湖南省岳阳县第一中学物理奥赛教案+第七讲+静电场.doc

湖南省岳阳县第一中学2014年物理奥赛教案
第七讲 静电场
知识要点：库仑定律。电荷守恒定律。电场强度。电场线。点电荷的场强，场强叠加原理。均匀带电球壳壳内的场强和壳外的场强公式（不要求导出）。匀强电场。电场中的导体。静电屏蔽。电势和电势差。等势面。点电荷电场的电势公式（不要求导出）。电势叠加原理。均匀带电球壳壳内和壳外的电势公式（不要求导出）。电容。电容器的连接。平行板电容器的电容公式（不要求导出）。电容器充电后的电能。电介质的极化。介电常数。
一、电场强度
电场强度是一个从力的角度描述电场的物理量，定义式为：
E=F/q
根据库仑定律，两个点电荷之间的作用力为
F=
其中F既与形成电场的电荷Q有关，又与检验电荷q有关。用F/q来定义电场可以理解为从F中删去外界因素(即检验电荷q)剩下的便是纯粹的场因素了。物理学中大多数用两个物理量的商来定义的物理量，都是起源于这种思想。
1、电场强度的叠加
△Ex
△Ey
△E
P
r
R
O
θ
根据力的叠加原理，如果空间某一点受到不止一个电荷的影响，则它们形成的电场可以叠加，因为场是一个矢量，所以必须用矢量的平行四边形法则来叠加。
有一个均匀带电圆环，半径为R，所带电量为Q，圆环轴线上离环心O为r处有一点P，那么圆环上每一部分电荷都会在P点产生自己的分电场，要求P的场强EP，就需要把各分电场叠加起来。
在圆环上取很短的一段△L(可以看成点电荷)，所带电量为q=，它在P点产生的分电场大小为：
△E=
根据对称性，圆环上小电荷在P点的场强垂直于轴方向的分量△Ey都相互抵消，而平行于轴方向的分量相互叠加加强
△Ex=
故合场强的大小为：EP=åEx==
注意：从这个结论可看出，当r=0，即P点在圆心O时，EP=0；当r>>R时，EP=，此时可将圆环看成一个点电荷。
2、均匀带电球壳内、外的电场
P
B
A
rA
rB
用电场叠加的方法和球的对称性可以得出均匀带电球壳内部场强处处为零。如图中P点的场强可以这样来分析：
过P点作两个顶角很小的对顶圆锥面，在球壳上截下两个近似圆形的小面积A和B(可看成两个点电荷qA和qB)，如图所示，由几何相似不难看出，A、B的面积和它们到P点的距离的平方rA2和rB2成正比，也就是讲点电荷的电量与它们和rA2和rB2成正比。根据库仑定律，可知点电荷qA和qB在P点的场强叠加后是互相抵消的。用同样的方法作出其它的对顶小顶角圆锥面，可得到同样的结果。故均匀带电圆球壳内的场强处处为零。
P
R
O
r
用叠加和对称的思路还可以得出：均匀带电球壳O(或球体)外某一点P的场强为：
EP=
式中r是OP的距离，Q是球壳(或球体)带的总电量，即在研究均匀带电球壳(或球体)外的场强时，可以把球壳(或球体)所带电量看做集中在球心上，而与球壳(或球体的半径)无关。
【例1】如图所示为一个均匀带电的同心球层，内半径为R1，外半径为R2，其体电荷密度为r，试求各处的场强大小。
R1
R2
解析：

【例2】 如图所示，一个均匀带电的薄半球壳，电量为Q，求球心O处的场强。
O
Q
解析：

【例3】一无限长均匀带电细线变成如图所示的平面图形，其中AB是半径为R的半圆弧，AA'平行于BB'，试求圆心O处的电场强度。
O
A
A'
B
B'
解：

【例4】如图a所示，已知半球体球面上均匀带正电，半径为R。现将半球体沿图中虚线分成两半，并将它们移至很远的地方，如图b所示，设分开后球上仍然均匀带电，则球冠在A'产生的场强E1和球台在A''产生的场强E2的方向如何？大小关系如何？
R/2
R/2
(a)
解析：

