<<endl;
break;
}
else if(a[i+1]<a[i]&&a[i+1]>a[i+2])
{
mid_value=a[i+1];
cout<<mid_value<<endl;
break;
}
}//for

return 0;
}

5. 编写程序，求n至少为多大时，n个“1”组成的整数能被2013整除。

#include<iostream>
using namespace std;

int main()
{
double value=0;
for(int n=1;n<=10000 ;++n)
{
value=value*10+1;
if(value%2013==0)
{
cout<<"n至少为:"<<n<<endl;
break;
}
}//for
return 0;
}

6. 计算π值的问题能精确求解吗？编写程序，求解满足给定精度要求的π值

#include <iostream>
using namespace std;

int main ()
{
double a,b;
double arctan(double x);//声明
a = 16.0*arctan(1/5.0);
b = 4.0*arctan(1/239);
cout << "PI=" << a-b << endl;

return 0；
}
double arctan(double x)
{
int i=0;
double r=0,e,f,sqr;//定义四个变量初
sqr = x*x;
e = x;
while (e/i>1e-15)//定义精度范围
{
f = e/i;//f是每次r需要叠加的方程
r = (i%4==1)?r+f:r-f;
e = e*sqr;//e每次乘于x的平方
i+=2;//i每次加2

}//while
return r;
}

7. 圣经上说：神6天创造天地万有，第7日安歇。为什么是6天呢？任何一个自然数的因数中都有1和它本身，所有小于它本身的因数称为这个数的真因数，如果一个自然数的真因数之和等于它本身，这个自然数称为完美数。例如，6=1+2+3，因此6是完美数。神6天创造世界，暗示着该创造是完美的。设计算法，判断给定的自然数是否是完美数

#include<iostream>
using namespace std;

int main()
{
int value, k=1;
cin>>value;
for (int i = 2;i!=value;++i)
{
while (value % i == 0 )
{
k+=i;//k为该自然数所有因子之和
value = value/ i;
}

}//for
if(k==value)
cout<<"该自然数是完美数"<<endl;
else
cout<<"该自然数不是完美数"<<endl;

return 0;

}
8. 有4个人打算过桥，这个桥每次最多只能有两个人同时通过。他们都在桥的某一端，并且是在晚上，过桥需要一只手电筒，而他们只有一只手电筒。这就意味着两个人过桥后必须有一个人将手电筒带回来。每个人走路的速度是不同的：甲过桥要用1分钟，乙过桥要用2分钟，丙过桥要用5分钟，丁过桥要用10分钟，显然，两个人走路的速度等于其中较慢那个人的速度，问题是他们全部过桥最少要用多长时间？

由于甲过桥时间最短，那么每次传递手电的工作应有甲完成
甲每次分别带着乙丙丁过桥
例如：
第一趟：甲，乙过桥且甲回来
第二趟：甲，丙过桥且甲回来
第一趟：甲，丁过桥
一共用时19小时
9．欧几里德游戏：开始的时候，白板上有两个不相等的正整数，两个玩家交替行动，每次行动时，当前玩家都必须在白板上写出任意两个已经出现在板上的数字的差，而且这个数字必须是新的，也就是说，和白板上的任何一个已有的数字都不相同，当一方再也写不出新数字时，他就输了。请问，你是选择先行动还是后行动？为什么？

设最初两个数较大的为a, 较小的为b，两个数的最大公约数为factor。
则最终能出现的数包括: factor, factor*2, factor*3, ..., factor*(a/factor)=a. 一共a/factor个。
如果a/factor 是奇数，就选择先行动；否则就后行动。

习题4
1. 分治法的时间性能与直接计算最小问题的时间、合并子问题解的时间以及子问题的个数有关，试说明这几个参数与分治法时间复杂性之间的关系。

2. 证明：如果分治法的合并可以在线性时间内完成，则当子问题的规模之和小于原问题的规模时，算法的时间复杂性可达到O(n)。

O(N)=2*O(N/2)+x
O(N)+x=2*O(N/2)+2*x
a*O(N)+x=a*(2*O(N/2)+x)+x=2*a *O(N/2)+(a+1)*x
由此可知，时间复杂度可达到O(n);

