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第六章 一元一次不等式和一元一次不等式组不等式和它的基本性质

教学目标
1．  使学生理解不等式的概念，初步掌握不等式的三条基本性质；
2．  培养学生对比以及观察、分析问题的能力，并初步领会对比的思想方法.

教学重点和难点
重点：不等式的三条基本性质.
难点:不等式的基本性质3.

课堂教学过程设计
一、引言
1.先看两个例子.
① 教材第52页上两个天平秤物都不平衡的插图；
② 昨天的气温最低是-5℃，最高是10℃.
教师引导学生得出：①说明天平两边所放物体重量不相等；②说明气温不相等.
2.在此基础上，教师指出，在实际生活中，同类量之间具有一种不相等的关系.这种不相等的关系是大量存在的，是普遍的，本章将从了解表示不相等关系的不等式的意义开始，研究不等式的性质，一元一次不等式和它的解法，一元一次不等式组和它的解法.
本节课我们首先来学习不等式的概念及其基本性质.

二、从学生原有的认知结构提出问题
1.     什么叫等式？等式的性质是什幺？
（注意强调等式两边都乘以或都除以（除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式）
1. 当x取何值时，等式x+2=6成立？当x取何值时，等式x+2=6不成立？
2. 当“〈”“〉”号填空：
（1）-7_____-5; （2）（-3）4_____34;
（3）（-4）2_____（-3）2； （4）│-0.5│_____│-1000│;
（5）3+4_____1+4； （6）5+3_____12-5
（7）6×3_____4×3； （8）6×(-3)_____4×(-3) .
（注意追问理由，要求用有理数比较大小的法则回答）
3. c一定是正数吗？-a一定是负数吗？
（以上各题均用投影仪陆续打在屏幕上）

三、引导学生通过观察实例，讨论不等式的概念
1.     观察下列式子：（投影）
-7＜-5； 3+4＞1+4；
5+3≠12-5； a≠0；
a+2＞a+1； x+2＜6.
针对上述各式，提出如下问题：
①     上述各式都是表示怎样的关系的式子？
②     什幺叫不等式？
（若学生回答有困难，教师应提醒学生依照等式的定义来回答）
此时，教师应指出：前面复习提问中的第（3）题中的各小题的式子都叫不等式.而我们只研究用小于号“＜”，大于号“＞”表示的不等式.
2.     研究不等式x+2＜6
（1） 这是用小于号连接代数式x+2和6所成的不等式，这里x表示未知数.
（2） 若未知数x取某一个值（如x=2），使代数式x+2小于6，我们说当x=2时，不等式x+2＜6成立；若当x取另一个数值（如x=4）代数式x+2的值不小于６，我们说当x=4时，不等式x+2＜６不成立.
（3） 提问：①当x=-1.5时，不等式x+2＜6是否成立？当x=0呢？当x=5呢？
②说出几个使不等式成立的x的值.说出几个使不等式不成立的x的值.
（引导学生回答，使不等式x+2＜6成立的未知数x的取值不仅有正整数，还有零、负整数，小数。

练习（投影）
１.用不等式表示：
（１）a是正数； （2）a是负数；
（3）a与b的和小于5； （4）x与此同时的差大于-1；
（5）x的4倍大于7； （6）y的一半小于3.

２.当x=2时，不等式x+3＞4成立吗？当x=1.5时呢？当x=-1时呢？（请学生回答，并订正）

3.运用对比的方法，引导学生猜想出不等式的三条基本性质，并通过实例加以验证
首先，让学生用“＞”或“＜”号填空：
（1）7+3_____4+3； （2）7+（-3）_____4+（-3）；
（3）7×3_____4×3； （4）7×（-3）_____4×（-3）.
然后，启发学生由上面第（1）、（2）小题猜想出与等式的基本性质类似的不等式的性质.并请学生叙述不等式的基本性质1.此时，教师应抓住学生叙述中的问题予以纠正.即不能笼统地说“仍是不等式”，要改为书中所说的“不等号的方向不变” .
对比等式中关于两边都乘以或除以同一个数的性质，让学生思考不等式类似的性质.引导学生观察上述第（3）、（4）小题，并将题中的3换成5，-3换成-5，按题中的要求再做一遍，并猜想出结论.然后让学生试着叙述所得到的不等式的基本性质.（在观察上述练习题时，引导学生注意不等号的方向，并用彩色粉笔标出来，并问原因是什么？当学生在叙述不等式的基本性质感到困难时，教师应作适当的引导，启发.并依次板书这几条基本性质）

