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第5章 粘性流体动力学基本方程组
5.1 粘性流体动力学基本方程
流体运动所遵循的规律是由物理学三大守恒定律规定的，即质量守恒定律，动量守恒定律和能量守恒定律。 这三大定律对流体运动的数学描述就是动力学基本方程组。 但这个方程组是不封闭的，要使其封闭还需加上辅助的物性关系等。 一般情况下，现在还求不出这个方程组的解析解，但研究这个方程组的性质却具有极其重要的意义，因为所有的流动现象都是由这个方程组所规定的。
粘性流动的一个基本特征是流动的有旋性。 因此研究涡的产生、输运和扩散就是很重要的了。 这些性质也都是由流体动力学基本方程组所规定的。
对流体运动的描述有两种方法，即拉格朗日法和欧拉法；对基本定理的数学表述也有两种方法，即积分形式和微分形式。 本章将采用欧拉法和微分形式来表述基本方程。

5.1.1 质量守恒定律——连续方程
连续方程是质量守恒定律在运动流体中的数学表达式。 由于不涉及力的问题，因此粘性流体力学与非粘性流体方程完全相同，在非粘性流体中所做的推导和讨论在这里全部有效。
考察流体通过一微元体的界面所引起的微元体内质量的变化问题。 根据质量守恒定律，单位体积上通过微元体界面流出的质量流量即矢量的散度，它应等于微元体内单位时间单位体积所减少的质量：
(5.1.1)
展开后得：
(5.1.2)
连续方程表示单位时间内流人流出微元体的质量必与密度变化相平衡。
对于定常流，此式可变为：
(5.1.3)
(5.1.4)
对于不可压缩流，(5.1.2)式变为：

即 = 0 (5.1.5)
由张量分析的知识可知，是应变量张量的主对角线上三元素之和，恒为常数，表示微元体的体积变化率。 式(5.1.5)表示总的体积变化率为零，与流体的不可压缩一致。

5.1.2 动量守恒定律——运动方程
粘性流体的运动方程是动量守恒定律对于粘性流体运动规律的数学表述，可由牛顿第二定律推出。 以微元体为分析对象则可表述为：在惯性系中，流体微元体的质量和加速度的乘积等于该微元体所受外力的合力。 对于流体运动应考虑两类外力：一为彻体力（用来表示），它是作用在微元体上所有质量上的力，如重力；另一类为表面力（用来表示），它是作用在微元体界面上的力，如压力、摩擦力等。 运动方程可写成如下向量形式：
(5.1.6)
其中微分符号
(5.1.7)
称为物质导数或随体导数，它所代表的是微团的某性质对时间的变化率。 例如，是该微团的速度随时间的变化率，即加速度，亦即
(5.1.8)
从欧拉法的观点看，此式右端第一项由流动的非定常性引起，称为当地加速度；右端第二项由流场中速度分布的不均匀性引起，表示经时间后由于微团空间位置的变化而引起的速度的变化，称为迁移加速度。
式(5.1.6)中的彻体力可表示成：
(5.1.9)
在这里彻体力可以看成是已知的外力，而表面力则和流体速度场的变形情况有关。 它决定了流体的应力状态。 所以我们分别研究流体的应力和应变变化率后，将建立它们之间的关系。
为了写出表面力的式子，我们从流体中取出正六面微元体(图5-1)。 它的左下方的点的坐标为(x，y，z)。 对于垂直于x轴的两个微元面上分别作用了如下的合应力(应力即单位面积上的作用力)：和

图 5-1 微元体的应力张量
这里的注足x表示x方向上的应力向量，则作用在垂直于x轴的微元面上的应力的合力为：
(5.1.10)
同样可得作用在垂直于y轴和z轴的微元面上的应力的合力分别为：
，
于是可得作用于单位容积的表面力的合力向量为
(5.1.11)
式中，和都是向量，还可以把它们沿三个坐标方向分解，即分解为正应力和平行于各微元面的切应力。 例如，作用于与x轴垂直的微元面上的应力可分解为（图5-1）：
(5.1.12a)
同理有 (5.1.12b)
(5.1.12c)
式中注足是这样规定的：正应力的注足代表应力的方向，切向力的第一个注足代表与切应力所在平面垂直的方向，第二个注足代表切应力的方向。 例如，表示作用在与x轴垂直的平面上沿y向的切应力。 由式(5.1.12)可见，要完全描述微元体上应力需要九个标量。 这九个标量就组成了应力张量，表示为
(5.1.13)
容易证明这个张量是对称的，由式(5.1.11)，(5.1.12)和(5.1.13)可写出如下的单位容积的表面力公式。
x方向分量
y方向分量 (5.1.14)

