排列组合备课教案.doc

主题
课题：两个原理和排列

学问内容： 1、分类计数原理和分步计数原理2、排列、排列数概念
3、排列数的计算公式
4．排列应用题
力量目标： 1、通过两个原理的学习，培育学生的解决实际问题的力量；
2、通过排列的学习，可以迁移学问，更好的运用两个原理，并能解决稍简单的数学问题。
3、培育学生的分析问题力量、解决问题的力量。数学思想：转化思想

情感与价值观：1、通过两个原理和排列的学习，加深数学与生活的联系，使数学更接近生活，增加了学生学习数学的兴趣。
2、学生通过转化思想的运用和分析问题力量的提高，培育了良好的思维习惯和严谨的学风。
重点：1、两个原理的理解与应用；
2 排列概念的理解与应用； 难点：实际问题的分析
时间安排：第一课时：两个原理 周五
其次课时：两个原理的应用 周六
第三课时：排列、排列数 周一
第四课时：排列的简洁应用〔一〕 周二
第五课时：排列应用〔二〕 周三
第六课时：综合练习 周四

作业安排：练习册习题处理

具体内容：

一． 学问讲解：

第一课时：两个原理

1. 分类计数原理(加法原理)：做一件事情，完成它可以有n 类方法，在第一类

方法中有m
1
种不同的方法，在其次类方法中有m
2
种不同的方法，……，在第n

类方法中有m
n
种不同的方法那么完成这件事共有

N = m + m
1 2
+ + m
n
种不同的方法

2. 分步计数原理(乘法原理)：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一

步有m
1
种不同的方法，做其次步有m
2
种不同的方法，……，做第 n 步有m 种
n

不同的方法，那么完成这件事有

N = m ´ m
1 2
´ ´ m
n
种不同的方法

3. 强调学问的综合是近年的一种可取的现象．两个原理，可以与物理中电路的串联、并联类比．
两个根本原理的作用：计算做一件事完成它的全部不同的方法种数
两个根本原理的区分：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”

二．例题讲解：
例 1 书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书，第 2 层放有 3 本不同的文艺书，第 3 层放有 2 本不同的体育书，
（1） 从书架上任取 1 本书，有多少种不同的取法？
（2） 从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书，有多少种不同的取法？

例 2 一种号码拨号锁有 4 个拨号盘，每个拨号盘上有从 0 到 9 共 10 个数字， 这 4 个拨号盘可以组成多少个四位数号码？

例 3．要从甲、乙、丙3 名工人中选出 2 名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？

三．作业：练习册课时作业 33 课时。

其次课时：两个原理的应用
一．例题讲解：
例 1 在 1～20 共 20 个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种?
共有 45+45=90 种不同取法.
例 2 在 1～20 共 20 个整数中取两个数相加,使其和大于 20 的不同取法共有多少种? 解: 共有 10+9+9+…+2+2+1+1=100 种.
例 3 如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用屡次,但相邻区域必需涂不同颜色,则不同涂色方法种数为
A. 180 B. 160 C. 96 D. 60

①
② ④ ①
③ ④
④
③ ③
① ② ②

图一 图二 图三

假设变为图二,图三呢?(240 种,5×4×4×4=320 种) 例 4 如以下图,共有多少个不同的三角形?
解:全部不同的三角形可分为三类”

