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第五章 分式与分式方程小结与复习

考点呈现
考点1　分式的意义
例1 （2013年成都）要使分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A. x≠1 B. x＞1 C. x＜1 D. x≠－1
解析：要使分式有意义，需满足x－1≠0，解得x≠1.故选A.
点评：要使分式有意义，必须满足其分母不等于0，从而构造出不等式，进而求得字母的取值范围.
考点2　分式的性质
例2（2013年滨州）化简，正确的结果为（　　）
A.a B.a2 C.a－1 D.a－2
解析：分式的分子与分母都含有因式a，运用分式的基本性质约去分子与分母的公因式a即可，＝a2.故选B.
点评：分式约分的依据是分式的基本性质，约分时，首先要确定分子与分母的公因式，然后约去公因式.
考点3　分式的运算
例3（2013年聊城）计算(－)÷.
解：(－)÷＝[－]÷
＝(－)÷＝－×＝－.
点评：本题属于分式的混合运算，求解时除了要注意运算的顺序外，还应讲究一定的技巧，同时还应避免因符号带来的困扰.
考点4　分式的化简求值
例4 （2013年乐山）化简并求值：(+)÷，其中x，y满足|x－2|+(2x－y－3)2＝0.
解：(+)÷＝÷
＝·＝.
因为x，y满足|x－2|+(2x－y－3)2＝0，所以x－2＝0且2x－y－3＝0，则x＝2，2x－y＝3.
所以原式＝＝.
点评：有关分式的求值问题是历年中考的常考题型，而且经常与其他知识结合在一起，有时还设计创新型试题，同学们在学习时一定要注意体会.
考点5　解分式方程
例5 （2013年宁波）解方程：＝－5.
解：方程两边乘（x-1），得－3＝x－5（x－1）.
解得x＝2.
检验：当x＝2时，x-10.
所以，原分式方程的解为x＝2.
点评：解分式方程去分母时，一定要注意整式项也必须乘以最简公分母，求得的解一定要检验.
考点6　用分式方程解应用题
例6 （2013年郴州）乌梅是郴州的特色时令水果.乌梅一上市，水果店的小李就用3000元购进了一批乌梅，前两天以高于进价40%的价格共卖出150 kg，第三天她发现市场上乌梅数量陡增，而自己的乌梅卖相已不太好，于是果断地将剩余乌梅以低于进价20%的价格全倍售出，前后一共获利750元.求小李所进乌梅的数量.
分析：先设小李所进乌梅的数量为x kg，根据前后一共获利750元，列出方程求解即可．
解：设小李进了x kg乌梅，根据题意，得
.
解得x=200.
经检验，x=200是原分式方程的解，且符合题意.
答：小李所进乌梅的数量是200 kg.
点评：本题意在考查用分式方程解决实际问题，求解时一定要认真分析题意，弄清楚已知量与未知量之间的内在联系.
误区点拨
易错点1 分式的基本性质理解不深
例1 若A，B为不等于0的整式，则下列各式成立的是（ ）
A.（E为整式） B.（E为整式）
C. D.
错解：选A或D.
剖析：分式的基本性质是分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分
式的值不变.所以B选项明显不正确；A选项和D选项中E和均可能为零，所以A，D选项错误；C选项中，C选项正确.
正解：选C.
易错点2 忽视分母不为0的条件
例2 若方程，则 .
错解：填±4.
剖析：若分式的值为0，则分子为0且分母不为0，所以，且，
则.错解未考虑分式的分母不为0.
正解：填-4.
易错点3 轻易约分
例3 取何值时，分式有意义？
错解：原式.由，得.所以当时，分式有
意义.
剖析：错解约去分母中的，但无法确定不为零，使得未知数x的取值范围
扩大，导致漏解.
正解：由（x+2）（x+3）.所以当时，分式
有意义.
易错点4 分式的运算顺序错误
例4 计算.
错解：原式=.
剖析：分式的乘除运算是同一级运算，应按照从左向右的顺序依次计算，不可因为计
算简便而颠倒顺序，导致结果出现错误.
正解：原式=.
易错点5 分式的增根认识不清
例5 若关于x的方程有增根，则a的值为________.
错解：原方程两边乘（x-1），得ax+1-（x-1）=0.解得x=.
因为原分式方程有增根，所以x-1≠0，即x≠1.
所以，解得a≠-1.
剖析：分式方程的增根应是最简公分母分母为0的x值，即x=1而不是x≠1.
正解：原方程两边乘（x-1），得ax+1-（x-1）=0.解得x=.
因为原分式方程有增根，所以x-1=0，即x=1.
所以，解得a=-1.