yz
面
上
的
量

xy
面
上
的
量

zx
面
上
的
量
z方向分量

将(5.1.14)式代入(5.1.6)式则得：
(5.1.15)
此方程是牛顿第二定律的严格表述，没有任何假设。 将广义牛顿粘性应力公式：
(5.1.16)
代入(5.1.11)式，并运用张量分析中有关应力张量公式和应变变化公式，可得到：
(5.1.17)
或
(5.1.18)
展开得：
(5.1.19a)
(5.1.19b)
(5.1.19c)
这就是粘性流体的运动方程，即纳维—斯托克斯方程。 由于一般情况下是温度的函数，所以方程很复杂。 对于常用的情况，可以不考虑随空间位置的变化，于是可作为常量考虑写到导数之外。 方程可进一步改写。 例如，对方程的第一个式子可写为：

(5.1.20)
采用爱因斯坦约定方法方程可进一步写成：
(5.1.21)
或
(5.1.22)
对于不可压缩流体，由于连续方程

则运动方程成为：
(5.1.23)
或
(5.1.24)
由矢量公式：
(5.1.25)
可将公式(5.1.22)和(5.1.24)分别改写为：
(5.1.26)
(5.1.27)
上式通常称为葛罗米柯—兰姆型运动方程。 其中为涡量。

图5-2两微元体之间的作用力
由公式(5.1.14)、(5.1.17)、(5.1.18)和(5.1.20)可见，与理想流体运动方程相比，粘性流体运动方程增加了粘性应力项。 以图5-2所示的以不同流速运动的两微元体为例，对于理想流体，通过界面，微元体只对微元体作用了压力；而对于粘性流体，除正应力外，微元体还对微元体作用了粘性切应力，而且正应力的大小也不等于压力，由牛顿公式可以得到

这些就是粘性引起的差别。
应当指出，尽管在粘性流体中几乎处处存在粘性应力，但并不是在任何地方它都重要。 由公式(5.1.14)、(5.1.17)、(5.1.18)和(5.1.20)可见，只在速度梯度变化剧烈的地方粘性应力才起重要作用。

5.1.3 能量守恒——粘性流体的能量方程
在这一节中主要分析粘性流体中能量的转换和输运过程，特别是粘性应力在这过程中所起的作用。
1.动能方程
首先分析描写动能变化的关系。 将式(5.1.19)的三个分量分别乘以对应的分速度后相加，可得：
(5.1.28)
采用取和约定，则上式可记为：
(5.1.29)
注意

则(5.1.29)式可进一步写为：

(5.1.30)
本式左端是单位质量流体动能的物质导数，表示流体微团单位质量的动能随时间的变化率。
右端第一项是单位时间内彻体力对单位质量所作的功。
右端第二项是单位时间内粘性力对运动的单位质量流体所输运的机械能。 由图5-3可见，上一层流体通过粘性剪切力对微元体所作的功为：

而微元体对下层流体所作的功则为，所以微元体净得能量为：

(5.1.31)

图5-3 粘性力输运机械能

则单位体积和单位质量在单位时间内得到的能量分别为和 。 可见，在这里粘性剪切力起了输运能量的作用。 它依次把上一层流体的部分能量输送给下一层。 这种输运能量的方式在理想流体中是不存在的。
对于粘性正应力也可作类似的计算。 不过它不是不同流层之间的能量输运，而是前后微团对微元体所作功的差别。
将粘性输运功项进行容积积分，则由斯托克斯定理可得
(5.1.32)
其中 ——微元面的单位法向矢量。
若积分域为封闭容器，则壁面上，于是由右端可见，整个容积积分为零。 这表明粘性力输运能量并不改变容积内能量的总和，它只改变能量在空间的分布。 正是在这个意义上称之为输运项。
方程(5.1.30)右端第三项是单位时间内压力对单位质量流体所作的功，即流动功。
右端第四项中的是体积膨胀率，它与压力p的乘积代表单位时间的膨胀功。
右端第五项是单位时间内粘性力所作的变形功。 它与第二项有原则的不同，第二项是通过粘性力所完成的能量输运，它把机械能从这一部分流体输运给另一部分流体，而能量的形式未发生变化。 第五项则不同，它类似于固体力学中塑性变形功，它是流体对抵抗变形的粘性力所作的功，它把流体运动的机械能不可逆转的转换为热量而消耗，所以称为耗散项。 耗散函数为：