第一类:其中有两条边是原五边形的边,这样的三角形共有 5 个
其次类:其中有且只有一条边是原五边形的边 ,这样的 三角形共有 5×4=20 个
第三类:没有一条边是原五边形的边 ,即由五条对角线围成的三角形,共有 5+5=10 个
由分类计数原理得,不同的三角形共有 5+20+10=35 个.
例 5 75600 有多少个正约数?有多少个奇约数?
解:75600 的约数就是能整除 75600 的整数,所以此题就是分别求能整除75600 的整数和奇约数的个数.
由于 75600=24×33×52×7
(1) 依据分步计数原理得约数的个数为 5×4×3×2=120 个.
(2) 奇约数中步不含有 2 的因数,因此 75600 的每个奇约数都可以写成
3 j × 5k × 7l 的形式,同上奇约数的个数为 4×3×2=24 个. 二、课堂练习：
1. 用 1,2,3,4,5 可组成多少个三位数?(各位上的数字允许重复)
2. 用数字 1,2,3 可写出多少个小于 1000 的正整数? (各位上的数字允许重复)
3. 集合 A=｛a,b,c,d,e｝,集合 B=｛1,2,3｝,问 A 到 B 的不同映射 f 共有多少个?B 到 A 的映射 g 共有多少个?
4. 将 3 封信投入 4 个不同的邮筒的投法共有多少种?
5. 求集合｛1,2,3,4,5｝的子集的个数
答案：1. 5×5×5×5=625 2. 3+32+33=39 3. 35,53 4. 43 5. 32 个.

三．作业：课时作业第 34 课时

第三 课时：排列、排列数
一．学问讲解： 1．排列的概念：
从n 个不同元素中，任取m 〔 m £ n 〕个元素〔这里的被取元素各不一样〕 依据一．定．的．顺．序．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一．个．排．列． 说明：〔1〕排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按肯定的挨次排列；
〔2〕两个排列一样的条件：①元素完全一样，②元素的排列挨次也一样2．排列数的定义：
从n 个不同元素中，任取m 〔 m £ n 〕个元素的全部排列的个数叫做从n 个
元素中取出m 元素的排列数，用符号 A m 表示
n
留意区分排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从 n 个不同元素中，任取m 个元素依据一．定．的．顺．序．排成一列，不是数；“排列数”是指从n 个不同元素

中，任取m 〔 m £ n 〕个元素的全部排列的个数，是一个数所以符号 Am 只表示
n
排列数，而不表示具体的排列3．排列数公式及其推导：
二、例题讲解：
例 1．计算：〔1〕 A3 ； 〔2〕 A6 ； 〔3〕 A4 ．
16 6 6

例 2．〔1〕假设 Am = 17 ´16 ´15 ´
n
´ 5 ´ 4 ，则n = ， m = ．

〔2〕假设n Î N , 则(55 - n)(56 - n) (68 - n)(69 - n) 用排列数符号表示 ．
例 3．〔1〕从2,3,5,7,11 这五个数字中，任取 2 个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？
〔2〕5 人站成一排照相，共有多少种不同的站法？
（3） 某年全国足球甲级〔A 组〕联赛共有 14 队参与，每队都要与其余各队在三．作业：课时作业第 35 课时。
第四课时：排列应用〔一〕
8!+ A6 (m -1)!
例 1．计算：① 6 ；② ．
A2 - A4 An-1 (m - n)!

8 10
m-1

例 2．解方程：3 A3 = 2 A2 + 6 A2 ．
x x+1 x

例 3．解不等式： Ax > 6 Ax-2 ．

9 9

例 4．求证：〔1〕 An = Am × An-m ；〔2〕
(2n)!

= 1× 3× 5

(2n -1)．

n n n-m
2n × n!

例 5．化简：⑴ 1 + 2 + 3 + + n -1 ；⑵1´1!+ 2´ 2!+ 3´ 3!+ + n ´ n!
2! 3! 4! n!
作业：课时 36 作业。

第五课时：排列应用〔二〕
例 1 从 10 个不同的文艺节目中选 6 个编成一个节目单，假设某女演员的独唱节目肯定不能排在其次个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？
解法一：〔从特别位置考虑〕 A1 A5 = 136080 ；
9 9
解法二：〔从特别元素考虑〕假设选： 5 × A5 ；假设不选： A6 ，
9 9
则共有5 × A5 + A6 = 136080 种；
9 9

解法三：〔间接法〕 A6
10
- A5
9
= 136080

例 2． 7 位同学站成一排，
（1） 甲、乙两同学必需相邻的排法共有多少种？ 共有 A6 × A2

= 1440 种

6 2

（2） 甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？ 共有 A5 A3 ＝720
5 3
种

（3） 甲、乙两同学必需相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？
共有 A2 A4 A2 ＝960 种方法
5 4 2
（4） 甲、乙、丙三个同学必需站在一起，另外四个人也必需站在一起

