2014高分必备——高考数学最后冲刺经典大题预测大汇编(79页-含解析).doc

高考数学最后冲刺大题汇编（高分必备）
1. 三角函数
（1） 求值：主要考角的变换（配角，二倍角正逆两用，齐次式，角度相对性）
（2） 图像性质：降幂公式、辅助角公式、五点作图（方法）、四大性质、有范围的值域问题
（3） 正余弦定理：正余弦定理、面积公式（俩公式）、向量数量积、测量航海等实际应用问题
（4） 与二次函数、斜率、圆、椭圆参数方程相关的最值问题
2. 概率统计
（1） 几何概型：分清数轴和线性规划（坐标系）、积分（两种问题）有关问题
（2） 条件概率：根据条件叙述判断得到
（3） 古典概型
（4） 二项分布
3. 立体几何
（1） 线面平行垂直位置关系、空间角
（2） 体积、面积、三视图、斜二侧画法
4. 导数
（1） 两种切线问题：已知是切点；不是切点
（2） 两种单调性问题：求单调区间；已知单调性
（3） 与之相关的不等式证明、零点个数问题
5. 数列
（1） 相关思想
（2） 累加、累乘、错位相减、列项相消
（3） 数学归纳法
（4） 二项式定理
（5） 递推、同除、凑配等方法
（6） 等差等比数列相关公式
（7） 分段数列
（8） 函数相关
6. 解析几何
（1） 求轨迹：直接、转代、参数
（2） 几何性质
（3） 与判别式、韦达定理、面积、中点、弦长、最值（本身隐含，函数，均值）直线设法相关的问题
三角
1、已知函数的图象经过点和．
（1）求实数和的值；
（2）当为何值时，取得最大值．
解：（1）∵函数的图象经过点和，
∴即
解得．
（2）由（1）得

．
∴当，即，
即时，取得最大值2．
2、在△中，角所对的边分别为，已知，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
解：（1）由余弦定理，，………………………………………2分
得，…………………………………………………4分
．……………………………………………………………………………6分
（2）方法1：由余弦定理，得，………………………………8分
，………………………10分
∵是的内角，
∴．………………………………………………………12分
方法2：∵，且是的内角，
∴．………………………………………………………8分
根据正弦定理，，……………………………………………………10分
得． ……………………………………………12分
3、设函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）当时，的最大值为2，求的值，并求出的对称轴方程．
解：（1） … 2分
则的最小正周期， ……………………………………………………………4分
且当时单调递增．
即为的单调递增区间（写成开区间不扣分）．………………6分
（2）当时，当，即时．
所以． …………………………………………………9分
为的对称轴． ………………………………12分
4、已知，
（Ⅰ）求函数的最小正周期;
(Ⅱ) 当,求函数的零点.
解：（Ⅰ）=…………………….4分
故…………………………………………………5分
（Ⅱ）令，=0，又 …… ………….7分
…………………………………………9分
故 函数的零点是 ……………. 12分
5、已知函数
（Ⅰ）求函数f (x)的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f (x)的单调减区间.
（Ⅰ）………………………………3分
所以 ………………………………6分
（Ⅱ）由（），……………………..9分
得（）…………………………………….11分
所以，减区间为（）………………………………12分
6、已知向量，，函数．
（Ⅰ）求的最大值及相应的的值；
（Ⅱ）若，求的值．
解：（Ⅰ）因为，，所以

．
因此，当，即（）时，取得最大值；
（Ⅱ）由及得，两边平方得
，即．
因此，．
7、在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，已知，且最长边的边长为l.求：
（I）角C的大小；
（II）△ABC最短边的长.
解：（I）tanC＝tan[π－（A＋B）]＝－tan（A＋B）
∵， ∴ ……………………5分
（II）∵0<tanB<tanA，∴A、B均为锐角, 则B<A，又C为钝角，
∴最短边为b ，最长边长为c……………………7分
由，解得 ……………………9分
由 ，∴ ………………12分
8、设的周期，最大值，
（1）求、、的值；
（2）。
解析：(1) ， ， ，
又 的最大值。
， ① ，且 ②，
由 ①、②解出 a=2 , b=2.
(2) ， ，
，
， 或 ，
即 ( 共线，故舍去) ， 或 ，
。
9、已知函数f（x）=Asin（ωx+）（A>0，ω>0，x∈R）在一个周期内的图象如图所示，求直线y=与函数f（x）图象的所有交点的坐标。
解析：根据图象得A=2，T=π－（－）=4π，
∴ω=，∴y=2sin（+），
又由图象可得相位移为－，∴－=－，∴=.即y=2sin（x+）。
根据条件=2sin（），∴=2kπ+(k∈Z)或=2kπ+π（k∈Z），
∴x=4kπ+（k∈Z）或x=4kπ+π（k∈Z）。
∴所有交点坐标为（4kπ+）或（4kπ+）（k∈Z）。
10、若。
分析：注意的两变换，就有以下的两种解法。
解法一：由，