(5.1.33)
由此式可见，耗散项总是正的。 它在空间的任何位置都将机械能耗散为热能，它属于“源”项（对机械能而言它是负的能源），而不属于输运项。
耗散函数可用张量形式写出：
(5.1.34)
耗散函数表示单位时间单位体积内机械能耗散成的热能。 对于不可压流，，则得
(5.1.35)
单位质量的耗散率可写为：
(5.1.36)
不可压缩流为：
(5.1.37)
可见，耗散率与应变变化率的平方成正比。 对于层流运动，只在边界层内靠近壁面处有大的速度梯度，因此产生大的耗散，而在其他区域耗散则很小。 对于湍流运动，则不仅在边界层内紧靠壁面处，而且在两个很靠近的旋涡之间都可以有很大的应变变化率，因此产生很大的耗散。
根据以上分析，可以归结如下：流体微团动能沿迹线的变化率取决于单位时间内彻体力所作的功、通过粘性力和压力与相邻微团的机械能交换、膨胀功以及粘性力对机械能的耗散等因素。 在任何情况下，粘性耗散总使动能减小。

2.内能方程

如代表单位质量流体的内能，则单位时间单位体积中微团内能的增量为

此能量的增量来自三个方面：第一，来自
吸收热辐射、化学反应及燃烧等产生的外
加热。 记单位时间内由此加给单位质量流体的热能为。 第二，来自热传导，设单位时间内从微元体左侧的单位面积上流入的热量为，则通过与x轴垂直的两个微元面流出流入的热量差为

则单位时间单位容积内减少的热量共为

第三，来自应力张量所作的变形功，即

考虑到流出微元体的热量总是使其内能减少，所以可得
(5.1.38)
可见，耗散项的作用在于消耗机械能以提高内能，而膨胀做功则使内能降低。
由于耗散函数体现了粘性力将机械能耗散为热能这一不可逆的作用，所以它应与熵联系起来。 对于完全气体，熵增与内能变化有如下关系：
(5.1.39)
而由连续方程可得
(5.1.40)
将(5.1.38)、(5.1.40)代入(5.1.39)得到
(5.1.41)
可见，耗散的作用总是使熵增加的。
根据焓和内能的关系
(5.1.42)
考虑到公式(5.1.42)，则由内能方程可得焓方程
(5.1.43)
引入定容比热和定压比热，有如下关系
(5.1.44)
并利用傅立叶热传导定律：

则式(5.1.38)和(5.1.43)可分别写为
(5.1.45)
和
(5.1.46)
当温度变化不大时，热传导系数k可近似看成常数，则(5.1.45)和(5.1.46)式变成
(5.1.47)
和
(5.1.48)
对于液体，或者低马赫数运动的气体，可看成不可压缩的，，且，则(5.1.47)和(5.1.48)式可归纳为
(5.1.49)
对于低速流，耗散项也很小。 由于它与典型速度平方成正比，因而可以忽略，得到
(5.1.50)
3.总能量方程
动能方程和内能方程分别从机械能和热能的角度研究了粘性流体运动过程中能量的传递和转换问题。 下面分析总的能量平衡关系。 将(5.1.30)和(5.1.38)式相加得：
(5.1.51)
右端最后一项为：

