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§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
(时间：50分钟 满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知命题“∀a，b∈R，如果ab>0，则a>0”则它的否命题是 ( )
A．∀a，b∈R，如果ab<0，则a<0
B．∀a，b∈R，如果ab≤0，则a≤0
C．∃a，b∈R，如果ab<0，则a<0
D．∃a，b∈R，如果ab≤0，则a≤0
答案：B
2．(2011·山东日照调研)“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的 ( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：若命题“p或q”为真命题，则p、q中至少有一个为真命题．若命题“p且q”为真命题，则p、q都为真命题，因此“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的必要不充分条件．
答案：C
3．若函数f(x)＝x2＋(a∈R)，则下列结论正确的是 ( )
A．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数
B．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数
C．∃a∈R，f(x)是偶函数
D．∃a∈R，f(x)是奇函数
解析：对于A只有在a≤0时f(x)在(0，＋∞)上是增函数，否则不成立；对于B，如果a≤0就不成立；对于D若a＝0，则成为偶函数了，因此只有C是正确的，即对于a＝0时有f(x)＝x2是一个偶函数，因此存在这样的a，使f(x)是偶函数．
答案：C
4．(2011·潍坊模拟)下列说法错误的是 ( )
A．命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2－4x＋3≠0”
B．“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件
C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题
D．命题p：“∃x∈R使得x2＋x＋1＜0”，则綈p：“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”
解析：逆否命题是对条件结论都否定，然后再将否定后的条件作结论，结论作条件，则A是正确的；x＞1时，|x|＞0成立，但|x|＞0时，x＞1不一定成立，故x＞1是|x|＞0的充分不必要条件，故B是正确的；p且q为假命题，则p和q至少有一个是假命题，故C不正确；特称命题的否定是全称命题，故D正确．
答案：C
5．由命题p：“函数y＝是减函数”与q：“数列a，a2，a3，…是等比数列”构成的复合命题，下列判断正确的是 ( )
A．p或q为真，p且q为假，非p为真
B．p或q为假，p且q为假，非p为真
C．p或q为真，p且q为假，非p为假
D．p或q为假，p且q为真，非p为真
解析：y＝在(0，＋∞)和(－∞，0)上分别为减函数，p是假命题．
又a＝0时，数列a，a2，a3，…不是等比数列，∴q是假命题．
∴p或q为假，p且q为假，非p为真．
答案：B
二、填空题(每小题4分，共16分)
6．(2011·山东淄博调研)已知命题“∃x∈R，使2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：由条件得命题“∀x∈R，使2x2＋(a－1)x＋＞0”是真命题，所以Δ＝(a－1)2－4＜0.解得－1＜a＜3.
答案：(－1,3)
7．已知命题p：函数f(x)＝log0.5(3－x)的定义域为(－∞，3)；命题q：若k＜0，则函数h(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．则下列结论中错误的是________．
①命题“p且q”为真；②命题“p或非q”为假；③命题“p或q”为假；④命题“非p且非q”为假．
解析：由3－x＞0，得x＜3，命题p为真，命题非p为假．又由k＜0，易知函数h(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，命题q为假，所以命题非q为真．所以命题“p且q”为假，命题“p或非q”为真，命题“p或q”为真，命题“非p且非q”为假．
答案：①②③
8．命题p：函数f(x)＝sin＋1满足f＝f，命题q：函数g(x)＝sin(2x＋φ)＋1可能为奇函数(φ为常数)，则复合命题①“p或q”，②“p且q”，③“非p”中，真命题是________．
解析：∵f(x)＝sin＋1，
∴f＝sin＋1
＝sin＋1＝cos 2x＋1＝2cos2x，
f＝sin＋1
＝sin＋1＝cos 2x＋1＝2cos2x，
∴f＝f，即命题p为真命题．
又命题q为假命题．
∴“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，“非p”为假命题．
答案：①
9．(2011·南京一调)设p：函数f(x)＝2|x－a|在区间(4，＋∞)上单调递增；q：loga2＜1.如果“綈p”是真命题，“p或q”也是真命题，那么实数a的取值范围是________．
解析：由题意知：p为假命题，q为真命题．当a＞1时，由q为真命题得a＞2；由p为假命题且画图可知：a＞4.当0＜a＜1时，无解．所以a＞4.
答案：(4，＋∞)
三、解答题(共3小题，共34分)
10．(本小题满分10分)写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)q：∀x∈R，x不是5x－12＝0的根；(2)r：有些质数是奇数；(3)s：∃x∈R，|x|＞0.
解：(1)綈q：∃x0∈R，x0是5x－12＝0的根，真命题．
(2)綈r：每一个质数都不是奇数，假命题．
(3)綈s：∀x∈R，|x|≤0，假命题．
11．(本小题满分12分)已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋3≥0，如果命题綈p是真命题，求实数a的取值范围．
解：∵綈p是真命题，∴p是假命题，又当p是真命题，即ax2＋2x＋3≥0恒成立时，
应有，∴a≥，∴当p为假命题时，a＜.
∴实数a的取值范围是a＜.
12．(本小题满分12分)(2010·江苏盐城调研)命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0，对一切x∈R恒成立，q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
解：设g(x)＝x2＋2ax＋4，
由于关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，故Δ＝4a2－16＜0，∴－2＜a＜2.
又∵函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，∴3－2a＞1，∴a＜1.
又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．
(1)若p真q假，则∴1≤a＜2；
(2)若p假q真，则∴a≤－2.
综上可知，所求实数a的取值范围为1≤a＜2，或a≤－2.
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