《正切函数的诱导公式》导学案.doc

《正切函数的诱导公式》导学案

课程学习目标

1.用类比的方法学习、熟记正切函数的诱导公式.
2.了解正切函数诱导公式的特点，能利用正切函数诱导公式解决简单的问题.
课程导学建议

重点:正切函数的诱导公式.
难点:熟练运用诱导公式分析问题、解决问题.
第一层级：知识记忆与理解
知识体系梳理
创设情境
前面我们学习了正弦函数、余弦函数的诱导公式，知道角α与形如k·±α(k∈Z)的正弦、余弦函数值的关系，那么角α的正切函数值是否也有相应的关系式呢？今天我们就来探讨一下这个问题.
知识导学

问题1:下列各角的终边与角α的终边的关系
角
2kπ+α(k∈Z)
π+α
-α
图示

与角α终
边的关系
相同
关于原点对称
关于x轴对称

角
π-α
-α
+α
图示

与角α终
边的关系
关于y轴对称
关于直线
y=x对称
互相垂直

　　问题2:请根据点的对称性推导“-α，π+α，π-α”的诱导公式.
设角α与单位圆的交点为(a，b)，
(1)-α与α的终边与单位圆的交点关于x轴对称，-α与单位圆的交点为(a，-b).
sin(-α)=-sin α，cos(-α)=cos α，tan(-α)=　-tan α　. 
(2)α+π与α的终边与单位圆的交点关于原点对称，α+π与单位圆的交点为(-a，-b).
sin(α+π)=-sin α，cos(α+π)=-cos α，tan(π+α)=　tan α　. 
(3)π-α与α的终边与单位圆的交点关于y轴对称，π-α与单位圆的交点为(-a，b)，sin(π-α)=sin α，cos(π-α)=-cos α，tan(π-α)=　-tan α　. 
问题3:形如“-α，+α”的诱导公式的推导
设角α与单位圆的交点为(a，b)，
(1)-α的终边与x的终边关于y=x对称，与单位圆交点坐标称为(b，a)，sin(-α)=cos α，cos(-α)=sin α，tan(-α)=　cot α　. 
(2)+α的终边即α的终边逆时针旋转90°，与单位圆交点坐标为(-b，a)，sin(+α)=cos α，cos(+α)=-sin α，tan(+α)=　-cot α　. 
问题4:正切函数的诱导公式有哪些？
(1)tan(α+kπ)=　tan α　，其中k∈Z. 
(2)tan(-α)=　-tan α　. 
(3)tan(π-α)=　-tan α　. 
(4)tan(π+α)=　tan α　. 
(5)tan(2π-α)=　-tan α　. 
(6)tan(+α)=　-　. 
(7)tan(-α)= 　. 
知识链接

三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用弦切互化法:主要利用公式tan x=化成正弦、余弦函数来进行相关计算.
基础学习交流

1.已知cot(-α)=，则tan(α-)的值是(　　).
A.-　　　B.　　　C.-　　　D.
【解析】tan(α-)=tan[--(-α)]
=-tan[+(-α)]=cot(-α)=，故选B.
【答案】B
2.函数y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间(，)内的图像大致是(　　).

　　【解析】当<x≤π时，sin x≥0，tan x≤0，∴y=tan x+sin x-(sin x-tan x)=2tan x；
当π<x<时，sin x<0，tan x>0，∴y=tan x+sin x-(tan x-sin x)=2sin x，故选D.
【答案】D
3.函数y=|tan x|的单调递减区间是　　　　. 
【解析】根据y=|tan x|的图像可知.
【答案】(-+kπ，kπ)(k∈Z)
4. 已知tan(+α)=2，求tan(-α)的值.
【解析】∵(+α)+(-α)=π，∴-α=π-(+α)，
∴tan(-α)=tan[π-(+α)]
=-tan(+α)
=-2.

第二层级：思维探索与创新
重难点探究
探究一
利用正切函数诱导公式化简
求的值.
【方法指导】利用诱导公式将原式的各个角转化为[0°，90°)内的角，然后用特殊角的三角函数值计算.
【解析】原式=
===.
【小结】利用诱导公式，将任意角的三角函数问题转化为锐角的三角函数问题，其一般步骤为:
　任意负角的
三角函数相应正角的
三角函数[0，2π)的
三角函数锐角三角函数三角函数值，诱导公式可用“奇变偶不变，符号看象限”来概括记忆.
探究二

利用诱导公式证明三角恒等式
设tan(α+π)=a，求证:=.
【方法指导】从角的关系入手，将所求各角用α+π表示，然后用诱导公式和三角函数关系式求证.
【解析】左边=
==
==右边.
【小结】本题是条件等式证明问题，采用代入法使被证等式得证.证明条件等式一般有两种方法:一是从被证等式一边推向另一边，在适当的时候将条件代入，推出被证等式的另一边，这种方法称作代入法；二是直接将条件等式变形为被证等式，这种方法称作推出法.证明条件等式不论使用哪种方法都要盯住目标，据果变形.
探究三

利用正切函数诱导公式求值
已知角α终边上的一点A(，-1)，
求的值.
【方法指导】先由角α终边上的一点求角α的某个(些)三角函数值，再利用诱导公式将所需求值的三角函数式化为角α的三角函数表示，最后代入值计算.
【解析】原式==sin α，而sin α=-，∴原式=-.
[问题]tan(+α)=cot α吗？
[结论]对于正切函数诱导公式tan(+α)=-cot α，易记成tan(+α)=cot α而导致解答错误.
于是，正确解答如下:
∵点A(，-1)是角α终边上的一点，∴x=，y=-1，
∴r===2，∴sin α==-，
∴原式==-sin α=.
【小结】本题主要考查的是角的终边上点的坐标与其三角函数的对应关系以及三角函数的诱导公式的应用，注意把握方法.
思维拓展应用
应用一
化简:.
【解析】原式=
==
=-=-·=-1.
应用二