代入上式则得到：
(5.1.52)
其中，是单位工质的焓。 此式就是粘性流体的能量方程，其左端为总焓的变化率，它取决于右端各项的总和。
与理想流体相比，粘性流体的能量方程(5.1.52)多了一项。 这项的存在说明，即使没有外热、热传导和彻体力做功等项，粘性流体微团的总焓沿迹线也是变化的，这是因为粘性应力能够在相邻迹线之间输运能量。
从(5.1.52)式还可以看出，式中并不显式地包含粘性耗散函数，这是因为粘性耗散仅仅引起能量形式的改变，即是说，它将所耗散的机械能都以热能的形式加到了微团中，从形式看并没有引起微团总能量的变化。 但若考虑到由于粘性耗散的存在而改变了整个流场的内能分布，则与此有密切联系的热传导的情况也将改变，即项将有所变化，也会改变微团的总焓。 所以，粘性耗散虽然不显式地影响总的能量平衡，但它的影响仍然隐含在里面。

5.2 方程组的封闭性
所谓封闭性问题（closure problem）是指方程组所具有的方程数目是否等于所出现的未知函数的数目的问题。 只有当这两者相等时，方程组的解才可能唯一存在，这是一般的数学原则。
引入广义牛顿粘性摩擦公式和关于体积粘性系数的假设后，流体动力学方程组所包含的方程为质量方程、动量方程和能量方程；所包含的未知数有、、、、、和，共八个（这里把矢量作为一个量看待），而方程数目仅三个，因此还需补充其他假设条件和物理关系式。 通常假设彻体力和外热是已知的。 我们需要再建立热力学参数之间和它们与单位面积的热流密度矢量之间的关系。 对处于不同条件下的不同工质，目前还未能找到联系各热力学参数之间的普遍实用关系式。 对于空气等气体，常采用完全气体假设，它们满足如下的状态方程和热焓关系：

式中 ——定压比热容
——气体常数，若温度变化不大，可将它们取为常数。
通常采用傅立叶定律计算热流密度矢量。 而对热传导系数和粘性系数则可采用公式：
(5.2.1)
如果温度变化不大，也可设其为常数。
利用以上的假设和关系，就可使可压缩粘性气体动力学方程组封闭。 能量方程既可用内能方程，也可用热焓方程或总焓方程
对于不可压缩流体，密度为已知的常数，所以由质量方程和动量方程已构成一个关于压力和速度的封闭方程组，即可由此解出压力和速度后再由能量方程求解温度。 由于不可压缩流的能量方程并不与质量方程和动量方程一道联立求解，所以称为非耦合的；对于可压缩流，质量方程、动量方程和能量方程则必须联立求解，称为耦合的。
5.3 方程的数学性质
在前面我们已经推导出粘性流体流动的基本方程组，方程组是二阶非线性偏微分方程。 对于非线性偏微分方程，在一般情况下都是使用数值分析方法去求解的。 对于一个具体的问题，哪个数值分析方法最适用，是取决于控制此流动的偏微分方程的类型的。
根据偏微分方程理论，可按方程组的数学性质将其分为不同的类型。 这是因为定解条件的提法、解的性质以及数值求解过程的基本方式都是由方程的类型决定的。
一般的二阶偏微分方程可表示为：
(5.3.1)
式中系数、、和可能是的非线性函数，但不包含的二阶偏导数。 此方程的类型可由判别式来判定

由此看出：
拉普拉斯方程 (5.3.2)
属椭圆型方程。
波动方程 (5.3.3)
属双曲型方程。
扩散方程 (5.3.4)
属抛物型方程。
用特征线理论分析这三种方程：双曲型方程具有一对实特征曲线；抛物型方程的一对实特征曲线退化为一条特征曲线；椭圆型方程没有特征曲线。 不同类型的方程所具有的不同性质可由解的依赖域与影响域之间的关系反映出来。 若求解域为R，其边界为B，所谓域R中某点P的依赖域是指边界B上的一个域，在该区域中点P处解的值依赖于该区域上每一点的函数值，而与边界B上该区域外任何点处的值无关。 图5-4中边界B上用符号“+”画出的部分表示点P的依赖域。

图5-4 三类典型方程P点的依赖域
(a) 椭圆型 (b)抛物型 (c) 双曲型
一般情况下，椭圆型方程具有这样的性质，即任何一点的依赖域是一个完全包围此点的封闭曲线，如图5-4(a)。 对于抛物型和双曲型方程则不是这样，某一点的依赖域范围由通过该点的特征曲线与边界B的交点决定。 图5-4和图5-5上画的特征线都是直线，但非线性方程的特征线不一定是直线。

