【Word版题库】第六章第1讲-数列的概念与简单表示法.doc

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第六章 数列
第1讲　数列的概念与简单表示法
一、填空题
1．已知数列，1，，，，…，，…，则3是它的第_______项．
解析　3＝＝.
答案　23
2．已知函数y＝anx2(an≠0，n∈N*)的图象在x＝1处的切线斜率为2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，且当n＝1时其图象过点(2,8)，则a7的值为________．
解析 由题知y′＝2anx，∴2an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，∴an－an－1＝，又n＝1时其图象过点(2,8)，∴a1×22＝8，得a1＝2，∴{an}是首项为2，公差为的等差数列，an＝＋，得a7＝5.
答案 5
3．已知数列{an}满足a1＝1，且an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则a2＝________；an＝________.
解析 由an＝n(an＋1－an)，可得＝，
则an＝···…··a1＝×××…××1＝n，∴a2＝2，an＝n.
答案 2；n
4．数列{an}的通项an＝，则数列{an}中的最大值是________．
解析 因为an＝，运用基本不等式得，≤，由于n∈N*，不难发现当n＝9或10时，an＝最大．
答案
5．设函数f(x)＝数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵数列{an}是递增数列，又an＝f(n)(n∈N*)，
∴⇒2<a<3.
答案 (2,3)
6．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝，则＝________.
解析 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，所以＝5×6＝30.
答案 30
7．数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋2，若对所有的n∈N*，都有an＋1＞an成立，则实数k的取值范围是________．
解析　an＋1＞an，即(n＋1)2＋k(n＋1)＋2＞n2＋kn＋2，则k＞－(2n＋1)对所有的n∈N*都成立，而当n＝1时，－(2n＋1)取得最大值－3，所以k＞－3.
答案　(－3，＋∞)
8．在数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－(n≥2)，则a16＝________.
解析　由题可知a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，∴此数列是以3为周期的周期数列，a16＝a3×5＋1＝a1＝.
答案　
9．已知{an}的前n项和为Sn，且满足log2(Sn＋1)＝n＋1，则an＝________.
解析　由已知条件可得Sn＋1＝2n＋1.
∴Sn＝2n＋1－1，
当n＝1时，a1＝S1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n，
n＝1时不适合an，∴an＝
答案　
10．已知5×5数字方阵
中，aij＝
则3j＋i4＝________.
解析　由条件可知a32＝－1，a33＝1，a34＝－1，a35＝－1，a24＝1，a34＝－1，a44＝1，从而原式＝－1.
答案　－1
二、解答题
11．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.
(1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
(3)该数列从第几项开始各项都是正数？
解 (1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.
(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，
解得n＝16或n＝－9(舍去)，
即150是这个数列的第16项．
(3)令an＝n2－7n＋6>0，
解得n>6或n<1(舍)．
∴从第7项起各项都是正数．
12．设数列{an} 的前n项和为Sn.已知a1＝a，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.
(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；
(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．
解 (1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，
即Sn＋1＝2Sn＋3n，
由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，
∴{Sn－3n}是等比数列，
因此，所求通项公式为
bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*.①
(2)由①知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，
于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2
＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，
an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2
＝2n－2，
当n≥2时，an＋1≥an⇔12·n－2＋a－3≥0⇔a≥－9.
又a2＝a1＋3>a1.
综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞)．
13．设数列{bn}满足：b1＝，bn＋1＝b＋bn，
(1)求证：＝－；
(2)若Tn＝＋＋…＋，对任意的正整数n,3Tn－log2m－5>0恒成立．求m的取值范围．
解　(1)∵b1＝，bn＋1＝b＋bn＝bn(bn＋1)，
∴对任意的n∈N*，bn>0.
∴＝＝－，即＝－.
(2)Tn＝＋＋…＋＝－＝2－.
∵bn＋1－bn＝b>0，∴bn＋1>bn，∴数列{bn}是单调递增数列．
∴数列{Tn}关于n递增．∴Tn≥T1.
∵b1＝，∴b2＝b1(b1＋1)＝.∴T1＝2－＝.
∴Tn≥.∵3Tn－log2m－5>0恒成立．
∴log2m<－3，∴0<m<.
14．已知数列{an}的前n项和Sn＝，且a1＝1.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn＝ln an，是否存在k(k≥2，且k∈N*)，使得bk，bk＋1，bk＋2成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由．
解　(1)法一　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，即＝(n≥2)．所以是首项为＝1的常数数列，所以＝1，即an＝n(n∈N*)．
法二　同上，得(n－1)an＝nan－1.同理得
nan＋1＝(n＋1)an，所以2nan＝n(an－1＋an＋1)，即
2an＝an－1＋an＋1，所以{an}成等差数列．又由a1＝1，得a2＝S2－a1，得a2＝2，得an＝1＋(n－1)＝n(n∈N*)．
法三　同上，得＝(n≥2)，
所以an＝···…···a1＝··…···1＝n，当n＝1时a1＝1，也满足an＝n，所以an＝n(n∈N*)．
(2)假设存在k(k≥2，k∈N*)，使得bk，bk＋1，bk＋2成等比数列，则bkbk＋2＝b.因为bn＝ln an＝ln n，
所以bkbk＋2＝ln k·ln(k＋2)＜2＝2＜2＝[ln(k＋1)]2＝b，这与bkbk＋2＝b矛盾．
故不存在k(k≥2，k∈N*)，使得bk，bk＋1，bk＋2成等比数列.