3.分治策略一定导致递归吗？如果是，请解释原因。如果不是，给出一个不包含递归的分治例子，并阐述这种分治和包含递归的分治的主要不同。

不一定导致递归。
如非递归的二叉树中序遍历。
这种分治方法与递归的二叉树中序遍历主要区别是：应用了栈这个数据结构。

4. 对于待排序序列(5, 3, 1, 9)，分别画出归并排序和快速排序的递归运行轨迹。

归并排序：
第一趟：（5,3）（1,9）；
第二趟：（3,5,1,9）；
第三趟：（1,3,5,9）；
快速排序：
第一趟：5（ ,3,1,9）；//5为哨兵，比较9和5
第二趟：5（1,3, ,9）；//比较1和5，将1挪到相应位置；
第三趟：5（1,3, ,9）;//比较3和5；
第四趟：（1,3,5,9）;

5. 设计分治算法求一个数组中的最大元素，并分析时间性能。

//简单的分治问题
//将数组均衡的分为“前”，“后”两部分
//分别求出这两部分最大值，然后再比较这两个最大值

#include<iostream>
using namespace std;

extern const int n=6;//声明
int main()
{
int a[n]={0,6,1,2,3,5};//初始化
int mid=n/2;
int num_max1=0,num_max2=0;
for(int i=0;i<=n/2;++i)//前半部分
{
if(a[i]>num_max1)
num_max1=a[i];
}
for(int j=n/2+1;j<n;++j)//后半部分
{
if(a[j]>num_max2)
num_max2=a[j];
}
if(num_max1>=num_max2)
cout<<"数组中的最大元素： "<<num_max1<<endl;
else
cout<<"数组中的最大元素： "<<num_max2<<endl;

return 0;

}
时间复杂度：O（n）

6. 设计分治算法，实现将数组A[n]中所有元素循环左移k个位置, 要求时间复杂性为O(n)，空间复杂性为O(1)。例如，对abcdefgh循环左移3位得到defghabc。

//采用分治法
//将数组分为0-k-1和k-n-1两块
//将这两块分别左移
//然后再合并左移

#include <iostream>
using namespace std;

void LeftReverse(char *a, int begin, int end)
{
for(int i=0;i<(end-begin+1)/2;i++)//交换移动
{
int temp=a[begin+i];
a[begin+i]=a[end-i];
a[end-i]=temp;
}
}

void Converse(char *a,int n,int k)
{
LeftReverse(a, 0, k-1);
LeftReverse(a, k, n-1);
LeftReverse(a, 0, n-1);
for(int i=0;i<n;i++)
cout<<a[i]<<" ";
cout<<endl;
}
int main()
{
char a[7]={'a','b','c','d','e','f','g'};
Converse(a,7,3);
return 0;
}

7. 设计递归算法生成n个元素的所有排列对象。
#include <iostream>
using namespace std;

int data[100];

//在m个数中输出n个排列数（n<=m）
void DPpl(int num,int m,int n,int depth)
{
if(depth==n)
{
for(int i=0;i<n;i++)
cout<<data[i]<<" ";
cout<<endl;
}
for(int j=0;j<m;j++)
{
if((num&(1<<j))==0)
{ data[depth]=j+1;
DPpl(num+(1<<j),m,n,depth+1);
}
}//for
}
int main()
{
DPpl(0,5,1,0);
DPpl(0,5,2,0);
DPpl(0,5,3,0);
DPpl(0,5,4,0);
DPpl(0,5,5,0);

return 0;

}
8. 设计分治算法求解一维空间上n个点的最近对问题。

参见4.4.1最近对问题的算法分析及算法实现

9. 在有序序列(r1, r2, …, rn)中，存在序号i（1≤i≤n），使得ri=i。请设计一个分治算法找到这个元素，要求算法在最坏情况下的时间性能为O(log2n)。
//在有序数组中
//采用二分法查找符合条件的元素

#include<iostream>
using namespace std;

void Findnum(int *a,int n)
{
int low=0;
int high=n-1;

while(low<=high)
{
int mid=(low+high)/2;
if(a[mid]==mid)
{
cout<<"这个数是： "<<a[mid]<<endl;
break;