图5-5 三种典型方程的影响域（用阴影表示）
（a） 椭圆型（b）抛物型 （c）双曲型

点P的影响域是R中的一个区域，在该区域内方程的解受点P的解的影响。 图5-5阴影部分表示点P的影响域。 可见，对于椭圆方程，一点的影响遍及整个区域，而整个区域也会影响任何一点的状态。 对于抛物型方程，P点的影响只涉及P点“以后”或“下游”的半无限区域。 而双曲型方程的影响域则是由过点P的两条特征线所界出的“下游”区域。
纳斯—斯托克斯方程组的分类和数学性质虽然原则上可以偏微分方程组的特征理论来研究，但具体分析很复杂，目前还没有完全解决，这里主要从物理上讨论这一问题。
当粘性趋于零时，纳斯—斯托克斯方程组退化为欧拉方程组。 对于无粘定常的理想气体流动，在亚声速时扰动可以传遍整个空间，而在超声速时扰动的传播则只能局限在马赫锥范围内。 这种物理上的本质差别在数学上的表现为：对于描述无粘定常的流体动力学方程组，在亚声速流动时没有实特征曲面，归属于椭圆型方程；在超声速流动时则存在实特征曲面，归属于双曲型方程。
当粘性很大，使平流项和压力梯度项都可忽略时，纳斯—斯托克斯方程退化为扩散方程，在多维情况下可写成：
(5.3.5)
这是典型的抛物型方程。 在时刻，空间内某一点发生的扰动在时即可传遍整个空间，对于的整个空间也都受影响，但其影响不能上溯到的状态。 即是说，其影响域是以等于常数的超平面为界面，此即其特征曲面。
在一般情况下（不属于上述的粘性特别小或特别大的极限情况），纳斯—斯托克斯方程组应兼有欧拉方程组和扩散方程的性质。 即非定常可压纳斯—斯托克斯方程组属于抛物—双曲混合型，或称为不完全的抛物型。 其抛物属性是指在动量和能量方程中含有二阶导数项，即粘性和热扩散项；其双曲属性对应于非定常欧拉方程组。
对于定常可压情况，就其存在扩散项而言，它具有椭圆属性。 当粘性项小时这种属性更强。
对于定常不可压缩流，方程组为椭圆型，对于非定常不可压缩流，方程组为抛物型。
现以高雷诺数定常超声流为例定性说明纳斯—斯托克斯方程组所具有的上述双重属性。 由动量方程和能量方程都可看出，粘性和热扩散项的大小不仅取决于粘性系数和热扩散系数本身，而且还和当地的和等有关。 通常，边界层和激波厚度以外的区域中的和都很小，所以在这些区域中忽略粘性和热传导所得到的结果与实际流场几乎没有差别。 从这个意义上讲，纳斯—斯托克斯方程仍保留有欧拉方程的性质。 在边界层和激波厚度内则不同，这些区域内和很大，粘性和热传导的作用不能忽略，边界层和激波的存在，特别是它们的相互作用，将或多或少地影响整个流场，这正体现了定常情况下方程组的椭圆性质。 严格来讲，流场中的每一点都有上述双重属性，只是不同的区域，不同的属性有强弱不同的表现。

5.4 初始条件和边界条件
根据现在的一般看法，前面导出的纳斯—斯托克斯方程组正确反映了诸如空气和水等典型流体的运动规律，但是仅由纳斯—斯托克斯方程组本身还不能确定流动的具体状态，因为流动的状态还与初始情况和边界情况有关。 即为了从基本方程组得到适合于具体问题的确定解，必须对基本方程组补充确定的条件。 一般包括初始条件和边界条件。
定解条件的规定应根据方程的类型而确定。 以拉普拉斯方程为代表的椭圆型方程只能规定边界条件；以扩散方程为代表的抛物型方程应规定一个初始条件和边界条件；以波动方程为代表的双曲型方程除边界条件外还应规定两个初始条件。
对于典型的线性方程，为保证适定性所要求的定解条件的提法问题已完全解决了；但对于非线性的纳斯—斯托克斯方程组，这一问题并没有完全解决，也没有处理这一问题的完整理论，这与至今未能完全认识纳斯—斯托克斯方程组的数学性质有关。 为了规定定解条件，只能依靠物理方面的理由，然后依靠已知的数学结果和对问题的正确思考和判断。

