二次根式的意义.doc

第课时

　使学生理解并掌握二次根式的概念,掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围.

　经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.

　经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.

　【重点】　了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件.
　【难点】　会求二次根式中字母的取值范围.

　【教师准备】　教学所需的习题资料.
　【学生准备】　复习平方根和立方根的有关知识.

导入一:
　唐僧师徒在万寿山五庄观做客.猪八戒来到后花园,看见人参果树上结满了人参果,嘴馋得直流口水.正准备伸手摘时,突然一道金光,在同一个枝头上一大一小的两个果子同时掉了下来,噗的一声同时着地.有爱好数学的电视迷算了人参果下落的时间t与h之间的关系式为t=,你觉得他算的正确吗?
　要解决这个问题,我们得从二次根式说起.
　[设计意图]　将数学问题融入到学生喜爱的神话故事中,激发学生学习的兴趣,拉近了数学与学生的距离,为探究本节课奠定了基础.
导入二:
　1.教师出示复习题:
　(1)4的平方根是　　　　;0的平方根是　　　　;-16的平方根是　　　　. 
　(2)5的平方根是　　　　;5的算术平方根是　　　　. 
　学生口答:(1)4的平方根是±2;0的平方根是0;-16没有平方根.
　(2)5的平方根是±;5的算术平方根是.
　2.教师出示教材第2页“思考”题:
　用带有根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点:
　(1)面积为3的正方形的边长为　　　　,面积为S的正方形的边长为　　　　. 
　(2)一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130 m2,则它的宽为　　　　m. 
　(3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t为　　　　. 
　学生思考后回答,教师补充得出答案:(1),;(2);(3)　.
　[设计意图]　以回顾练习和思考的形式引导学生回忆,巩固所学知识,并引入新课.

　1.二次根式的概念
　思路一
　　[过渡语]　(针对导入二)让我们一起来看下面的问题:上面得到的式子,,,　分别表示什么意义?它们有什么共同特征?
　教师引导学生说出各式的意义,概括它们的共同特征:都表示一个非负数(包括字母或式子表示的非负数)的算术平方根.
　讨论:你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗?
　学生小组讨论,全班交流.教师由此给出二次根式的定义:
　一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式,“”称为二次根号.
　追问:在二次根式的概念中,为什么要强调“a≥0”?
　教师引导学生举出例子说明,经过讨论知道二次根式被开方数必须是非负数.
　[设计意图]　让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系,体会研究二次根式的必要性,再让学生体会由特殊到一般的过程,培养学生的概括能力,最后通过讨论二次根式中被开方数a≥0,进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解.
　思路二
　像,,,　这样的式子有什么共同特点呢?
　学生观察,交流发现:一是从形式上看,都含有二次根号;二是被开方数的取值范围有限制:被开方数必须是非负数.
　教师进一步明确:形如(a≥0)的式子叫做二次根式.
　引导学生说一说对二次根式的认识:
　(1)表示a的算术平方根;(2)a可以是数,也可以是代数式;(3)从形式上看,含有二次根号;(4)a≥0,≥0.
　[设计意图]　加深对二次根式的理解,进一步明确二次根式的非负性.
　2.例题讲解
　　[过渡语]　二次根式的定义怎样理解?让我们一起来学习几个例题.
　　下列各式中,哪些是二次根式?并指出二次根式中的被开方数.
,,,(x≥3),(y>-1),,,　(xy>0).
　引导学生观察根指数和被开方数分析发现:显然不是二次根式(因为它的根指数是4,含有四次根号),其余式子都含有二次根号,关键看根号下的被开方数是否为非负数.若根号下是负数,则二次根式没有意义.
　解:,(x≥3),,　(xy>0)是二次根式.其中被开方数依次是7,x-3,(x+1)2,.
　[解题策略]　①当被开方数形式是含有字母的代数式时,可以把这个代数式看成一个整体.如的被开方数是x2+2015.②当被开方数形式比较复杂时,可以将这个被开方数适当化简.如,因为(-3)2-7=9-7=2,所以它的被开方数其实就是2.
　【变式训练】　下列各式中,一定是二次根式的是　　(　　)
　A.　　　　B.
　C.　　D.(其中a<0)
　〔解析〕　的被开方数-9<0,的被开方数m-1可能是负数,的根指数是3,所以选项A,B,C中的式子都不是二次根式.含有二次根号,并且无论a取什么负数,被开方数a2+8都是正数,所以一定是二次根式.故选D.
　　(教材例1)当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?
　引导学生从概念出发进行思考:二次根式的被开方数为非负数,则x-2≥0.
　解:由x-2≥0,得x≥2.
　当x≥2时,在实数范围内有意义.
　【变式训练】　若式子1+有意义,则x的取值范围是　　　　. 
　〔解析〕　根据二次根式的性质可知:x+1≥0,即x≥-1;又因为分式的分母不能为0,所以x的取值范围是x≥-1且x≠0.故填x≥-1且x≠0.
　[易错分析]　容易产生只考虑到x+1≥0,而忽略了x≠0的错误.
　[设计意图]　通过变式训练,加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解,提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识.
　[知识拓展]　(1)二次根式的定义是从代数式的结果和形式上界定的,必须含有二次根号“”,如,都是二次根式,而就不是二次根式了.(2)在二次根式中,被开方数可以是具体的数,也可以是含有字母的单项式、多项式、分式等代数式.(3)形如b(a≥0)的式子也是二次根式,其表示的是b与的乘积,如3表示3×,-表示-×,但是不能写成3的形式.(4)当a≥0时,表示a的算术平方根.也就是说,有意义的条件是a≥0.(5)当a是非负数时,(其中a≥0)本身也是一个非负数.