解法二：，

11、设函数f(x)=cos2x +sinx cosx+a(其中＞0,aR),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为。
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）如果f(x)在区间上的最小值为，求a的值。
解析：（I）
依题意得 ．
（II）由（I）知，。
又当时，，故，从而在区间上的最小值为，故
12、已知向量
（I）若求 （II）求的最大值。
解析：（1）；

当=1时有最大值,此时，最大值为。
13、在中，，，，求的值和的面积。
解法一：先解三角方程，求出角A的值。

又,
,

。
解法二：由计算它的对偶关系式的值。
①

,
②
　 ①　+　②　得　　。
　 ①　－　②　得　　。
从而　。
以下解法略去。
14、已知ΔABC的三个内角A、B．C成等差数列，其外接圆半径为1，且有。（1）求A、B．C的大小；（2）求ΔABC的的面积。
解析：∵A+B+C=180°且2B=A+C，∴B=60°，A+C=120°，C=120°－A。
∵，
∴=，
又∵0°<A<180°，∴A=60°或A=105°，
当A=60°时，B=60°，C=60°，

当A=105°时，B=60°，C=15°，

15、在，求（1）（2）若点
解析：（1）解：（1）由，
，
由正弦定理知，
（2），。
由余弦定理知：

16、在锐角中，角所对的边分别为，已知，（1）求的值；（2）若，，求的值。
解析：（1）因为锐角△ABC中，A＋B＋C＝p，，所以cosA＝，
则

（2），则bc＝3。
将a＝2，cosA＝，c＝代入余弦定理：中，
得解得b＝。
17、已知A、B、C是三内角，向量，且，（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若
解析：（Ⅰ）∵ ∴，即，
，；
∵，∴，∴。
（Ⅱ）由题知，
整理得，∴ ∴；
∴或，而使，舍去；
∴。
18、在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值。
分析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理。由b2=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值。
解法一：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac。
又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc。
在△ABC中，由余弦定理得：cosA===，∴∠A=60°。
在△ABC中，由正弦定理得sinB=，∵b2=ac，∠A=60°，
∴=sin60°=。
解法二：在△ABC中，
由面积公式得bcsinA=acsinB。
∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB。
∴=sinA=。
19、已知函数．
　　（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；

　　（2）在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f（x）在区间[，上的图像．

解：（1）

　　所以函数的最小正周期为，最大值为．
　　（2）由（1）知

1

1

1
　　故函数在区间，上的图像是

差应用题、二次函数类型
图3
A
B
C
D
E
F
G
P
立体
1、如图3所示，四棱锥中，底面为正方形，
平面，，，，分别为
、、的中点．
（1）求证：；
（2）求二面角D－FG－E的余弦值．

（1）证法1：∵平面，平面，∴．
又为正方形，∴．
∵，∴平面．……………………………………………3分
∵平面，∴．
∵，∴．…………………………………………………………6分
证法2：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，， ，，，．
…………………………………………………4分
x
y
z
A
B
C
D
E
F
G
P
∵，
∴．………………………………………6分

（2）解法1：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，．
………………8分
设平面DFG的法向量为，
∵
令，得是平面的一个法向量．…………………………10分
设平面EFG的法向量为，
∵
令，得是平面的一个法向量．……………………………12分
∵．
设二面角的平面角为θ，则．
所以二面角的余弦值为．………………………………………14分
解法2：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，，．………………………………8分
x
y
z
A
B
C
D
E
F
G
P
过作的垂线，垂足为，
∵三点共线，∴，
∵，∴，
即，解得．
∴．………………………………………………10分
再过作的垂线，垂足为，
∵三点共线，∴，
∵，∴，
即，解得．
∴．……………………………………………12分
∴．
∵与所成的角就是二面角的平面角，
所以二面角的余弦值为．………………………………………14分
2、如图，已知四棱锥的
底面是菱形；平面,，
点为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的正切值．
(Ⅰ)证明: 连结，与交于点，连结.………………………………………1分
是菱形, ∴是的中点. ……………………………………………………………2分
点为的中点, ∴. ……………………………………………………………3分
平面平面, ∴平面. …………… 6分
(Ⅱ)解法一:
平面,平面,∴ .
，∴. …………………………… 7分
是菱形, ∴.
，
∴平面. …………………………………………………………………………………8分
作，垂足为，连接，则,
所以为二面角的平面角. ……………………………………………………… 10分
,∴，.
在Rt△中,=，……………………………………………………… 12分
∴.…………………………………………………………… 13分
∴二面角的正切值是. ………………………………………………………… 14分
解法二：如图，以点为坐标原点，线段的垂直平分线所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，令，…………………………………2分
则，,．