5.4.1 初始条件
在初始时刻，方程组的解应等于该时刻给定的函数值。 在数学上可以表示为
在时，

式中 、、、为时刻的已知函数。
对于定常流比较复杂，对椭圆方程无需给定初始条件，而对抛物型与双曲型方程仍需给初始条件。

5.4.2 边界条件
在运动流体的边界上，方程组的解所应满足的条件称为边界条件。 边界条件随具体问题而定，一般来讲可能有以下三种情况：边界为固体壁面(包括可渗透壁面)、不同流体的分界面(包括自由液面、气液界面、液液界面)及流动的入口和出口断面。 下面分别予以讨论。

1.流体与固体接触面上的边界条件
当固体壁面不可渗透时，粘性流体质点将粘附于固体壁面上，即满足所谓无滑移条件。
此时 (5.4.1)
与是在固体壁面处流体的速度与固体壁面运动的速度。 对不动壁面，则
(5.4.2)
对于非粘性流体，则可以滑移，但应有
(5.4.3)
下标表示壁面法向方向上的分量。
除上述流动边界条件外，还可以写出温度边界条件，即所谓无跳跃条件。 可以给出
与是在固体壁面处流体的温度与固体壁面的温度。 或者给出
(5.4.4)
表示通过单位面积传导的热量、简称壁面热流量；是壁面外法线方向上的温度梯度，通常定义从固体壁面向流体传导的热量为正。
如固体壁面是可渗透的则需根据具体的渗透速度来确定其边界条件。

2.不同流体分界面上的边界条件
一般包括两种不同液体的分界面，液体与蒸汽的分界面，液体与大气的分界面（即所谓自由液面）。
对于不同液体的分界面。 根据分子运动论与实验证实，在一般情况下，两种液体的分界面上的速度、温度和压力都是连续的，即
，，，
下标1、2分别表示两种不同的液体。
对于液体与蒸汽的分界面，如果不考虑液面上饱和蒸汽区中的动量、热量和质量交换，则可以将汽液分界面上的边界条件写为
(5.4.5)
其中，是液体在平均液面的垂直方向上的速度，是液面在垂直于平均液面方向的高度。 这一边界条件表示，在液面上，液体在平均液面的垂直方向上的速度等于液面的垂直波动速度。
此外，可以近似认为
，
当液面上为大气压时，是上述情况的特例。 实际上，应该注意到，对于汽液分界面来讲，有时必须考虑到汽液的动量、热量与质量的交换。

3.流道入口和出口断面上的边界条件
在有些情况下，特别是内流问题，往往与流道入口与出口断面的速度、压力、温度分布有关，这些参数即为入口和出口断面的边界条件。

5.5 基本方程的适定性和适用性分析
上节我们讨论了基本方程的初边值问题，知道一个封闭的微分方程组，加上适当的初始条件和边界条件，才可能确定具体的解，从而构成一个定解问题。 一个定解问题提得是否符合实际情况，可以从三个方面加以检验。
1. 解的存在性，即看所归结出来的定解问题是否有解。
2. 解的唯一性，即看是否只有一个解。
3. 解的稳定性，即看当定解条件有微小变动时，解是否相应地只有微小的变动，如果确实如此，则称此解是稳定的。
如果一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题称为适定的。