}
else if(a[mid]>mid)
high=mid-1;
else
low=mid+1;

}
}

int main()
{
int a[7]={1,0,2,5,6,7,9};
Findnum(a,7);

return 0;
}
时间复杂度为O(log2n)。

10. 在一个序列中出现次数最多的元素称为众数。请设计算法寻找众数并分析算法的时间复杂性。
//先对序列进行快速排序
//再进行一次遍历
//输出众数的重复次数

#include <iostream>
using namespace std;

int partions(int b[],int low,int high)
{
int prvotkey=b[low];
b[0]=b[low];
while (low<high)
{
while (low<high&&b[high]>=prvotkey)
--high;
b[low]=b[high];
while (low<high&&b[low]<=prvotkey)
++low;
b[high]=b[low];
}

b[low]=b[0];
return low;
}

void qsort(int l[],int low,int high)
{
int prvotloc;
if(low<high)
{
prvotloc=partions(l,low,high); //将第一次排序的结果作为枢轴
qsort(l,low,prvotloc-1); //递归调用排序 由low 到prvotloc-1
qsort(l,prvotloc+1,high); //递归调用排序 由 prvotloc+1到 high

}
}

void quicksort(int l[],int n)
{
qsort(l,1,n); //第一个作为枢轴 ，从第一个排到第n个

}

int main()
{
int a[10]={1,2,3,5,3,3,3,2,5,1};
int i=0;
int count=0;
int max=0;//max表示出现的次数
qsort(a,0,10);
while(i<10)
{
int j;
j=i+1;
if(a[i]=a[j]&&i<10)
{
count++;
i++;
}
if(count>max)
{
max=count;
count=0;
}

}//while
cout<<"重复次数："<<max<<endl;

return 0;

}

时间复杂度nlog(n)

11. 设M是一个n×n的整数矩阵，其中每一行（从左到右）和每一列（从上到下）的元素都按升序排列。设计分治算法确定一个给定的整数x是否在M中，并分析算法的时间复杂性。

12. 设S是n（n为偶数）个不等的正整数的集合，要求将集合S划分为子集S1和S2，使得| S1|=| S2|=n/2，且两个子集元素之和的差达到最大。

//先用快速排序进行一趟排序
//如果s1（大的数集）的的个数大于n/2
//将（i<=n/2-low-1）个最小的数排到后面
//如果s1（大的数集）的的个数小于n/2
//将s2（小的数集）n/2-low-1排到前面
//将排好的数组的前n/2个数赋值给s1
//将排好的数组的后n/2个数赋值给s2

#include<iostream>
using namespace std;
const int n=8;
void partions(int a[],int low,int high)
{
//进行一趟快排
int prvotkey=a[low];
a[0]=a[low];
while (low<high)
{
while (low<high&&a[high]<=prvotkey)
--high;
a[low]=a[high];
while (low<high&&a[low]>=prvotkey)
++low;
a[high]=a[low];
}
a[low]=prvotkey;

//如果s1（大的数集）的的个数大于n/2
if(low>=n/2)
{
for(int i=0;i<=n/2-low-1;++i)
{
for(int j=0;j<n-i;++j)
{
if(a[j]<a[j+1])
{
int temp=a[j];
a[j]=a[j+1];
a[j+1]=temp;
}
}//for
}
}//if

//如果s1（大的数集）的的个数小于n/2
else
for(int i=0;i<=n/2-low-1;++i)
{
for(int k=n-1;k<n-i;++k)
{
if(a[k]>a[k-1])
{
int temp1=a[k];
a[k]=a[k-1];
a[k-1]=temp1;
}
}//for
}

}

int main()
{
int a[n]={1,3,5,9,6,0,-11,-8};

partions(a,0,n-1);
for(int i=0;i<n;++i)
{
if(i<4)
{
cout<<"属于子集s1的："<<endl;
cout<<a[i]<<endl;
}
else
{
cout<<"属于子集s2的："<<endl;
cout<<a[i]<<endl;
}
}

return 0;

}

13. 设a1, a2,…, an是集合{1, 2, …, n}的一个排列，如果i<j且ai>aj，则序偶(ai, aj)称为该排列的一个逆序。例如，2, 3, 1有两个逆序：(3, 1)和(2, 1)。设计算法统计给定排列中含有逆序的个数。