F
P
D
C
B
A
∴． ……………………4分
设平面的一个法向量为,
由，得，
令，则，∴. …………………7分
平面,平面,
∴. ……………………………………………… 8分
，∴.
是菱形,∴.
，∴平面.…………………………………………………………… 9分
∴是平面的一个法向量,．……………… 10分
∴，
∴， …………………………………… 12分
∴．………………………………………… 13分
∴二面角的正切值是. …………………………………… 14分
3、如图，在三棱拄中，侧面，已知
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）试在棱(不包含端点上确定一点的位置,使得；
(Ⅲ) 在（Ⅱ）的条件下,求二面角的平面角的正切值.

证（Ⅰ）因为侧面，故
在中， 由余弦定理有

故有
而 且平面

（Ⅱ）由
从而 且 故
不妨设 ，则，则
又 则
在中有 从而（舍负）
故为的中点时，
法二：以为原点为轴，设，则 由得 即

化简整理得 或
当时与重合不满足题意
当时为的中点
故为的中点使
（Ⅲ）取的中点，的中点，的中点，的中点
连则，连则，连则
连则，且为矩形，
又 故为所求二面角的平面角
在中，

法二：由已知， 所以二面角的平面角的大小为向量与的夹角
因为
故
4、如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到点，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积．

证明：（Ⅰ）∵ 在平面上的射影在上，
　∴ ⊥平面，又平面
　∴ ………………………………………………………………………2分
又，
∴ 平面，又，
∴ …………………………4分
（Ⅱ）∵ 为矩形 ，∴
由（Ⅰ）知
∴ 平面，又平面
∴ 平面平面 ……………………8分
（Ⅲ）∵ 平面 ， ∴ ．…………10分
∵ ， ∴ ， ………12分
∴ …………14分
5、一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点.
（1）求证：
（2）当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP//平面FMC,并给出证明.

证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF,DF=AD=DC
(1)连接DB，可知B、N、D共线，且AC⊥DN
又FD⊥AD FD⊥CD，
FD⊥面ABCD
FD⊥AC
AC⊥面FDN
GN⊥AC
（2）点P在A点处
证明：取DC中点S，连接AS、GS、GA
G是DF的中点，GS//FC,AS//CM
面GSA//面FMC

GA//面FMC 即GP//面FMC
6、如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点
（Ⅰ）证明：直线；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。
方法一：（1）证明：取OB中点E，连接ME，NE

又

（2）
为异面直线与所成的角（或其补角）
作连接

，
所以 与所成角的大小为
（3）点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作
于点Q，
又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离
，
，所以点B到平面OCD的距离为
方法二(向量法)
作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系
,
(1)
设平面OCD的法向量为,则
即
取,解得

(2)设与所成的角为,

, 与所成角为
(3)设点B到平面OCD的交流为,则为在向量上的投影的绝对值, 由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为
7、已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PB=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD（如图2）。
（Ⅰ）证明：平面PAD⊥PCD；
（Ⅱ）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC
把几何体分成的两部分；
（Ⅲ）在M满足（Ⅱ）的情况下，判断直线AM
是否平行面PCD.
（I）证明：依题意知：
…………2分
…4分
（II）由（I）知平面ABCD
∴平面PAB⊥平面ABCD. …………4分
在PB上取一点M，作MN⊥AB，则MN⊥平面ABCD，
设MN=h
则

…………6分
要使
即M为PB的中点. …………8分
（III）以A为原点，AD、AB、AP所在直线为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系
则A（0，0，0），B（0，2，0），
C（1，1，0），D（1，0，0），
P（0，0，1），M（0，1，）
由（I）知平面，则
的法向量。 …………10分
又为等腰