共有排法种数： A3 A4 A2 = 288 〔种〕

例 3．7 位同学站成一排，
3 4 2

〔1〕甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？

解法一：〔排解法〕 A7
7
- A6
6
× A2
2
= 3600 ；

解法二：〔插空法〕 A5 A2 = 3600 种方法．
5 6
〔2〕甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？
解： 共有 A4 A3 ＝1440 种．
4 5
例 4．5 男 5 女排成一排，按以下要求各有多少种排法：〔1〕男女相间；〔2〕女生按指定挨次排列

解：〔1〕 排法有 N = 2 A5 × A5 = 28800 〔种〕；
5 5

〔2〕方法 1： N =
A10
10
A5
5
= A5
10
= 30240 ；

方法 2： 结论为 N = A5 ´1 = 30240 〔种〕
10
作业：课时作业 37
第六课时：综合应用
一、练习
1. 停车场上有一排七个停车位，现有四辆汽车需要停放，假设要使三个空位连在一起，则停放方法数为〔 〕
A ． A4 B ． A3 C ． A5 D ． A5 × A3
7 7 5 5 3

2. 五种不同商品在货架上排成一排，其中 A, B 两种必需连排，而 C, D 两种不
能连排，则不同的排法共有〔 〕
A ．12 种 B ．20 种 C ．24 种 D ．48 种
3．6 张同排连号的电影票，分给 3 名教师与 3 名学生，假设要求师生相间而坐， 则不同的分法有 〔 〕

A ． A3 × A3
B ． A3 × A3
C ． A3 × A3
D ． 2 A3 × A3

3 4 3 3 4 4 3 3
4. 某人射出8 发子弹，命中4 发，假设命中的4 发中仅有 3 发是连在一起的，那么该人射出的 8 发，按“命中”与“不命中”报告结果，不同的结果有〔 〕 A ．720 种 B ．480 种 C ．24 种 D ．20 种
5. 设 x, y Î N *且 x + y £ 4 ，则在直角坐标系中满足条件的点M (x, y) 共有 个

6．7 人站一排，甲不站排头，也不站排尾，不同的站法种数有 种；甲不站排头，乙不站排尾，不同站法种数有 种
7. 一部电影在相邻 5 个城市轮番放映，每个城市都有 3 个放映点，假设规定必需在一个城市的各个放映点放映完以后才能转入另一个城市，则不同的轮映次序有 种〔只列式，不计算〕．
8. 一天课表中，6 节课要安排 3 门理科，3 门文科，要使文、理科间排，不同的排课方法有 种；要使 3 门理科的数学与物理连排，化学不得与数学、物理连排，不同的排课方法有 种
9. 某商场中有 10 个展架排成一排，呈现 10 台不同的电视机，其中甲厂 5 台， 乙厂 3 台，丙厂 2 台，假设要求同厂的产品分别集中，且甲厂产品不放两端，则不同的陈设方式有多少种？
10. 用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的四位数，其中〔1〕三个偶数字连在一起的四位数有多少个？〔2〕十位数字比个位数字大的有多少个？ 11．在上题中，含有 2 和 3 并且 2 和 3 不相邻的四位数有多少个？
答案：1. C 2. C 3. D 4. D 5. 6 6. 3600, 3720 7. A5 (A3 )5
5 3

8. 72, 144 9. 2 A5 A3 A2 = 2880 10.⑴30； ⑵150 11. 66 种
5 3 2
二、小结 ：1．对有约束条件的排列问题，应留意如下类型： ①某些元素不能在或必需排列在某一位置；②某些元素要求连排〔即必需相邻〕；③某些元素要求分别〔即不能相邻〕．
2．根本的解题方法：①有特别元素或特别位置的排列问题，通常是先排特别元素或特别位置，称为优先处理特别元素〔位置〕法〔优限法〕；②某些元素要求必需相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；③某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；
④在处理排列问题时，一般可承受直接和间接两种思维形式，从而寻求有效的解题途径，这是学好排列问题的根基