导数及其应用(极值点).doc

选修2-2 第1章 导数及其应用
§1.3.2 导数在研究函数中的应用之（二） 第1课时（总第54教案）
———极值点
一、【教学目的】1、理解极大值、极小值的概念。2、能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值。
3、掌握求可导函数的极值的步骤。
二、【教学重点】 极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤。
【教学难点】 对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤。
三、【知识要点】
1、观察右图，图像在点P处从左侧到右侧由 “上升”变为“下降”
即函数由单调递增变为单调递减。这时在点P附近，点P的位置
最高， 即比它附近点的函数值都要大，我们称为函
数的一个极大值。
一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点。
类似地，图中为函数的一个极小值。
一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点。
函数的极大值与极小值统称为极值，在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值
2、极值点与导数存在怎样的关系？
继续观察上图，在函数取得极大值的的左侧，函数单调递增，；右侧单调递减，；而在点P处切线平行于x轴，。下表清晰地表明了极大值与导数的关系：

① 左侧

② 右侧

＋

－

↗
③ 极大值

↘
注意：①处指以为右端点的一个小区间；②处指以为左端点的一个小区间；③处指当x=时取得极大值，必
类似地，极小值与导数的关系： 须代原函数。从表看出

左侧

右侧

－

＋

↘
极小值

↗
极值处导数均为0，但极大、极小需看左、右导数的正负，或曲线走向观察极值。

四、【典题互动】
例1、 ① 求的极值； ② 求的极值；

问题：请作图表示相应区间上导数的正、负与函数的增、减的关系。
例2、求的极值.

思考：结合本例及说明，当导数等于0即=0，能否肯定函数在处取得极值？
从而进一步理解为何考察=0的点左、右侧的符号。
请判断：“=0”是“是极值点”的必要不充分条件，对吗？
例3：① 判断函数在x=0处能否取得极值，并写出判断过程。
② 判断函数在其定义域内是否存在极值。

例4：① 求函数的极值 ② 求函数的极值

五、【规律总结】
（1）极值是一个局部概念,由定义极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不
意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
（2）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值。作图示意。
（3）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
（4）求极值的具体步骤：第一，求导数.第二，令=0求方程的根，第三，列表，检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右都是正，或者左右都是负，那么f(x)在这根处无极值
如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点
六、【学效自测】
1、如果函数有极小值，极大值，那么一定小于吗？试作图说明。
2、求下列函数的极值.
(1) (2)

3、根据下列条件大致作出函数的图象：
(1)；
(2) 。

课 外 练 习
1、函数有极小值________________，极大值____________________。
2、函数的极大值为_______________。
3、函数的极大值为6，则 a=____________。
4、函数在内的极 值是 。
5、函数 ① ② ③ ，其中x=0是极值点的函数个数有__________个。
6、若函数的图像过点A(1，4)，当x=2时，函数有极值0，则= 。
7、已知有极大值又有极小值，则a的取值范围是____________________。
8、函数的极小值点x=_________ 。
9、函数在区间上的极大值点为________________。
10、三次函数当x=1时有极大值4，当x=3时有极小值0，且函数过原点，则函数是 。
11、设函数在x=1处取得极大值，则a= 。
12、求下列函数的极值。
① ②

13、已知函数，当x=－1时，取得极大值7，当x=3时，取得极小值，
求这个极小值及a、b、c的值。

14、判断是否有极值，并写出判断过程。

15、已知函数在点处取得极小值5，其导函数的图象经过点(1, 0)，(2，0)，
如图所示，求(1) 的值；(2)a，b，c的值。

16、设函数和满足 ① 在x=－1处有极值；
② 曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2，4)处有公切线。求a、b、c的值。

17、已知函数的图象与x轴相切于(1,0)点，求的极值。