　师生共同回顾本节课所学主要内容:
知识要点
关键点
注意事项
二次根式的概念
形如≥0(a≥0)的式子叫做二次根式,其中被开方数是a
被开方数也可以是含有字母的单项式、多项式、分式等
二次根式有意义的条件
被开方数必须是非负数
求解二次根式中字母的取值范围,要注意根号下的式子整体不小于零

　1.已知下列各式:,(a≥2),,　,其中二次根式的个数是　　(　　)
　A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个
　解析:的被开方数不是非负数,所以不是二次根式,其余3个都是二次根式.故选C.
　2.(2014·南通中考)若在实数范围内有意义,则x的取值范围是　　(　　)
　A.x≥　　B.x≥-
　C.x>　　D.x≠
　解析:是二次根式,因此2x-1≥0,在分母上,因此≠0.则解得x>.故选C.
　3.当x=　　　　时,二次根式有最小值,其最小值是　　　　. 
　解析:∵二次根式有意义,∴x+3≥0,即x+3的最小值是0,∴x+3=0,解得x=-3.
　答案:-3　0
　4.求下列各式中字母a的取值范围:
　(1);(2)　;(3);(4).　
　解:(1)由a+1≥0,得a≥-1.∴字母a的取值范围是大于或等于-1的实数.　(2)由>0,得1-2a>0,即a<.∴字母a的取值范围是小于的实数.　(3)因为无论a取何值,都有(a-3)2≥0,所以字母a的取值范围是全体实数.　(4)因为无论a取何值,都有|a|+1>0,所以字母a的取值范围是全体实数.

　第1课时
　1.二次根式的概念
　2.例题讲解
　例1　例2

一、教材作业
【必做题】
　教材第3页练习第1,2题;教材第5页习题16.1第1题.
【选做题】
　教材第5页习题16.1第7题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.若　是二次根式,则下列结论正确的是　　(　　)
A.x≥0,y≥0　　　B.x>0,y>0
C.x,y同号　　D.≥0
2.已知实数x,y,m满足+=0,且y为负数,则m的取值范围是　　(　　)
A.m>6　　B.m<6
C.m>-6　　D.m<-6
3.如果式子+有意义,那么在直角坐标系中点A(a,b)的位置在　　(　　)
A.第一象限　　B.第二象限
C.第三象限　　D.第四象限
4.(2015·遵义中考)使二次根式有意义的x的取值范围是　　　　. 
【能力提升】
5.当x　　　　时,+在实数范围内有意义. 
6.(2015·攀枝花中考)若y=++2,则xy=　　　　. 
7.已知x,y为实数,且满足-(y-1)=0,求x2016-y2016的值.
8.已知实数a满足+=a,求a-20142的值.
【拓展探究】
9.若x,y,n满足关系式+=·,试确定m的值.
【答案与解析】
1.D(解析:依题意得≥0,即≥0.故选D.)
2.A(解析:根据题意,结合非负数的性质,得=0,=0,所以解得因为y是负数,所以6-m<0.解得m>6.故选A.)
3.A(解析:根据二次根式有意义的条件,易得a>0,b>0.故选A.)
4.x≥(解析:要使二次根式有意义,则需满足5x-2≥0,∴x≥.)
5.≥-且x≠-1(解析:要使+在实数范围内有意义,必须同时满足的被开方数2x+3≥0和的分母x+1≠0,即　由①得x≥-,由②得x≠-1.∴当x≥-且x≠-1时,+在实数范围内有意义.)
6.9(解析:由题意得x-3≥0,3-x≥0,得x=3,故y=2,∴xy=9.)
7.解:∵-(y-1)=0,∴+(1-y)=0.∴x+1=0,1-y=0.解得x=-1,y=1.∴x2016-y2016=(-1)2016-12016=1-1=0.
8.解:由a-2015≥0,得a≥2015,故已知式子可化为a-2014+=a.∴=2014.两边平方并整理,得a-20142=2015.
9.解:由等式的右边,根据二次根式有意义的条件得x-2013+y≥0且2013-x-y≥0,得x+y≥2013且x+y≤2013,所以x+y=2013.所以+=0.所以①-②,得x+2y=2.又x+y=2013,两式相加,得2x+3y=2015.所以m=2015.

　我们经常说过程比结果更重要.我对整节课的设计力求符合学生的认知特点,想方设法创设生动活泼的教学情境,使学生始终处在好奇、好学的高亢的学习情绪当中,同时,整节课努力做到先有框架,中有深化,后有突破.学生学有情趣,学有所获,并由衷感到:学习是快乐的事,学会了更是幸福的事.

　在教学中,我适当增加了有拓展性的练习,层层递进,想使不同的学生得到不同程度的发展和提高,但受到教材中练习题的局限,就当a是非负数时,本身也是一个非负数的练习没有落实到位