二、静电感应
一个导体在电场中产生静电感应的现象，这是一个与电场叠加有关的问题。
达到静电平衡时，外界电场和感应电荷的电场在导体内部的合场强为零。因此导体有如下性质：
①导体是等势体，导体表面是等势面(电势是指总电势)；
d
-q
A
②导体表面处的合场强不为零，方向总是垂直于导体表面；
③电荷分布在导体表面上。
【例5】一块无限大的导体板，左侧接地，在右侧离板d的A处放置一个负电荷q，求静电平衡后：
(A)板上感应在导体内任意一点P产生的场强；
(B)感应电荷在导体外任意一点P'处产生的场强；
(C)证明导体表面附近处的合场强垂直于导体表面；
(D)求-q所受的库仑力；
(E)若切断接地线后，将+Q放在导体板上，+Q将怎样分布？
解析：

三、电势
电势U是从能量的角度来描述电场的物理量。定义式为
U=E/q
其中E表示q在电场中某点的电势能，这个量显然是与q的大小、正负有关的，将U定义成E/q与将电场强度定义为F/q的目的是一样的，是为了从E量中删除外加因素量q，剩下的便是纯粹的场因素量了。
1、均匀带电导体球壳的电势
设均匀带电球壳的电量为Q，半径为R，由于均匀带电球壳在壳外产生场强与电荷集中在球心时相同，因此，离球心R处的电势为
U=
这就是这一均匀带电球壳的电势。
对于静电平衡的导体，球壳内场强处处为零，因此，整个球形区域是等势的，电势均为。
球壳外离球心r(r>R)处的电势为(原因是均匀带电球可看作点电荷)：
U=
2、电势的叠加
电势和电场一样，也可以叠加，因为电势是标量，所以两个电势的叠加只要求它们的代数和即可。
a
b
q
【例6】如图所示，球形金属腔带电量为Q，内半径为a，外半径为b，腔内距球心O为r处有一点电荷q，求圆心O处的电势。
解析：

B
A
C
【例7】如图所示，一个带正电的绝缘导体球壳A，顶部开一个小孔，有两个带正电小球B和C用导线相连，将B与球壳内壁接触一下后提到球壳中心，C离A较远，此时，B、C是否带电？若将C接地，再分析B、C的带电情况。
解析：

O1
O2
O3
O4
O5
P

【例8】真空中,有五个电量均为q的均匀带电薄球壳,他们的半径分别为R，R/2，R/4，R/8，R/16，彼此内切于P点。球心分别为O1 ,O2 O3 O4 O5 ,求O1 与O5间的电势差.(第15届预赛试题)
解析：
R1
R2
R3
Q
d
【例9】如图所示，半径为R1的导体球带电量q，在它外面同心地罩一金属球壳，其内外壁的半径分别为R2和R3。今在距球心为d(>R3)处放一电量为Q的点电荷，并将导体球壳接地，试问：
(1)球壳带的总电量是多少？
(2)如果用导线将壳内导体球与壳连接，球壳带电量是多少？
解析：

【例10】半径分别为R1和R2的两个同心半球面相对放置，两个半球面均匀带电，电荷面密度分别为s1和s2，求大半球面的径AOB上电势的分布。
A
B
R1
R2
O
C
D
解析：

【例11】电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面的半径为R，CD通过半球顶点C和球心O的轴线，如图所示，P、Q为CD轴线上在O点两侧且离O点距离相等的两点。已知P点的电势为UP，试求Q点的电势UQ。(第八届预赛试题)
A
B
C
O
P
Q
D
解析：

r
r
r
r
1
2
3
4
【例12】如图所示，在真空中有4个半径为a的不带电的相同导体球，球心分别位于边长为r(r>>a)的正方形的四个顶点上。首先让球1带电荷Q(Q>0)，然后，取一细金属丝，其一端固定于球1点，另一端分别依次与球2、3、4及大地接触，每次接触时间都足以使它们达到静电平衡，设分布在细金属丝上的电荷可以忽略不计，试求流入大地的电量表达式。
解析：

