电磁场与电磁波第四版第二章部分答案.docx

习题二
2.9无限长线电荷通过点（6,8,0）且平行于z轴，线电荷密度为ρ,试求点P(x,y,x)处的电场强度E。
解：线电荷沿z方向为无限长，故电场分布与z无关，设P位于z=0的平面上。则R=exx-6+eyy-8,R=(x-6)2+(y-8)2
eR=RR=exx-6+eyy-8(x-6)2+(y-8)2
则P点的E为
E=eRρ2πε0R=RR∙ρ2πε0R=ρ2πε0∙exx-6+eyy-8(x-6)2+(y-8)2
2．10半径为a的一个半圆环上均匀分布着线电荷ρ，如图所示。试求垂直于半圆环所在轴线的平面上z=a处的电场强度E(0,0,a)。
解：
P(0,0,a)的位置矢量是r=eza,电荷元ρdl=ρad∅,r'=exacos∅'+eyasin∅'
r-r'=eza-exacos∅'-eyasin∅'
=a2+acos∅'2+asin∅'2=2a
dE=ρa4πε0r-r'2a3d∅=ρ82 πε0ez-exacos∅'+eyasin∅'ad∅
E0,0,a=dE
=ρ82 aπε0-π2π2ez-exacos∅'+eyasin∅' d∅
=ρ(ezπ-ex2)82 aπε0
2.12一个很薄的无限大导体带电平面，其上的面电荷密度为ρs。试证明：垂直于平面的z轴上z=z0处的电场强度中，有一半是由平面上半径为3z0的圆内的电荷产生的。
解：取面积元ds'=r'd∅'dr',dq=ρsds'=ρsr'd∅'dr',电荷元在z=z0处产生的电场强度dE=ρsr'd∅'dr'4πε0∙ezz0+err'z02+r'232
整个平面在z=z0处的电场强度为E=ρs4πε0∙0r02πezz0+err'z02+r'232r'dr'd∅'
=-ezρsz02ε01z02+r212+ezρs2ε0

当r→∞时，E=exρs2ε0,当r=3z0时，E'=ezρs4ε0=12E
2.15半径为a的导体球形体积内充满密度为ρr的体电荷。若已知球形体积内外的电位移分布为
D=erDr=err3+Ar2 0<r≤aera5+Aa4r2 r≥a
式中A为常数，试求电荷密度ρr
解：有∇∙D=ρ，得
ρr=∇∙D=1r2ddr(r2Dr)
0<r≤a,此时ρr=1r2ddrr2r3+Ar2=5r2+4Ar
r>a,此时ρr=1r2ddrr2a5+Aa4r2=0
2.22通过电流密度为J的均匀电流的长圆柱体导体中有一平行的圆柱形空腔，其横截面如图所示，试计算各部分的磁感应强度，并证明空腔内的磁场是均匀的。
解：
将题所示非对称电流看成两个对称电流的叠加，电流密度为J的电流分布在半径为b的圆柱内，电流密度为-J的电流分布在半径为a的圆柱内。
根据安培环路定律B∙dl=μ0I
在半径为b的圆柱体内，
当ρb<b,2πρbBb=μ0J×πρb2,即Bb=μ02J×ρb
当ρb>b, 2πρbBb=μ0J×πb2ρb2,即Bb=μ0b22J×ρbρb2
在半径为a的圆柱体内，
当ρa<a时，同理可得，Ba=-μ02J×ρa
当ρa>a时，同理可得，Ba=-μ0a22J×ρaρa2
圆柱外（ρb>b），B=μ0b22J×ρbρb2-μ0a22J×ρaρa2=u02j×(b2ρb2∙ρb-a2ρa2∙ρa)
圆柱内的空腔外（ρb<b，ρa>a）B=μ02J×ρb-μ0a22J×ρaρa2=u02j×（ρb-a2ρa2∙ρa）
空腔内（ρa<a）B=μ02J×ρb-μ02J×ρa=μ02J×ρb-ρa=μ02J×d
d是ob到oa的位置矢量，故空腔内的磁场是均匀的
2.23 在xy平面上沿+x方向有均匀面电流Js,如图所示，若将xy平面视为无限大，求空间任意一点的H。
解：作垂直于xy平面的矩形闭合线abcda，由安培环路定理可得
H∙ab+H∙cd=Jsab
在z>0的区域内，有-Hy-Hyab=Jsab即Hy=-12Js
在z<0的区域内，同理可得Hy=12Js
综上所述：H=12Js×en, en为面电流的外法向单位矢量
2.25平行双线与一矩形回路共面，如图所示，设a=0.2m，b=c=d=0.1m,i=0.1cos(2π×107t)A,求回路中的感应电动势。
解：由安培环路定理得,设矩形回路与左线的距离为r,
B左=μ0i2πr
B右=μ0i2π(b+c+d-r)
方向：垂直纸面向内
则
εin=-ddtB∙ds=-ddt[B左ds+ B右ds]
B左ds=bb+cμ0i2πradr=μ0ia2πr ln⁡(b+cb)
B右ds=dc+dμ0i2π(b+c+d-r) adr=μ0ia2πr ln⁡(b+cb)
εin=-ddt[B左ds+ B右ds]=-2-ddt[μ0ia2πrlnb+cb]
=-μ0aπlnb+cbddt[0.1cos2π×107t]
=0.348sin⁡(2π×107t) V
2.30煤质1的电参数为ε1=4ε0，μ1=2μ0,σ1=0;煤质2的电参数为ε2=2ε0，μ2=3μ0，σ2=0.两种煤质分界面的法向单位矢量为en=ex0.64+ey0.6-ez0.48,由煤质2指向煤质1.若已知煤质1内临近分界面的点p处的磁感应强度B1=ex-ey2+ez3∙sin300t T,求p点处下列量的大小：B1n、B1t、B2n、B2t.
解：由磁场边界条件得，
B1n=B2n=en∙B1=ex0.64+ey0.6-ez0.48∙ex-ey2+ez3=0.64-1.2-1.44T=2T
B1t=B12-B1n2=1+4+9-4T=3.16T
由磁场边界条件可知：
H1t=H2t
μ1B1t=μ2B2t即：B2t=μ2μ1B1t=3μ02μ0×3.16=4.74T