历年高考函数导数解答题(理科).doc

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四川高考理科数学试题2006年—2011年函数导数解答题
1．（2006年四川高考22题）已知函数f(x)的导函数是。对任意两个不相等的正数，证明：
（Ⅰ）当时，；
（Ⅱ）当时，。

2．（2007年四川高考22题）设函数.
(Ⅰ)当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;
(Ⅱ)对任意的实数x,证明＞
(Ⅲ)是否存在,使得an＜＜恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.

3．（2008年四川高考22题）已知是函数的一个极值点．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若直线与函数的图像有个交点，求的取值范围．

4．（2009年四川高考21题）已知函数。
（I）求函数的定义域，并判断的单调性；
（II）若
（III）当（为自然对数的底数）时，设，若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值。

5．（2010年四川高考22题）设（且），g(x)是f(x)的反函数.
（Ⅰ）设关于的方程求在区间[2，6]上有实数解，求t的取值范围；
（Ⅱ）当a＝e（e为自然对数的底数）时，证明：；
（Ⅲ）当0＜a≤时，试比较与4的大小，并说明理由.

6．（2011年四川高考22题）已知函数
(I)设函数，求的单调区间与极值；
(Ⅱ)设，解关于的方程
(Ⅲ)试比较与的大小.

四川高考理科数学试题函数导数答案
1．（2006年四川高考22题）
证明：（Ⅰ）由
得

而 ①
又， ∴ ②
∵∴∵,∴ ③由①、②、③得
即
（Ⅱ）证法一：由，得
∴

下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成立
即证成立∵
设，则,令得，列表如下：

极小值

∴∴对任意两个不相等的正数，恒有
证法二：由，得
∴
∵是两个不相等的正数
∴
设，则，列表：

极小值

∴ 即
∴
即对任意两个不相等的正数，恒有
2．（2007年四川高考22题）
（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是
（Ⅱ）证法一：因

证法二：因
而
故只需对和进行比较。
令，有由，得
因为当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处有极小值，故当时，，从而有，亦即，故有恒成立。
所以，原不等式成立。
（Ⅲ）对，且
有

又因，故
∵，从而有成立，
即存在，使得恒成立。
3．（2008年四川高考22题）
（Ⅰ），
是函数的一个极值点．
（Ⅱ）由（Ⅰ），
令，得，．
和随的变化情况如下：

1

3

0

0

增
极大值
减
极小值
增
的增区间是，；减区间是．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减．
∴，．又时，；
时，；可据此画出函数的草图（图略），由图可知，
当直线与函数的图像有3个交点时，的取值范围为．
4．（2009年四川高考21题）解：（Ⅰ）由题意知
当

当
当….（4分）
（Ⅱ）因为
由函数定义域知>0,因为n是正整数，故0<a<1.
所以
（Ⅲ）
令
① 当m=0时，有实根，在点左右两侧均有故无极值
② 当时，有两个实根
当x变化时，、的变化情况如下表所示：

+
0
-
0
+

↗
极大值
↘
极小值
↗
的极大值为，的极小值为
③ 当时，在定义域内有一个实根，
同上可得的极大值为
综上所述，时，函数有极值；
当时的极大值为，的极小值为
当时，的极大值为
5．（2010年四川高考22题）解：(1)由题意，得ax＝＞0
故g(x)＝，x∈(－∞,－1)∪(1,＋∞)
由得，_w w. k#s5_u.c o*m
t＝(x-1)2(7-x)，x∈[2,6]，
则t'=-3x2+18x-15=-3(x-1)(x-5) 列表如下：
x
2
(2,5)
5
(5,6)
6
t'

+
0
-

t
5
↗
极大值32
↘
25
所以t最小值＝5，t最大值＝32，所以t的取值范围为[5,32]………5分
(2) ＝ln()
＝－ln
令u(z)＝－lnz2－＝－2lnz＋z－，z＞0
则u'(z)＝－＝(1－)2≥0，所以u(z)在(0,＋∞)上是增函数
又因为＞1＞0，所以u()＞u(1)＝0
即ln＞0w_w w. k#s5_u即………………………9分
(3)设a＝，则p≥1，1＜f(1)＝≤3
当n＝1时，|f(1)－1|＝≤2＜4
当n≥2时
设k≥2,k∈N *时，则f(k)＝w_w w.＝1＋
所以1＜f(k)≤1＋
从而n－1＜≤n-1+＝n+1-＜n＋1
所以n＜＜f(1)＋n＋1≤n＋4
综上所述，总有|－n|＜4
6．（2011年四川高考22题）（1）， 令，
所以是其极小值点，极小值为。是其极大值点极大值为
（2）；
由

时方程无解
时
方程的根为
(3)，

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