【例13】有些仪器，如静电加速器，其高压电极外面都有一接地金属罩，罩内充有一定压强的气体，假定是一金属球，接地金属罩是一同心金属薄球壳，如图所示，仪器工作时要求电极与金属之间的电势差为U0，选择适当的电极半径R1和球壳半径R2，有可能使靠近电极表面处的场强低于气体的击穿场强，从而使气体不被击穿。
R1
R2
O
(1)若R1已给定，则在理想情况下，R2取何值，电极处的场强有最小值？
(2)在实际情况中往往适当选择R1/R2之值，使电极处的场强为上述最小值的若干倍，但仍低于击穿场强，求当电极处的场强为上述最小值的4倍时，R1/R2应选何值？
解析：

【例14】在一个半径为R的导体球外，有一个半径为r的细圆环，圆环的圆心与导体球心的连线长为a(a<R)，且与环面垂直，如图所示。已知环上均匀带电，总电量为q，试问：(13届复赛试题)
(1)当导体球接地时，球上感应电荷总电量是多少？
(2)导体球不接地而所带总电量为零时，它的电势如何？
(3)当导体的电势为U0时，球上总电荷又是多少？
解析：R
a
O
r

四、电容器
1、电容器的串、并联
电容器的性能有两个指标：电容量和耐压值。在实际工作中，当这两个指标不能满足要求时，就需要将电容器并联或串联使用。
(1)并联
电容器并联主要是为了增大电容量(相当于增大正对面积)。n个电容器分别为C1、C2、C3、Cn的电容器并联时，总电容量为：
C=C1+C2+C3+C4+……+Cn
总耐压值与其中耐压值最低的一个电容器相同。
(2)串联
电容器串联主要是为了增大耐压值(相当于增大两极板间距离)。n个电容量分别为C1、C2、C3、Cn的电容器并联时，总电容量为：

总耐压值大于其中耐压值最高的一个电容器(大于每一个)。
2、平行板电容器
如果一个平行板电容器两板正对面积为S，两板间距为d，两板间充满介电常数为e的电介质，那么，这个平行板电容器的电容为
C=
如果在两板间插有两块电介质，厚度分别为d1、d2，介电常数分别为e1、e2，则可看成两个电容器串联，总电容为

如果在两板间插入一块厚度为d'的金属板，因为金属内部场强为零，所以可以看成两板间距减小了d'。
因孤立导体球也能带电，故它也具有电容，电容为
C===
3、电容器的能量
U
q
U0
q0
U0
电容器的电量和两极间的电压成正比，U-q图线是一条过原点的直线。因为△W=U△q，所以直线和q轴所包围的面积就是电池做的功W，也就是电容器所储存的电能E，因此
E===
对于电容器，除了电池可以充电外，还常遇到电容器互相充电的问题。在解决这一问题时，除了要用电容器串、并联的基本规律外，还要充分注意：①电容器二极板的电量一定相等；②电容器连接的“孤岛现象”。
E
C
C
a
b
K
【例15】如图所示电路中，电池的电动势为E，两个电容器的电容皆为C，K为一单刀双掷开关。开始时两电容器均不带电。(19届预赛试题)
(1)第一种情况，现将K与a接通，达到稳定，此过程中电池内阻消耗的电能等于__________；再将K与a断开而与b接通，此过程中电池供给的电能等于___________。
(2)第二种情况，现将K与b接通，达到稳定，此过程中电池内阻消耗的电能等于__________；再将K与b断开而与a接通，此过程中电池供给的电能等于___________。
【例16】极板相同的两个平行板空气电容器充以相同的电量，第一个电容器两极板间的距离是第二个电容器的两倍。如果将第二个电容器插在第一个电容器的两极间，并使所有极板都相互平行，问系统的静电能如何改变？
解析：

【例17】如图所示，三个相同的电容器连接成如图所示电路，已知电容器1带电量为Q，上板带正电，电容器2、3原来不带电。如果用导线将a、b相连，则三个电容器各板上带电量多少？
解析：a
b
1
2
3
c
d

