求离心率的取值范围解题策略.doc

求离心率的取值范围策略
圆锥曲线共同的性质：圆锥曲线上的点到一个定点F和到一条定直线L（F不在定直线L上）的距离之比是一个常数e。椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率。求椭圆与双曲线离心率的范围是圆锥曲线这一章的重点题型。下面从几个方面浅谈如何确定椭圆、双曲线离心率e的范围。
一、 利用曲线的范围，建立不等关系
例1． 设椭圆的左右焦点分别为、，如果椭圆上存在点P，使，求离心率e的取值范围。
解：设 因为，所以
将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得

例2． 双曲线在右支上存在与右焦点、左准线长等距离的点，求离心率e的取值范围。 解：设在双曲线右支上，它到右焦点的距离等于它到左准线的距离，即=

二、利用曲线的几何性质数形结合，构造不等关系
例3．直线L过双曲线的右焦点，斜率k=2。若L与双曲线的两个交点分别在左、右两支上，求双曲线离心率的取值范围。 解：如图1，若，则L与双曲线只有一个交点；若，则L与双曲线的两交点均在右支上，                                
例4. 已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点。若△ABF2是锐角三角形，求双曲线的离心率的取值范围。
解：如图2，因为△ABF2是等腰三角形，所以只要∠AF2B是锐
角即可，即∠AF2F1<45°。则
三、利用定义及圆锥曲线共同的性质，寻求不等关系
例5．已知双曲线的左右焦点分别为、，点P在双曲线的右支上，且，求此双曲线的离心率e的取值范围。
 解：因为P在右支上，所以 又   得
    所以    又 所以
例6．已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，P是双曲线右支上一点，P到右准线的距离为d，若d、|PF2|、|PF1|依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值范围。
解：由题意得因为，所以，从而 ，。又因为P在右支上，所以。  。。
四、利用判断式确定不等关系
例7．例1的解法一：解：由椭圆定义知

例8．设双曲线与直线相交于不同的点A、B。求双曲线的离心率e的取值范围。解：

通过以上各例可以看出，在解决“求圆锥曲线离心率的取值范围”的问题，若能根据题意建立关于a、b、c的不等式，即可转化为关于e的不等式进行求解。
练习
1、设椭圆（a>b>0）的两焦点为F1、F2，长轴两端点为A、B，若椭圆上存在一点Q，使 ∠AQB=120º，求椭圆离心率e的取值范围。（<1）.
2、设椭圆（a>b>0）的两焦点为F1、F2，若椭圆上存在一点Q，
使∠F1QF2=120º，求椭圆离心率e的取值范围。()
3、椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F1的直线交椭圆于P、Q两点，且OP⊥OQ，求椭圆的离心率e的取值范围。（）。
4、（2000年全国高考题）已知梯形ABCD中，，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当时，求双曲线离心率的取值范围。2建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，设其中是梯形的高，由定比分点公式得，把C、E两点坐标分别代入双曲线方程得，，两式整理得，从而建立函数关系式，由已知得，，解得。
5、已知双曲线上存在P、Q两点关于直线对称，求双曲线离心率的取值范围。PQ中点为M，由点差法求得，当点M在双曲线内部时，整理得：无解；当点M在双曲线外部时，点M应在两渐近线相交所形成的上下区域内，由线性规划可知：，即，则，所以。
5