//用归并进行排序
//当一个子集的一个数大于第二个子集的一个数，为逆序，即a[i]>a[j]
//则逆序数为end-j+1;

#include<iostream>
using namespace std;

int count;

void Merge(int a[],int a1[],int begin,int mid,int end)//合并子序列
{
int i=begin,j=mid+1,k=end;
while(i<=mid&&j<=end)
{
if(a[i]<=a[j])
a1[k++]=a[i++];//取a[i]和a[j]中较小者放入r1[k]
else
{
a1[k++]=a[j++];
count+=(end-j+1);
}
}
while(i<=mid)
a1[k++]=a[i++];
while(j<=end)
a1[k++]=a[j++];
}
void MergeSort(int a[ ], int begin, int end)
{
int mid,a1[1000];
if(begin==end)
return ;
else
{
mid=(begin+end)/2;
MergeSort(a,begin,mid);
MergeSort(a,mid+1,end);
Merge(a,a1,begin,mid,end);

}
}
int main()
{
int a[6]={6,5,4,3,2,1};
count=0;
MergeSort(a,0,6);
cout<<count<<endl;

return 0;
}

14. 循环赛日程安排问题。设有n=2k个选手要进行网球循环赛，要求设计一个满足以下要求的比赛日程表：
（1）每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次；
（2）每个选手一天只能赛一次。

采用分治方法。
将2^k选手分为2^k-1两组，采用递归方法，继续进行分组，直到只剩下2个选手时，然后进行比赛，回溯就可以指定比赛日程表了

15. 格雷码是一个长度为2n的序列，序列中无相同元素，且每个元素都是长度为n的二进制位串，相邻元素恰好只有1位不同。例如长度为23的格雷码为(000, 001, 011, 010, 110, 111, 101, 100)。设计分治算法对任意的n值构造相应的格雷码。

//构造格雷码

#include<iostream>
using namespace std;

int n;
char a[100];
void gelei(int k)
{
if(k==n)
{
cout<<a<<endl;
return;
}
gelei(k+1);
a[k]='0'?'1':'0'; //取反
gelei(k+1);
}
int main()
{

while(cin>>n && n != 0)
{
memset(a,'0',sizeof(a)); //初始化，全部置零

a[n] ='\0';
gelei(0);
cout<<endl;
}
return 0;
}

16. 矩阵乘法。两个n×n的矩阵X和Y的乘积得到另外一个n×n的矩阵Z，且Zij
满足 （1≤i, j≤n），这个公式给出了运行时间为O(n3)的算法。可以用分
治法解决矩阵乘法问题，将矩阵X和Y都划分成四个n/2×n/2的子块，从而X和Y的乘积可以用这些子块进行表达，即

从而得到分治算法：先递归地计算8个规模为n/2的矩阵乘积AE、BG、AF、BH、CE、DG、CF、DH，然后再花费O(n2)的时间完成加法运算即可。请设计分治算法实现矩阵乘法，并分析时间性能。能否再改进这个分治算法？

习题5

1. 下面这个折半查找算法正确吗？如果正确，请给出算法的正确性证明，如果不正确，请说明产生错误的原因。

int BinSearch(int r[ ], int n, int k)
{
int low = 0, high = n - 1;
int mid;
while (low <= high)
{
mid = (low + high) / 2;
if (k < r[mid]) high = mid;
else if (k > r[mid]) low = mid;
else return mid;
}
return 0;
}
错误。
正确算法：
int BinSearch1(int r[ ], int n, int k)
{
int low = 0, high = n - 1;
int mid;
while (low <= high)
{
mid = (low + high) / 2;
if (k < r[mid]) high = mid - 1;
else if (k > r[mid]) low = mid + 1;
else return mid;
}
return 0;
}