【例18】由许多电容量为C的电容器组成一个多级网络，如图所示。
C
C
C
C
C
C
C
(1)在最后一级右边的电容器上并联一个多大的电容C'，可使整个网络的总电容也等于C'？
(2)若不加C'，但无限增加级数，整个网络的总电容为多少？
解析：

答案：(1)C'=；(2) Cn=
五、带电粒子在电场中的运动
1、带电粒子在电场中的加速
质量为m、带电量为q的粒子，以速率v0进入加速电压为U的电场中加速，则加速后速度v满足：
qU=-
得末速率为：v=
2、带电粒子在电场中偏转
如图所示，A、B为平行板电容器的两极板，板长为L，板间距离为d，板间电压为U，一质量为m、电量为q的粒子以初速度v0沿板中心轴线进入电场，发生偏转。则粒子做匀变速曲线。
处理方法：分解运动法。垂直电场方向：匀速运动；沿电场线方向：匀变速运动。
几个重要的物理量求法：
在电场中运动的时间：t=L/v0；
飞出电场发生的侧位移：y==
A
B
O
v0
v
vy
v0
飞出电场时偏转角度j：tanj=vy/vx=
可以证明：粒子离开电场时，速度方向所在的直线经过两板中心轴线的中点O。
当偏转电压的大小和方向随时间周期性变化时，则离子飞离电场的偏转距离也随之变化。如果偏转电压的变化周期远大于粒子穿越电场的时间t(t=L/v0)，则在粒子穿越电场的过程中，偏转电压可以看作定值处理(等于刚进入电场时的瞬时电压)，因此，当偏转电压按正弦规律变化时，连续射入的带电粒子将以入射方向为中心上下偏转，则位移随时间变化图象与偏转电压变化图象相似。
UAB
t
0
U0
-U0
T
2T
(a)
【例19】在平行金属板A、B间加上如图所示的交变电压，其频率为f，在t=0时刻，A板处有一质量为m、电量为q的正离子从静止开始向B板运动，重力忽略不计，求为使离子到B板时的速度最大，A、B板间的距离d应满足什么条件？
解析：

【例20】两块竖直放置的平行金属大平板、，相距，两极间的电压为U，一带正电的质点从两板间的M点开始以竖直向上的初速度v0运动，当它到达电场中某点N点时，速度变为水平方向，大小仍为v0，如图所示．求M、N两点问的电势差．（忽略带电质点对金属板上电荷均匀分布的影响）(18届预赛试题)
解析：A
B
M
N
v0
v0

【例21】在真空中速度为v=6.4×107m/s的电子束连续地射入两平行板之间，极板长为L=8.0×10-2m，间距d=5.0×10-3m，两极板不带电，电子束将沿两板之间的中线通过，如图所示，在两极板上加50Hz的交变电压U=U0sinwt，如果所加电压的最大值超过某一值UC时，将开始出现以下现象：电子束有时能通过两极板，有时间断，不能通过：
(1)求UC的大小；
(2)求U0为何值时，才能使通过的时间△t通跟间断的时间△t断之比为2∶1？
解析：L
d
v0
e
U
t
T/2
T
U0
-U0
UC
0

L
L
d
U0
K
S
A+
B-
(a)
【例22】如图所示，真空室中电极K发出的电子(初速不计)，经过电压U0=1000V的加速电场加速后，由小孔S沿两水平金属板A、B间的中心线射入，A、B板长L=0.20m，相距d=0.020m，加在A、B两板间的电场可以看作是均匀的，且两板外无电场，在每个电子通过区域的极短时间内，电场可视为恒定的，两板右侧放一记录圆筒，筒的左侧边缘与极板右端距离b=0.15m，筒绕其竖直轴匀速旋转，周期为T=0.200s，筒的周长s=0.20m，筒能收到通过A、B板间的全部电子。
U/V
t
0
100
0.1
0.2
0.3
0.4
0
x/cm
20
10
5
-5
(b)
(c)
(1)以t=0时(图b所示，此时U=0)电子打到圆筒记录纸的点作为x—y坐标的原点，并取y轴竖直向上，试计算电子打到记录纸上的最高点的x坐标和y坐标(不计重力)。
(2)在给出的坐标纸上(图c)，定量地画出电子打到记录纸上的点所形成的图线。
解析：