5.5.1 纳维—斯托克斯方程组适定性分析
我们讨论的纳维-斯托克斯方程组的定解问题的适定性非常复杂，我们只能从流动的实际表现来描述这一问题。
解的存在性没有任何问题，因为任何初边值条件下实际的物理流动总是存在的，所以我们如果承认纳维-斯托克斯方程组是能正确反映实际流动的数学模型，而且定解条件规定的正确，则解应是存在的。
解的唯一性和稳定性应分不同的流态来讨论。 其中低雷诺数对应于层流运动。 对这种流动，若规定正确的定解条件，则解是唯一的，稳定的。 实验和理论均可证实这一结论。 实验还进一步发现，对于同样的边界条件，若有两种不同的初始扰动，且扰动能量不大，对于足够低的雷诺数，这些初始扰动会逐渐衰减而最终消失，而整个流场则趋于完全相同的定常流动。
高雷诺数的流动就不完全一样了，方程可以有多种解，解的非唯一性是其特征。 对于湍流运动，相同的定常边界条件可以有完全不同的非定常的湍流脉动，我们找不出边界条件与湍流脉动细节的直接联系。 尽管湍流运动的细节可以千差万别，其平均运动却与边界条件密切相关，即是说只在有限程度上流体运动按边界条件的规定进行，而在更大程度上，流体运动却有自己的独立“意志”，它按自己的方式行事，而不管边界条件的规定如何。
从数学上说，给定的初始条件和边界条件与给定了系数的纳斯-斯克托斯方程组构成了一个确定性的动力学系统，这个系统应给出一个确定性的过程。 但在高雷诺数时，这种过程对初始条件极其敏感，它会仅由于初始条件的微小差别而发展成完全不同的流动。 所以，从物理上看，这种确定性系统也可能得到类似于随机的，非确定性的结果。 这些现象都与纳斯-斯托克斯方程组的非线形有关，它们涉及分叉，混沌，稳定性和湍流理论，难以归入定解条件适定性的经典理论范畴。

5.5.2 纳维—斯托克斯方程组的适用性
纳维—斯托克斯方程组是根据质量，动量和能量三大守恒定律建立起来的，但推导过程中引入了一些假设。 方程组的实用性问题实质上就是这些假设是否正确的问题。 所引入的假设，除完全气体的状态方程外，主要有两个，即广义牛顿粘性应力公式和连续介质假设。 对于水和空气一类的流体，牛顿粘性应力公式有很宽的适用范围，只要不用于研究激波厚度内的结构等特殊问题，该公式总是可以用的。
关于连续介质的假设，许多流体力学教材已论证了它通常是可用的。 但它是否可用于湍流呢？只要最小涡的尺度大大超过分子平均自由行程，这个假设就是可用的。 对于液体，这个条件可以满足，因为分子平均自由行程与原子的尺度是同一量级。 对于气体，虽然不像液体那样有较大的裕度，但这个条件也还是可以满足的。 例如大气，若气流速度不超过，最小涡的尺度很难小于，而分子自由行程为。
纳维—斯托克斯方程是波耳兹曼方程的第一次近似，即分子运动达到近似平衡状态的波耳兹曼方程。 但在湍流运动中，特别是在高雷诺数时，流场中可形成很大的局部速度梯度，这时，是否仍满足由波耳兹曼方程导致的纳维—斯托克斯方程的条件呢？对于较简单的情况，这些速度梯度的影响可由波耳兹曼方程的第二次近似估计出来，研究发现，它们虽不可以完全忽略，但也不会产生很大的影响。
总之，除了稀薄空气和个别特殊情况，纳维—斯托克斯方程组能够适用于水和空气一类流体，无论是层流状态还是湍流状态。

5.6 涡的输运定理
粘性流体运动总是有旋的。 例如，由于黏附作用，在固体壁面附近的薄层中，流体速度由主流的速度值降到零。 此薄层中速度梯度很大，形成强的旋涡运动，所以涡量的产生始自边界，固壁附近的边界层常是生成旋涡的主要区域。 在无粘流体中，由于压力、温度和熵等热力学参数的不均匀性也可引起旋涡。 例如，由于太阳和地面的辐射对大气的不均匀加热就常引起旋涡。 所以除了简单的理想化情况外，实际流动总是有旋的。