2. 请写出折半查找的递归算法，并分析时间性能。

//折半查找的递归实现

#include<iostream>
using namespace std;

int digui_search(int a[],int low,int high,int x)
{
if (low > high)
return 0;

int mid = (low+high)/2;
if (a[mid] == x)
return mid;
else if (a[mid] < x)
digui_search(a,low,mid-1,x);
else
digui_search(a,mid+1,high,x);
}
int main()
{
int a[6]={0,1,2,9,5,3};
int result=digui_search(a,0,5,5);

cout<<a[result]<<endl;
return 0;

}

3. 修改折半查找算法使之能够进行范围查找。所谓范围查找是要找出在给定值a和b之间的所有元素（a≤b）

修改第二题算法并实现：

//折半查找算法使之能够进行范围查找

#include <iostream>
using namespace std;

//折半进行范围查找函数：
void digui_search(int min, int max, int a[], int low, int high)
{
int mid;
mid=(low+high)/2;
if(a[mid]<min)
digui_search(min, max, a, mid, high);
else if(a[mid]>max)
digui_search(min, max, a, low, mid);
else
{
for(int i=mid; a[i]>=min && i>=low; i--)
cout<<a[i]<<" ";
cout<<endl;
for(int j=mid+1; a[j]<=max && j<=high; j++)
cout<<a[j]<<" ";
cout<<endl;
}
}

void main()
{
int r[6], min, max;
cout<<"请输入数组元素："<<endl;
for(int i=0; i<6; i++)
cin>>r[i];
cout<<"请输入查找范围最小值min和最大值max："<<" ";

cin>>min>>max;

digui_search(min, max, r, 0, 5);
cout<<endl;

}

4. 求两个正整数m和n的最小公倍数。（提示：m和n的最小公倍数lcm(m, n)与m和n的最大公约数gcd(m, n)之间有如下关系：lcm(m, n)=m×n/gcd(m, n)）

//求两个数的最小公倍数

#include<iostream>
using namespace std;

int main (void)
{
int a,b;
int i=1;

cin>>a>>b;
while((i%a!=0)||(i%b!=0))
++i;
cout<<"a,b最小公倍数为："<<i<<endl;

return 0;
}
(该算法比较直接，要使其改进，可用欧几里得算法求得两个数的最大公约数，然后套用上面的公式再求最小公倍数)

5. 插入法调整堆。已知（k1, k2, …, kn）是堆，设计算法将（k1, k2, …, kn, kn+1）调整为堆（假设调整为大根堆）。
参照：
void SiftHeap(int r[ ], int k, int n)
{
int i, j, temp;
i = k; j = 2 * i + 1; //置i为要筛的结点，j为i的左孩子
while (j < n) //筛选还没有进行到叶子
{
if (j < n-1 && r[j] < r[j+1]) j++; //比较i的左右孩子，j为较大者
if (r[i] > r[j]) //根结点已经大于左右孩子中的较大者
break;
else {
temp = r[i]; r[i] = r[j]; r[j] = temp; //将被筛结点与结点j交换
i = j; j = 2 * i + 1; //被筛结点位于原来结点j的位置
}
}
}
进行调堆！

6. 设计算法实现在大根堆中删除一个元素，要求算法的时间复杂性为O(log2n)。

//将要删除的a[k]与最后一个元素a[n-1]交换
//然后进行调堆

void de_SiftHeap(int r[ ], int k, int n)
{
int i, j, temp,temp1;
i = k; j = 2 * i + 1;
if(i<0||i>n-1)
return error;
else if(i==n-1)
free(a[i]);
else //置i为要筛的结点，j为i的左孩子
while (j < n) //筛选还没有进行到叶子
{
temp1=a[i]; //将a[n-1]与a[k]交换；
a[i]=a[n-1];
a[n-1]= temp1;
if (j < n-1 && r[j] < r[j+1]) j++; //比较i的左右孩子，j为较大者
if (r[i] > r[j]) //根结点已经大于左右孩子中的较大者
break;
else {
temp = r[i]; r[i] = r[j]; r[j] = temp; //将被筛结点与结点j交换
i = j; j = 2 * i + 1; //被筛结点位于原来结点j的位置
}
}
}

n m
50 65
25 130 130
12 260
6 520
3 1040 1040
1 2080 2080
3250
图5.15 俄式乘法
+
7. 计算两个正整数n和m的乘积有一个很有名的算法称为俄式乘法，其思想是利用了一