六、介质的极化 介电常数
1、电介质的极化
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
-
-
+
+
+
E
电介质可以分为两大类：一类是无极分子，在没有外电场时，每个分子的正、负电荷“重心”彼此重合，如气态的H2、O2、N2、CO2都属无极分子；另一类分子称为有极分子，它们在没有外电场时，正、负电荷的“重心”彼此不重合，如气态的H2O、SO2及液态的水硝基笨等都属于有极分子。
在外电场的作用下，无论是无极分子还是有极分子都要发生某种变化，这种变化叫做介质的极化。
如右图是某介质放入外电场E中，无极分子正、负负荷中心被拉开，分子成为一个偶极子。对于有极分子，由于分子热运动的无规则性，不加外电场时，分子的取向是混乱的，宏观上不显电性，在外电场作用下，有极分子发生转动，趋向有序排列。总子，无论是有极分子还是无极分子，有外电场的作用下都成为沿外电场方向排列的偶极子，象这样在外电场作用下，电介质在介面上出现束缚电荷的现象，称为电介质的极化，出现的束缚电荷，不能自由移动，叫极化电荷。
如图所示，对于极化后的介质，介质本身不显电性，可以等效为电荷分布在介质的两端，且两端带有等量异种电荷。与静电平衡有点相似。
不同的介质，在同一电场作用下，极化程度不同，为了描述介质不同的极化性质引入了介电常数ε这一物理量。
2、电介质的介电常数
电介质极化后，极化电荷在电介质内部产生一个与外电场相反的电场，因此，与真空中相比，电介质内部的电场要减弱，但不会为零，减弱的程度随电介质不同而不同。设外电场在真空中某点的场强为E0，充满介质后，该点场强减为E，则E0/E叫这种介质的介质常数，用
e=E0/E
任何电介质的介电常数都大于1，对于真空e=1，对于空气e可近似认为等于1，在真空中场强E0的区域内充满介电常数为e的电介质后，其场强为
E=E0/e
均匀电介质中库仑定律为：F=
在电介质中点电荷Q产生的电场、场强和电势计算公式：
E=，U=
充有电介质的平行板电容器公式表达式为
C=
【例23】如图所示，平行板电容器的极板面积为S，间距为d，求：
(1)将电容器接在电源上，插入厚度为d/2、介电常数为e的均匀电介质板，介质内外电场强度之比为多少？它们和未插入介质之前，电场强度之比为多少？
(2)在问题(1)中，若充电后拆去电源，再插入电介质，情况又如何？
解析：d/2

【例24】一个带电量为+Q的金属小球，周围充满介电常数为e的均匀电介质，如图所示，求与带电球接触的介质表面上的极化电荷。
解析：+Q
P
r

第七讲 静电场
在奥赛考纲中，静电学知识点数目不算多，总数和高考考纲基本相同，但在个别知识点上，奥赛的要求显然更加深化了：如非匀强电场中电势的计算、电容器的连接和静电能计算、电介质的极化等。在处理物理问题的方法上，对无限分割和叠加原理提出了更高的要求。
如果把静电场的问题分为两部分，那就是电场本身的问题、和对场中带电体的研究，高考考纲比较注重第二部分中带电粒子的运动问题，而奥赛考纲更注重第一部分和第二部分中的静态问题。也就是说，奥赛关注的是电场中更本质的内容，关注的是纵向的深化和而非横向的综合。