求证:=-tan α.
【解析】左边===-tan α=右边.所以原式得证.
应用三

已知α为第四象限角，且tan α是方程x2-x-12=0的一个根，求的值.
【解析】∵===，
又方程x2-x-12=0的两根分别为4、-3，且由α为第四象限角知tan α<0，
∴tan α=-3，∴==.
第三层级：技能应用与拓展
基础智能检测
1.下列不等式中，正确的是(　　).
A.tan>tan
B.tan<tan
C.tan(-)<tan(-)
D.tan(-)>tan(-)
【解析】tan=tan(-)<tan；tan=tan(-)<tan；tan(-)=tan，tan(-)=tan，
∵>，∴tan>tan，
∴tan(-)>tan(-)；
tan(-)=tan(-3π-)=tan(-)=-tan，
tan(-)=tan(-2π-)=tan(-)=-tan.
又tan>tan，∴tan(-)<tan(-)，故选D.
【答案】D
2.化简的值是(　　).
A.-　　 　B.-1　　 　C.1　　 　D.
【解析】原式=-=-=-1.
【答案】B
3.sinπ·cosπ·tan(-π)的值是　　　　. 
【解析】原式=sin(π+)·cos(π-)·tan(-π-)
=(-sin)·(-cos)·(-tan)
=(-)×(-)×(-)=-.
【答案】-
4.已知角α终边上一点P(2，4)，求
的值.
【解析】∵角α终边上有一点P(2，4)，∴tan α==2，
∴
=
=
=
===-tan α=-2.
全新视角拓展

已知f(α)=，
(1)化简f(α)；
(2)若cos(α-)=，求f(α-)；
(3) 若α=-1860°，求f(α).
【解析】(1)f(α)=
==-cos α.
(2)由cos(α-)=得，cos(α+)=，
∴sin α=-.
∴f(α-)=-cos(α-)=-sin α=.
(3)当α=-1860°时，f(α)=-cos α
=-cos(-1860°)
=-cos 1860°
=-cos(5×360°+60°)=-cos 60°=-.
第四层级：总结评价与反思
思维导图构建

学习体验分享

固学案
基础达标检测
1.点A(sin 2013°，tan 2013°)在直角坐标平面上位于(　　).
A.第一象限　　　　　B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】由2013°=360°×5+(180°+33°)可知，2013°角的终边在第三象限，所以sin 2013°<0，tan 2013°>0，即点A位于第二象限，故选B.
【答案】B
2.若tan(π+α)=-，则tan(3π-α)的值为(　　).
A.　　　B.　　　C.-　　　D.-
【解析】因为tan(π+α)=tan α=-，所以tan(3π-α)=tan(π-α)=-tan α=.
【答案】A
3.化简:=　　　　　. 
【解析】原式=
===-1.
【答案】-1
4.已知π<α<2π，cos(α-7π)=-，求sin(3π+α)tan(α-π)的值.
【解析】∵cos(α-7π)=cos(7π-α)=cos(π-α)=-cos α=-，∴cos α=.
∴sin(3π+α)tan(α-π)=sin(π+α)[-tan(π-α)]
=sin α·tan(-α)=sin α·
=sin α·=cos α=.
基础技能检测

5.下列各式中正确的是(　　).
A.tan 735°>tan 800° B.tan 1>-tan 2
C.tan<tan D.tan<tan
【解析】tan=tan(π+)=tan.
因为函数y=tan x在(0，)上是增函数，所以tan<tan，即tan<tan.
【答案】D
6.已知f(α)=，则f(-)的值为(　　).
A.- B. C. D.-
【解析】∵f(α)==cos α，
∴f (-)=cos(-π)=cos(8π+)=cos=，故选B.
【答案】B
7.已知f(x)=，则f (-)=　　　　. 
【解析】∵f(x)==-cos xtan x=-sin x，∴f(-)=-sin(-)=sin=sin(10π+)=sin=.
【答案】
8.已知f(x)=tan 2x.
(1)求f(x)的定义域；
(2)比较f(-)与f()的大小；
(3)若f(x)≥1，求x的取值范围.
【解析】(1)依题意得，2x≠kπ+，k∈Z，∴x≠+，k∈Z.故f(x)的定义域为{x|x≠+，k∈Z}.
(2)因为f(-)=tan(-)=tan(-9π+)=tan，f()=tan=tan，
又0<<<，而正切函数在区间(0，)上是递增的，所以tan>tan，即f(-)<f().
(3)由正切函数的图像及已知可得，kπ+≤2x<kπ+(k∈Z)，即+≤x<+(k∈Z).
故所求的x的取值范围为[+，+)(k∈Z).
技能拓展训练

9.已知点P(sin α-cos α，tan α)在第一象限，则在[0，2π]内α的取值范围是　　　　. 
【解析】由题意知
由三角函数图像可得
∴α的取值范围是{α|<α<或π<α<}.
【答案】{α|<α<或π<α<}
10.设函数f(x)=asin(2x+)和g(x)=btan(2x-)，是否存在实数a，b，使得f()=g()，f()=-g()+1？若存在，求出此时的a，b；若不存在，请说明理由.
【解析】假设存在实数a，b符合条件.
则由f()=g()，f()=-g()+1，
得
整理得即
解得故存在符合条件的实数a，b，此时，a=1，b=.