计算机图形学2010-06三维图形变换.doc

《计算机图形学》教案：第六章 三维图形变换 14

第六章 三维图形变换
第一节 三维图形变换基础
一、三维坐标系
三维图形学中习惯上通常是采用右手坐标系。
xy平面对应于视平面，z轴垂直于视平面，指向视平面之外。
二、三维齐次坐标及变换矩阵
三维图形变换也是基于矩阵运算进行。矩阵运算的维数被扩展为四维。
三维坐标点采用4元齐次坐标表示：(x, y, z, 1)，三维坐标与三维齐次坐标的相互转换如下：
三维坐标(x, y,z)——齐次坐标(x, y,z, 1)
齐次坐标(x, y,z, h)——二维坐标(x/h, y/h,z/h)
变换矩阵则为4X4的矩阵：

其中：

第二节 三维几何变换
一、三维基本变换
1. 平移变换

2. 比例变换

3. 旋转变换
三维的基本旋转变换分为三种，即绕三个坐标轴的旋转变换。
(1)绕z轴旋转角
旋转后z值不变，x,y值将发生改变，x,y值的计算公式与平面旋转相同，即：

则变换矩阵为：

有：

(2)绕x轴旋转角
则旋转后x的坐标值不变，y和z的坐标值将改变，相当于在yz平面上绕平面原点进行旋转变换。

平面转转变换的公式为：

对应而来，这里y对应于x，z对应y，有：

则变换矩阵为：

(3)绕y轴旋转角
这时，z对应于x，x对应于y。因此，变换公式为：

则变换矩阵为：

有：

4. 对称变换
三维对称变换包括三种情况：对原点，对坐标轴，对坐标平面的对称变换。
(1)对原点的对称变换
变换后三个坐标值均取反。

(2)对x轴的对称变换
x坐标值保持不变，y, z值取反。

类似可得对y, z轴的对称变换矩阵。
(3)对xy平面的对称变换
x, y值不变，z值取反。

类似可得对xz平面，yz平面的对称变换矩阵。
二、三维组合变换
组合变换也对应于一个矩阵。
组合变换的矩阵由其所包含的各基本变换的矩阵依次相乘得到。
绕任意轴的旋转变换：
旋转中心轴为A(xA, yA, zA)，A’ (x’A, y’A, z’A)两点之间的连线，空间点P(x,y,z)绕AA’轴旋转角到P’(x’,y’,z’)。

要基于平移、绕坐标轴的旋转变换来实现这一边换。
变换的过程为：将旋转轴的端点A移到坐标原点；将AA’旋转到与z轴共线；绕z轴逆时针旋转角；AA’轴反向旋转会原位；将A点反向移回原位。
(1)将A点平移到原点

移动后的情形如下：

为将AA’轴旋转到与z轴共线，需进行两步基本旋转，首先，绕x轴逆时针旋转角，使AA’A”面与zx共面；然后，绕y轴顺时针旋转角。
设：
两角的计算公式如下：

(2)绕x轴旋转角

(3)绕y轴旋转角

(4)绕z轴旋转角

(5)绕y轴旋转角

(6)绕x轴旋转角

(7) 将A点平移到原位

则，组合变换矩阵为：

作业：
写出绕轴(1,2,1)—(7,10,9)旋转45度的组合变换中所包含的7个基本变换矩阵（保留精度为小数点后3位）。

第三节 投影变换
一、问题定义
投影变换就是将三维空间中的图形投影到二维平面上。
一个三维图形可以投影到很多个二维平面，这里首先讨论如何来定义一个投影问题。
这种投影与人眼观察三维世界的过程是一样的，也与照相机拍摄的过程相同。
在观察或摄影中，首先要有一个观察点。
观察点V：人眼或相机所在的位置。
目标点O：被观察处的中心点，人眼聚焦面的中心点。
由此可形成观察方向和投影面。
观察方向：由观察点指向目标点。
投影平面：垂直于观察方向且过目标点的面。
还需确定观察的向上方向，基于目标点，用目标点正上方的一个点来定义。
上方点U：投影后将处于目标点正上方的点。
投影问题由三个参数定义：观察点V，目标点O，上方点U。
二、观察坐标系与世界坐标系
进行三维图形造型的坐标系称为世界坐标系，对投影问题的定义也是基于世界坐标系进行。
由投影问题的三个参数可定义一个观察坐标系，如下：
O点为原点；OV为z轴正方向；U点在xy平面上的投影处于y轴正半轴。

有了观察坐标系后，就可在观察坐标系中来进行投影处理，这时观察的方向就是z轴负方向，投影平面就是xy平面。
但显然不能直接将世界坐标系中的图形拿到观察坐标系中投影，而需要将其图形坐标变换到观察坐标系中。
二、坐标变换
问题：将世界坐标系中的图形变换到观察坐标系统。
等价于：在世界坐标系中，将观察坐标系变换到与世界坐标系重合，各图形坐标同步进行变换。
如下例，观察坐标系平行于世界坐标系，其原点为(6, 2, 0)。

若世界坐标系中图形的某个点为P(0,0,0)，则其在观察坐标系中坐标应为(-6, -2, 0)。
在世界坐标系中图形进行变换，使观察坐标系与世界坐标系重合，则需要平移(-6, -2, 0)，此时P点的坐标正好就变为(-6, -2, 0)。
下面就讨论该变换问题。
基于定义投影问题的三个点V，O，U进行坐标变换。
变换步骤：
(1)将O点平移到原点；

移动后的情形如下：

下一步将V点变换到z轴上，需用进行两个旋转变换：首先，绕x轴逆时针旋转角，使V点处于zx平面；然后，绕y轴顺时针旋转角。
(2)绕x轴旋转角

(3)绕y轴旋转角

完成这两步之后，再需将U点旋转到yz平面。情形如下：

(4)绕z轴旋转角

通过上述三个变换将U点变为A点，有：

则：

由此，可得坐标变换的矩阵：

将三维图形用该矩阵进行变换后，投影问题即为将图形以z轴为中心投影到xy平面。
投影有两种方式：平行投影，透视投影。
三、平行投影
通过坐标变换后，投影的情况就只有一种，将三维图形投影到xy平面。
投影分为平行投影和透视投影。这里先讨论平行投影。

平行投影又分为正投影和斜投影。这里只讨论正投影。
这里的平行正投影就是将图形平行地垂直投影到xy平面，因此其处理就是将图形上各点的z值置为0。即：

四、透视投影
在平行投影中，远处和近处的物体在投影面上具有相同的大小，这不符合人对物体的观察特性。人观察物体的一个基本特性就是，近处的物体大，远处的物体小。符合这一特性投影即称为透视投影。
被投影的物体即可处于投影平面之前，也可处于之后。透视投影的情景如下图所示。

进行透视投影时，各点的z坐标也将变为0，但不同于平行投影，各点的x,y坐标也将发生变化。设视点V到投影平面的投影距离为d，则x,y坐标的求解方式如下图：

有：
类似，有：

该透视投影变换矩阵记为。用该矩阵对点进行变换后，需要对点的坐标进行归一化处理，使齐次项变为1，然后再取得其坐标值。

例：设投影距离为20，对点(2,8,10)进行透视投影变换。

这是进行了坐标变换后的透视投影变换矩阵。将其与坐标变换矩阵相乘，即得到总的投影变换矩阵：

作业：
(1)设投影距离为30，对观察坐标系中的点(4,10,10)，(6，8，-5)进行透视变换。
(2)给定视点V，目标点O，上方点U，写出计算透视投影总变换矩阵的计算公式及计算步骤。