知识要点：库仑定律。电荷守恒定律。电场强度。电场线。点电荷的场强，场强叠加原理。均匀带电球壳壳内的场强和壳外的场强公式（不要求导出）。匀强电场。电场中的导体。静电屏蔽。电势和电势差。等势面。点电荷电场的电势公式（不要求导出）。电势叠加原理。均匀带电球壳壳内和壳外的电势公式（不要求导出）。电容。电容器的连接。平行板电容器的电容公式（不要求导出）。电容器充电后的电能。电介质的极化。介电常数。
一、电场强度
电场强度是一个从力的角度描述电场的物理量，定义式为：
E=F/q
根据库仑定律，两个点电荷之间的作用力为
F= E=k
其中F既与形成电场的电荷Q有关，又与检验电荷q有关。用F/q来定义电场可以理解为从F中删去外界因素(即检验电荷q)剩下的便是纯粹的场因素了。物理学中大多数用两个物理量的商来定义的物理量，都是起源于这种思想。
1、电场强度的叠加
根据力的叠加原理，如果空间某一点受到不止一个电荷的影响，则它们形成的电场可以叠加，因为场是一个矢量，所以必须用矢量的平行四边形法则来叠加。
如等量异种电荷连线的中垂线、等量同种电荷的连线的中垂线上的各点场强等。
△Ex
△Ey
△E
P
r
R
O
θ
有一个均匀带电圆环，半径为R，所带电量为Q，圆环轴线上离环心O为r处有一点P，那么圆环上每一部分电荷都会在P点产生自己的分电场，要求P的场强EP，就需要把各分电场叠加起来。
在圆环上取很短的一段△L(可以看成点电荷)，所带电量为q=，它在P点产生的分电场大小为：
△E= (cosq =)
根据对称性，圆环上小电荷在P点的场强垂直于轴方向的分量△Ey都相互抵消，而平行于轴方向的分量相互叠加加强
△Ex=
故合场强的大小为：EP=åEx==
注意：从这个结论可看出，当r=0，即P点在圆心O时，EP=0；当r>>R时，EP=，此时可将圆环看成一个点电荷。
小结：①微元法的应用；②“求和”的方法。
2、均匀带电球壳内、外的电场
用电场叠加的方法和球的对称性可以得出均匀带电球壳内部场强处处为零。如图中P点的场强可以这样来分析：
P
B
A
rA
rB
过P点作两个顶角很小的对顶圆锥面，在球壳上截下两个近似圆形的小面积A和B(可看成两个点电荷qA和qB)，如图所示，由几何相似不难看出，A、B的面积和它们到P点的距离的平方rA2和rB2成正比，也就是讲点电荷的电量与它们和rA2和rB2成正比。根据库仑定律，可知点电荷qA和qB在P点的场强叠加后是互相抵消的。用同样的方法作出其它的对顶小顶角圆锥面，可得到同样的结果。故均匀带电圆球壳内的场强处处为零。
P
R
O
r
用叠加和对称的思路还可以得出：均匀带电球壳O(或球体)外某一点P的场强为：
EP=
式中r是OP的距离，Q是球壳(或球体)带的总电量，即在研究均匀带电球壳(或球体)外的场强时，可以把球壳(或球体)所带电量看做集中在球心上，而与球壳(或球体的半径)无关。
3、均匀带电无限大薄板产生的电场
均匀带电无限大薄板产生的电场是匀强电场，设该平面的面电荷密度为s，则可求出该匀强电场的场强大小为
E=2pKs
上式表明，均匀带电的无限大平面薄板产生的电场中的场强大小只跟板上的电荷面密度s成正比，与到板的距离远近无关。
两个带有等量异号电荷且面电荷密度为s的无限大带电平板平行放置时，由场强叠加原理可知，两板内侧场强大小E内=4pKs，板外侧电场大小为E外=0。
4、无限长均匀带电直线（电荷线密度为λ）：E =
【例1】如图所示为一个均匀带电的同心球层，内半径为R1，外半径为R2，其体电荷密度为r，试求各处的场强大小。
R1
R2
解析：当r<R1时，E=0
当R1<r<R2时，E==k=
当r≥R2时，E= k=
【例2】 如图所示，一个均匀带电的薄半球壳，电量为Q，求球心处的场强。