因为
所以AM与平面PCD不平行. …………12分

8、如图所示，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，底面，为的中点.
D
P
E
A
B
C
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成的角；
（Ⅲ）求点到平面的距离.
解法一：（Ⅰ）设与交点为，延长交的延长线于点，
则，∴，∴，∴，
又∵，∴，
又∵，∴，
∴，∴
又∵底面，∴，∴平面，
∵平面，∴平面平面…………………………………（4分）
（Ⅱ）连结，过点作于点，
则由（Ⅰ）知平面平面，
且是交线，根据面面垂直的性质，
P
E
A
B
D
C
H
F
得平面，从而即
为直线与平面所成的角.
在中，，
在中，
. 所以有，
即直线与平面所成的角为…………………………………（8分）
（Ⅲ）由于，所以可知点到平面的距离等于点到平面的距离的，即. 在中，，
从而点到平面的距离等于………………………………………………（12分）
解法二：如图所示，以点为坐标原点，
P
E
A
B
D
C
z
x
y
直线分别为轴，
建立空间直角坐标系，
则相关点的坐标为
，，，.
（Ⅰ）由于，，
，
所以，
，
所以，
而，所以平面，∵平面，
∴平面平面……………………………………………………………（4分）
（Ⅱ）设是平面的一个法向量，则，
由于，，所以有
，
令，则，即，
再设直线与平面所成的角为，而，
所以，
∴，因此直线与平面所成的角为………………（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知是平面的一个法向量，而，
所以点到平面的距离为
9、已知四棱锥的底面是正方形，⊥底面，且，点、分别在侧棱、上，且
（Ⅰ）求证：⊥平面；
（Ⅱ）若，求平面与平面的所成锐二面角的大小
解：（Ⅰ）因为四棱锥P—ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，
则CD⊥侧面PAD
又
又……………5分
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系又PA=AD=2，
则有P（0，0，2），D（0，2，0）

设则有

同理可得
即得…………………………8分
由

而平面PAB的法向量可为

故所求平面AMN与PAB所成锐二面角的大小为
10、在棱长AB=AD=2，AA1=3的长方体AC1中，点E是平面BCC1B1上动点，点F是CD的中点.
（Ⅰ）试确定E的位置，使D1E⊥平面AB1F；
（Ⅱ）求二面角B1—AF—B的大小.
解：（Ⅰ）以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），F（1，2，0），B1（2，0，3），D1（0，2，3），
设E（2，y，z），则
…………4分
由
∴ 为所求 …………6分
（Ⅱ）当D1E⊥平面AB1F时，=（2，－1， ……8分
又分别是平面BEF与平面B1EF的法向量， …………9分
则二面角B1—AF—B的平面角等于 …………10分
∵ …………11分
∴B1—AF—B的平面角为
11、如图，在组合体中，是一个长方体，是一个四棱锥．，，点且．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求与平面所成的角的正切值；
（Ⅲ）若，当为何值时，．
(Ⅰ)证明：因为，，所以为等腰直角三角形，所以． ……1分
因为是一个长方体，所以，而，所以，所以． ……3分
因为垂直于平面内的两条相交直线和，由线面垂直的判定定理，可得．…4分
(Ⅱ)解：过点在平面作于，连接．……5分
因为，所以，所以就是与平面所成的角．……6分
因为，，所以． ……7分
所以与平面所成的角的正切值为． ……8分
(Ⅲ)解：当时，． ……9分
当时，四边形是一个正方形，所以，而，所以，所以． ……10分
而，与在同一个平面内，所以． ……11分
z
x
y
而，所以，所以． ……12分
方法二：(Ⅰ)如图建立空间直角坐标系，设棱长，则有，，，． ……2分
于是，，，所以，．……3分
所以垂直于平面内的两条相交直线和，由线面垂直的判定定理，可得． ……4分
(Ⅱ)，所以，而平面的一个法向量为．…5分
所以． ……6分
所以与平面所成的角的正弦值为． ……7分
所以与平面所成的角的正切值为． ……8分
(Ⅲ)，所以，．设平面的法向量为，则有，令，可得平面的一个法向量为． ……10分
若要使得，则要，即，解得．…11分
所以当时，．
12、如图，在三棱拄中，侧面，已知
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）试在棱(不包含端点上确定一点的位置,使得；
(Ⅲ) 在（Ⅱ）的条件下,求二面角的平面角的正切值.
证（Ⅰ）因为侧面，故
在中，
由余弦定理有