四、不等式基本性质：
１.  不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.
２.   不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
３.   不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
此时，教师要特别强调不等式基本性质3，并举例：若a＜b，c＜0，则ac＜bc（或）.
然后，让学生用不等式-2＜4两边都分别加上5，-6，两边都分别乘以3，-3来验证上述不等式的三条基本性质.
问题：（1）在不等式-2＜6两边都乘以m后，结论将会怎样？（当字母m的取值不明确时，需对m分别情况讨论）
（2）比较等式性质与不等式的基本性质的异同.
（问这两个问题的目的在于，强化学生对不等式基本性质的理解，特别是对不等式基本性质3的理解）

五、应用举例，变式练习
例子 根据不等式基本性质，把下列等式化成x＞a或x＜a的形式：
（1）x-2＜3； （2）6x＜5x-1；
（3）x＞5； （4）-4x＞3.
解：（1）由不等式的基本性质1可知，不等式的两边都加上2，不等号的方向不变，所以
x-2+2＜3+2，
x＜5.
（2）、（3）、（4）题略.
（解题时，要求学生要联想解一元一次方程的思想方法，并将原题与x＞a或x＜a对照着用哪条基本性质能达到题目要求，同时强调推理的根据，尤其要注意不等式基本性质3和基本性质2的区别，解题书写要规范＝
例2设a＞b，用“＜”或“＞”号填空：
（1）a-3_____b-3； （2）_____;
（3）-4a_____-4b； （4）ma_____mb.（m≠0）
解：（1）因为a＞b，两边都减去3，所以由不等式基本性质1，得
a-3＞b-3．
（2），（3）题略．
（4）因为a＞b，两边都乘以m．
当m＞0时，由不等式基本性质2，得
ma＞mb，
当m＜0，由不等式基本性质3，得
ma＜mb．
（解题时，要让学生明白推理要有根据，并要求以后做类似的习题时，都要写出根据，逐步培养学生逻辑思维的能力）

练习（投影）
1．  根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式；
（1）x+1＞2； （2）4x＜3x-5；
（3）x＜； （4）-8x＞10；
（5）3x＜x+4； （6）x＜3x+4．
2．  设a＜b，用“＞”或“＜”号填空：
（1）           a+5_____b+5; （2）2a_____2b;
(3)-5a_____-5b; （4）_____．

六、师生共同小结
首先，让学生回答如下问题：
1．  本节课学习哪些内容？
2．  不等式的三条基本性质与等式的性质异同点是什么》
3．  运用什么思想方法来学习不等式的基本性质的？
然后，在学生回答上述问题的基础上，教师指出：①在运用不等式的基本性质时，要特别注意不等式的基本性质3，也就是注意在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，一定要分清是正数还是负数，对于代表任意数的字母要分情况加以讨论；②在学习不等式的基本性质时，我们运用了对比的方法，它是学习不等式这章所采用的一种重要的思想方法．

七、作业
1．  用不等式表示：
（1）x的与5的差小于1； （2）y与6的和大于9；
（3）8与y的2倍的和是正数； （4）a的3倍与7的差是负数．

2．  当x取下列数值时，不等式x+3＜6是否成立？
1，0，-2．5，-4，3．5，4，4．5．

3．  根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＞a或 x＜a 的形式：
（1）x-10＜0; （2）x＞x+6;
(3)x＞5; （4）x＜–1.
（5）4x＜2x+6.

4．  设a＞b，用“＞”或“＜”号填空：
(1)a+3_____b+3; (2)5a_____5b;
(3)-a_____-b; (4)_____;
(5)ma_____mb(m ≠0).

课堂教学设计说明
由于本节课是本章的起始课，故在设计教学过程时，注意从实例引入，激发学生的学习兴趣，并使学生初步了解为什么要学习本章的新知识？本章的主要内容都有哪些？
在复习了有理数的比较大小，等式的概念及其性质等旧知识的基础上采用对比 的方法来讲授不等式的定义及其三条基本性质．
对于本节课的难点，不等式的基本性质3的导出，采用通过学生自己动手实践、观察、归纳猜想结论、验证等环节来突破的．并在理解的基础上加强练习，以期达到学生巩固所学知识的目的．