解析：取球面上一微元△S，可以看成点电荷。设它与竖直线成q角，且带电量与其面积成正比。由于球壳对称性，球心的场强方向只能沿竖直方向，又该面积微元对球心部分的场强在竖直方向上的贡献为
O
q
△S
Ey
Ey=
其中△S是该小块的面积，s是电荷面密度，R是球半径。
方法一：球面上所有电量在O处产生的电场的合场强为各个△S的电量产生的电场的合成，由上式可得：
EO=ΣEy====
方法二：上述中△S cosq是该面积在水平面上的投影！所以当所有微元相加，得到的是球面所有小块的面积在水平方向上投影的和，也就是一个半径为R的圆的面积。
小结：本题用到了“微元法”求电场强度。
【例3】一无限长均匀带电细线变成如图所示的平面图形，其中AB是半径为R的半圆弧，AA'平行于BB'，试求圆心O处的电场强度。
O
A
A'
B
B'
解析：设电荷线密度为l，因△q很小，△L1上电荷与△L3上电荷看做点电荷，电量分别为
q1=R△ql，q2=l△L2=
O
A
A'
B
B'
△L1
△L2
△q
q
又q1在圆心O处产生的场强为E1==
q2在圆心O处产生的电场为
E2===
由此可知，q1和q2在圆心O处产生的电场大小相等，方向相反，故叠加为零，依此类推，可知所求场强为零。
小结：①电荷线密度的概念；②注意对称性的运用。
【例4】如图a所示，已知半球体球面上均匀带正电，半径为R。现将半球体沿图中虚线分成两半，并将它们移至很远的地方，如图b所示，设分开后球上仍然均匀带电，则球冠在A'产生的场强E1和球台在A''产生的场强E2的方向如何？大小关系如何？
A'
A''
R/2
R/2
(a)
(b)
(c)
E3
E1
E2
解析：易知球冠在A'产生的电场E1方向向右，球台上电荷在A''产生的电场E2方向向左(连接球台上的点到A''总是偏向左方)。
现将球体右边补全为球缺，则球缺上电荷在A''处产生的电场为E3，有
E1+E3=0
即E1与E3大小相等，方向相反。而E3又由球台上电荷的电场E2和右半球上电荷的电场E4叠加而成，E3肯定大于E2，故E1大于E2。
小结：本题采用了补偿法。这类题一般都要采用“填补的办法”。
二、静电感应
一个导体在电场中产生静电感应的现象，这是一个与电场叠加有关的问题。
达到静电平衡时，外界电场和感应电荷的电场在导体内部的合场强为零。因此导体有如下性质：
①导体是等势体，导体表面是等势面(电势是指总电势)；
d
-q
A
②导体表面处的合场强不为零，方向总是垂直于导体表面；
③电荷分布在导体表面上。
④导体内部场强处处为零。
【例5】一块无限大的导体板，左侧接地，在右侧离板d的A处放置一个负电荷q，求静电平衡后：
(A)板上感应电荷在导体内任意一点P产生的场强；
(B)感应电荷在导体外任意一点P'处产生的场强；
(C)证明导体表面附近处的合场强垂直于导体表面；
(D)求-q所受的库仑力；
(E)若切断接地线后，将+Q放在导体板上，+Q将怎样分布？
解析：(A)静电平衡的导体内部场强处处为零。故感应电荷在内部P点处的场强为E感=，方向沿着PA连接的反方向。
d
-q
A
E感b
P'
P''
+
+
+
+
-q
E感b
E-q
(B)
(C)
(B)如图所示，根据对称性，感应电荷在P'点产生的场强E感b必定与它在导体内P''点产生的场强镜像对称，设-q到P''的距离为rb，则
E感b=，方向如图所示。
(C)将(B)中的P'取在导体外表面，此处的电场由E-q和E感b叠加而成，不难看出，这两个电场的合场强是垂直于表面的。
(D)假如在导体内取一点和-q所在点A对称的A'点，A'点的场强由E-q和E感b叠加而为零。由对称性可知，A处的E感'(A点的感应电场)和E感(A'处的感应电场)应是大小相等、方向相反的，所以-q所受的电场力为