故有
而 且平面

（Ⅱ）由
从而 且 故
不妨设 ，则，则
又 则
在中有 从而（舍负）
故为的中点时，
法二：以为原点为轴，设，则 由得 即

化简整理得 或
当时与重合不满足题意
当时为的中点
故为的中点使
（Ⅲ）取的中点，的中点，的中点，的中点
连则，连则，连则
连则，且为矩形，
又 故为所求二面角的平面角
在中，

法二：由已知， 所以二面角的平面角的大小为向量与的夹角
因为
故

概率
1、某计算机程序每运行一次都随机出现一个二进制的六位数，其中 的各位数中，，（2，3，4，5）出现0的概率为，出现1的概率为，记，当该计算机程序运行一次时，求随机变量的分布列和数学期望（即均值）．
解：的可能取值是2，3，4，5，6．
∵，
∴， ，， ，
．
∴的分布列为

2
3
4
5
6

∴的数学期望为．
2、已知射手甲射击一次，击中目标的概率是．
（1）求甲射击5次，恰有3次击中目标的概率；
（2）假设甲连续2次未击中目标，则中止其射击，求甲恰好射击5次后，被中止射击的概率．
解：（1）设“甲射击5次，恰有3次击中目标”为事件A，则
．
答：甲射击5次，恰有3次击中目标的概率为．………………………………6分
（2）方法1：设“甲恰好射击5次后，被中止射击”为事件C，由于甲恰好射击5次后被中止射击，所以必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次与第二次至少有一次击中目标，则
．
答：甲恰好射击5次后，被中止射击的概率为．……………………………12分
方法2：设“甲恰好射击5次后，被中止射击”为事件C，由于甲恰好射击5次后被中止射击，所以必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次与第二次至少有一次击中目标，则
．
答：甲恰好射击5次后，被中止射击的概率为．……………………………12分
3、一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球．
（Ⅰ）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；
（Ⅱ）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差.
解：
（Ⅰ）解法一：“有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，
记“有放回摸球两次，两球恰好颜色不同”为事件，………………………………………………2分
∵“两球恰好颜色不同”共种可能，…………………………………5分
∴． ……………………………………………………………………7分
解法二：“有放回摸取”可看作独立重复实验， ………………………………………………………2分
∵每次摸出一球得白球的概率为．………………………………………5分
∴“有放回摸两次，颜色不同”的概率为． ………………7分
（Ⅱ）设摸得白球的个数为，依题意得：
，，．…………10分
∴，…………………………………………………12分
．……………………………14分
4、甲、乙、丙三人分别独立的进行某项技能测试，已知甲能通过测试的概率是，甲、乙、丙三人都能通过测试的概率是，甲、乙、丙三人都不能通过测试的概率是，且乙通过测试的概率比丙大.
（Ⅰ）求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少；
（Ⅱ）求测试结束后通过的人数的数学期望.
解（Ⅰ）设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是、依题意得：

即 或 （舍去）┅┅┅┅┅┅┅4分
所以乙、丙两人各自通过测试的概率分别是、. ┅┅┅┅┅┅┅6分
（Ⅱ）因为

所以= ┅┅┅┅┅┅┅12分
5、将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是．
（Ⅰ）求小球落入袋中的概率；
（Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球，记为落入袋中的小球个数，试求的概率和的数学期望．

解：（Ⅰ）记“小球落入袋中”为事件，“小球落入袋中”为事件，则事件的对立事件为，而小球落入袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故
，
从而；
（Ⅱ）显然，随机变量，故
，．
6、在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一巨大汽油罐.已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射击命中率都是.，每次命中与否互相独立.
(Ⅰ) 求油罐被引爆的概率. (Ⅱ) 如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望；
解：（I）“油罐被引爆”的事件为事件A，其对立事件为，则P()=C…………4分
∴P(A)=1- 答：油罐被引爆的概率为…………6分
（II）射击次数ξ的可能取值为2，3，4，5， …………7分
P(ξ=2)=， P(ξ=3)=C ，
P(ξ=4)=C， P(ξ=5)=C …………10分

故ξ的分布列为：

ξ
2
3
4
5
P

Eξ=2×+3×+4×+5×= …………12分
7、小李和小王同时到某商场购物，并参加购物促销的抽奖活动. 抽奖规则是：一袋中有大小相同的红球5个，白球2个，红球上分别标有数字1，2，3，4，5. 每次购物满100元可抽奖1次，200元可抽奖2次，以此类推. 每次抽奖时，从袋中任意取出两个球（不放回），如果两个球都是红色则中奖，球上标记的数字之和表示所得奖金（单位：元）.
（1）小李购物100元，求他没有中奖的概率；
（2）小王购物200元，求他的奖金数的期望.
解：（1）记没有中奖为事件A，由题设得. ……（4分）
（2）中奖一次后的奖金结果为
，共10种， ……（6分）
记一次中奖后的奖金数为X，则，其分布列为：
X
3
4
5
6
7
8
9
P

