全国卷二-1612-数学(理).docx

2016~2017学年高三年级综合能力测试（CAT）（一）
理科数学（全国卷2）参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
（1）C （2）D （3）A （4）B （5）C （6）C
（7）B （8）A （9）B （10）D （11）C （12）B
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
（13） （14） （15）丙、甲、乙 （16）3
三、解答题（共70分）
（17）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）证明：当时， ，又，所以 ………………2分
当时，
即
，
……………………4分
则
所以是等比数列. ……………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ……………………7分
……………………9分
所以

……………………12分

（18）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）证明：因为为正方形，所以
又因为 ，
所以平面
所以
因为，，所以
因为, 所以面
因为 平面
所以 平面⊥平面 …………………………5分
（Ⅱ）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
令，
则.
所以 ，,, ………6分
设平面的一个法向量，则， .
所以 令，则.
所以 平面的一个法向量. …………………………8分
设平面的一个法向量，则， .
所以 令，则. ……………10分
所以 平面的一个法向量.
所以 . …………………………11分
由图可知，二面角是钝角，
所以二面角的余弦值为. …………………………12分

（19）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）甲城市去年上半年的平均气温比乙城市低；乙城市去年上半年的月平均气温比甲城
市上半年的月平均气温波动大（答案不唯一）. ………………………3分
（Ⅱ）甲城市上半年的平均气温为（）
设“从甲城市的月平均气温中随机抽取一个数，此数大于该城市上半年的平均气温”为事件，基本事件空间为，共有6个基本事件，事件包含17，17，18，22这4个基本事件，则 .………………7分
（Ⅲ）设“从甲、乙两城市不低于16的月平均气温中随机抽取一个数，这两个数值相等”
为事件，
基本事件空间为，共有个基本事件，
.………………10分
事件包含这两个基本事件，则 ..………12分
（20）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为椭圆的短轴长为，所以.
因为椭圆的离心率为，设焦距为，则，
即，而，所以.
所以椭圆的方程为. …………………………3分
（Ⅱ）（1）先证菱形对角线的交点是坐标原点.
设菱形对角线交点的坐标为，设，
则.
将分别代入椭圆方程得①，②
由①-②可得，即③，
同理可得④ ………………………5分
当对角线垂直于轴时，垂直于轴，则，，由③得，
再由，，由④得，所以对角线交点为坐标原点.
同理可证对角线垂直于轴时，对角线交点为坐标原点.
当对角线不垂直于轴，不垂直于轴时，
设的斜率为，则的斜率为，
由③得⑤，由④得⑥，
由⑤⑥可得.所以菱形对角线交点为坐标原点. ………7分
（2）下面证明菱形的高为定值.
设原点到边的距离为，则菱形的高为.
当两条对角线分别为长轴、短轴时，易求得，则. ………9分
当两条对角线均不在坐标轴上时，因为，所以.
设菱形的一边所在直线的方程为，代入椭圆的方程，得
，，
且，.
所以，
，
，
，化简得 ……………………11分
则原点到直线：的距离
，则.
综上，菱形的高为定值. ………………………12分
（21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）的定义域为
，令.
因为 ，则.
所以 存在两不等实根. ………………………2分
设的两根为，且.
因为 ，，
所以 .
因为 ， 所以 .
因为 ，所以 .
所以 ，或.
又因为 ，所以 . ………………………4分
与随的变化情况如下：

↗
极大值
↘
极小值
↗
由上表可知，即函数在定义域上不小于的极小值点. ………………………6分
（Ⅱ）当时，，则.
所以 在区间内，，函数无零点. …………………8分
由（Ⅰ）可知，在区间上，函数单调递减，
在区间内，单调递增.
因为 ，
所以 .
因为 ，
所以 .
又因为 ，
所以 函数在区间只有一个零点.
综上所述，函数在定义域上只有一个零点. ………………………12分

【选做题】
（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）因为，
所以圆C1的极坐标方程为，圆C2的极坐标方程为. ……5分
（Ⅱ）
所以圆C1与圆C2交点的坐标为 …………………10分
(注：极坐标系下点的表示不唯一)
（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（Ⅰ）当时
ⅰ）当时，由

ⅱ）当时，由得：

ⅲ）当时，由得：

综上可知，不等式的解集是. ……………………6分
（Ⅱ）

所以 的单调递减区间是，单调递增区间是
所以 的最小值是 ……………………10分

高三数学（理）试题答案 第 9 页 共 9 页