5.6.1 涡的基本概念
1.涡量场
为了给出涡量的定义，需要回顾亥姆霍兹速度分解定理。 流场中某点的邻域内任一点上的速度可用泰勒级数表示为
(5.6.1)
此处和分别为点相对于点的位置矢量和速度梯度张量。 还可分解为对称张量和反对称张量。 式(5.6.1)化为
(5.6.2)
其中 ，
现分别说明和的意义。
首先，已经清楚，对称张量按其物理意义即为应变速率张量。 当时，表示沿对角线上三个正应变速率分量之和，也就是流体的体积应变速率。 可表示为
(5.6.3)
这里称为胀量(expanon)，表示点邻域内流体体积的相对变化速率。 当时，表示剪切应变速率的各个分量。
其次，反对称张量可以与单位全反对称三阶张量缩并而得到一个与对应的矢量：
(5.6.4)
这里引出了涡量的数学定义为
(5.6.5)
于是式(5.6.2)的最后一项可写为
(5.6.6)
由此可见，涡量可理解为流体微团绕其中心作刚性旋转的角速度之两倍。
据上所述，从运动学的角度，我们可以将流动分为两类：具有涡量的流场称为有旋流动；仅具有应变速率的流场称为无旋流动，也称势流。
另外，从动力学角度来分析，涡量场通常又和粘性流动存在着对应关系。 例如物面的边界层、分离流区、尾迹区等粘性流动，必然分布着涡量或一个个涡旋。 这两者之间的联系来源于：涡量和应变速率都是由流场的速度梯度造成的；速度梯度大，应变速率和涡量一般也大。 流体的粘性应力大小取决于应变速率，特别是剪切应变速率的大小。 因此涡量场和粘性流自然存在因果关系。 不过，对于高雷诺数流动，由于粘性扩散不显著，特别在无界流场条件下，涡运动可以按无粘流动计算。

2.涡量场的物理意义
人们对涡量为何定义为刚性旋转角速度之两倍，一直不好解释，像Sommerfeld，Robertn这些学者将它说成是“美的误差”，“不幸的因子”。 不过，Lindgren(1980)对此提出了一个合理的解释。

图5-6 流线坐标系 图5-7 流体的刚性旋转

现采用流线坐标系(图5-6)。 也就是说，在流线上某一点取三个自然坐标轴：切线、主法线和副法线，分别用，和表示它们的单位矢量。 为便于理解，可假定为定常流动，这时流线就是迹线。 设某流体微团沿迹线运动，在某时刻位于，其速度矢量为。 这时的曲率中心位于，曲率半径为。
现写出涡量矢量(式(5.6.5))在流线坐标系中的表达式：
(5.6.7)
在涡量的三个分量中，无疑沿副法线方向的是最主要的。 因为它与密切面(，)内流场的速度分布有关。 如果是平面流动，则就是整个涡量的大小。 现分析的物理意义，它由两部分组成：
(1)第一部分：，表示流体微团绕曲率中心作整体旋转的角速度；
(2)第二部分：，表示流体微团绕其中心点作局部旋转的角速度。
下面举个典型例子作直观的阐述。
例：圆柱状流体以等角速度作刚性旋转
如图5-7所示，流体微团P以速度和半径绕中心作等速圆周运动。 这是个平面流动，流体微团的涡量由以下两部分组成：
(1)整体旋转角速度
(2)局部旋转角速度
于是
由此不难理解。 为什么涡量等于流体微团作刚性旋转的角速度之两倍。
4. 涡旋
涡旋是涡量聚集的涡结构。 Lugt(1983)对它下的定义为：涡旋是一群绕公共中心旋转的流体微团。 Saffman(1979)下了略有差别的定义：涡旋是以无旋流体或物面为边界的有限体积的旋转流体。
流体的粘性摩阻是形成涡旋的主要因素，在自然界和工程中有着最广泛的实例。 比如：火山喷发时，由于火山口边缘的摩阻作用，形成了巨大的涡环；在桥墩后向脱泻出一个个漩涡，流向下游；飞机在作中等攻角飞行时，翼前缘发生流动分离而形成脱体涡，这是非线性升力的来源。
流体的斜压性是形成涡旋的第二个因素。 比如：野营篝火上方因热对流形成的涡环；大气上下之间因温度差发生热对流而形成鱼鳞状云；等等。
地球上的大气和海洋都受到地球自转而引起的科氏力的作用，这是一种非保守力，是形成涡族的第三个因素。 地球上的大范围涡旋的生成通常是流体的斜压力和科氏力综合作用的结果。 例如：台风，气旋和反气旋，北大西洋环流，等等。

5.6.2 涡量的输运方程
实际流动中，涡量沿空间的分布往往很不均匀，形成一些局部集中的强涡量区。 这些区域对整个流场的运动学和动力学性质有很大影响，所以研究旋涡的生成、输运和扩散过程是很有意义的。