所以，. ……（10分）
因为抽奖一次后中奖的概率为，所以小王购物200元，他的奖金数的期望为（元）. ……（13分）
8、甲、乙两个商店购进同一种商品的价格为每件30元，销售价均为每件50元。根据前5年的有关资料统计，甲商店这种商品的需求量ξ服从以下分布：
ξ
10
20
30
40
50
P
0.15
0.20
0.25
0.30
0.10
乙商店这种商品的需求量服从二项分布～ B ( 40，0.8 )
若这种商品在一年内没有售完，则甲商店在一年后以每件25元的价格处理。乙商店一年后剩下的这种商品第1件按25元的价格处理，第2件按24元的价格处理，第3件按23元的价格处理，依此类推。今年甲、乙两个商店同时购进这种商品40件，根据前5年的销售情况，请你预测哪间商店的期望利润较大？
解：Eξ=10 ×0.15 + 20×0.20 + 30× 0.25 + 40 ×0.30 + 50× 0.10 =30
∴甲商店的期望利润为
30 ×（50 – 30）–（40 – 30 ）×（30 – 25 ）=550 （元）
Eη=40× 0.8 = 32
由题意知，乙商店剩下的产，商品亏本金额是以30 – 25 =5为首项，公差为1，项数为40 – 32 = 8的等差数列。
∴乙商店剩下的亏本金额为
8×5 +×1 = 68（元）
∴乙商店的期望利润为32×（50 – 30）– 68 = 576（元）> 550(元)
答：乙商店的期望利润较大。
9、袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数.
（1）求袋中所有的白球的个数；
（2）求随机变量的概率分布；
（3）求甲取到白球的概率.
解：解:(1)设袋中原有个白球,由题意知
可得或(舍去)即袋中原有3个白球.
(2)由题意,的可能取值为1,2,3,4,5

所以的分布列为:

1
2
3
4
5

(3)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第5次取球,记”甲取到白球”为事件,则.
10、随机地向半圆（为正常数）内掷一点，点落在园内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与轴的夹角小于的概率.
0yx
yx
a

x
解析：半圆域如图
设‘原点与该点连线与轴夹角小于’
由几何概率的定义
。
1y
y
1y
0.9
0.1
0y
A
S
y
11、随机地取两个正数和，这两个数中的每一个都不超过1，试求与之和不超过1，积不小于0.09的概率.
解析：，不等式确定平面域。
‘’则发生的充要条件为不
等式确定了的子域，
故：

12、盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意任取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：
(Ⅰ)抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；
(Ⅱ)抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概念；
(Ⅲ)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率。
解析：（I）“抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为A，
由题意得：；
（II）“抽出的3张中有2张卡片上的数字是3”的事件记为B，
则；
（III）“抽出的3张卡片上的数字互不相同”的事件记为C，“抽出的3张卡片上有两个数字相同”的事件记为D，由题意，C与D是对立事件，
因为，
所以.
13、为了研究某高校大学新生学生的视力情况，随机地抽查了该校100名进校学生的视力情况，得到频率分布直方图,如图.已知前4组的频数从左到右依次是等比数列的前四项，后6组的频数从左到右依次是等差数列的前六项．
(Ⅰ)求等比数列的通项公式;
（Ⅱ)求等差数列的通项公式；
视力
4.3 4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
0.1
0.3

(Ⅲ)若规定视力低于5.0的学生属于近视学生,试估计该校新生的近视率的大小.

解：（I）由题意知：，

∵数列是等比数列，∴公比
∴ .
(II) ∵=13,
∴，
∵数列是等差数列，∴设数列公差为，则得，
　∴＝87，
，，
(III)=,
(或=)
答:估计该校新生近视率为91%.
14、旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.
（1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率
（2）求恰有2条线路没有被选择的概率.
（3）求选择甲线路旅游团数的期望.
解：（1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为：P1=
（2）恰有两条线路没有被选择的概率为：P2=
（3）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3
P（ξ=0）= P（ξ=1）=
P（ξ=2）= P（ξ=3）=
∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P

∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=
15、在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个.现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球.重复以上操作，最多取3次，过程中