F=qE感'==，方向水平向左。
(E)因为E-q和E感在导体内部处处平衡，所以+Q只有均匀分布在导体两侧，才能保持导体内部处处场强为零。
小结：从以上可看出，对导体外部来讲，感应电荷的作用和在与A点对称的A'位置上放置一个+q的作用是完全等效的。这就是所谓的“电像法”。用电像法解题会带来很大的帮助。但要注意的是，电像法对导体内部不适用。
三、电势
电势U是从能量的角度来描述电场的物理量。定义式为
U=E/q
其中E表示q在电场中某点的电势能，这个量显然是与q的大小、正负有关的，将U定义成E/q与将电场强度定义为F/q的目的是一样的，是为了从E量中删除外加因素量q，剩下的便是纯粹的场因素量了。
1、均匀带电导体球壳的电势
设均匀带电球壳的电量为Q，半径为R，由于均匀带电球壳在壳外产生场强与电荷集中在球心时相同，因此，离球心R处的电势为
U=
这就是这一均匀带电球壳的电势。
对于静电平衡的导体，球壳内场强处处为零，因此，整个球形区域是等势的，电势均为。
球壳外离球心r(r>R)处的电势为(原因是均匀带电球可看作点电荷)：
U=
2、电势的叠加
电势和电场一样，也可以叠加，因为电势是标量，所以两个电势的叠加只要求它们的代数和即可。
a
b
q
【例6】如图所示，球形金属腔带电量为Q，内半径为a，外半径为b，腔内距球心O为r处有一点电荷q，求圆心O处的电势。
B
A
C
解析：由电场线的性质可知，从q出发的电场线全部终止于球形空腔的内壁，其故内壁带电量为-q，但分布不均匀。由电荷守恒定律可知，空腔外表面的电荷为Q+q，其电荷为均匀分布，因此，球心O处的电势为上述三种电荷产生的电势的叠加。即
U0=-+
小结：本题主要考查电势叠加原理。
【例7】如图所示，一个带正电的绝缘导体球壳A，顶部开一个小孔，有两个带正电小球B和C用导线相连，将B与球壳内壁接触一下后提到球壳中心，C离A较远，此时，B、C是否带电？若将C接地，再分析B、C的带电情况。
解析：当B与A内壁接触后，A、B、C三者等势，B不带电。由于C离A较远，A上电荷在C处产生的电势UA'较低，故C必带正电，才能使A上所带电荷与C上电荷在C处产生电势的代数和等于UA，构成等势体。
C接地后，UB=UC=0，因为A上正电荷在B处产生的电势为正，故B上电荷在B处产生的电势必为负，才可以使得B处的电势为零，即B带负电。由于A球壳上的电荷在B的电势为，故B球上电荷在B点处的电势为-，又B上电荷产生的电势为，因为R>r，故QA>QB。由此可见，A、B在C处的电势为正的，故C只有带正电，才能使得C处的电势为零。
O1
O2
O3
O4
O5
P

【例8】真空中,有五个电量均为q的均匀带电薄球壳,他们的半径分别为R，R/2，R/4，R/8，R/16，彼此内切于P点。球心分别为O1、O2、O3、O4、O5 ,求O1与O5间的电势差(第15届预赛试题)。
解析：O5的电势为
U5=
=31k
O1的电势为
U1=k[]
=k=6.54 k
故O1与O5间的电势差为
U5-U1=31k-6.54 k=24.46 k
【例9】如图所示，半径为R1的导体球带电量q，在它外面同心地罩一金属球壳，其内外壁的半径分别为R2和R3。今在距球心为d(>R3)处放一电量为Q的点电荷，并将导体球壳接地，试问：
(1)球壳带的总电量是多少？
(2)如果用导线将壳内导体球与壳连接，球壳带电量是多少？
解析：(1)由电场线的性质可知，外壳内表面带电量为-q。
又设外壳外表面的电荷为q'，因外壳的电势为零，有：
R1
R2
R3
Q
d
+=0
得：q'=
故球壳所带总电量为
q'+(-q)= –q= -(+q)
(2)用导线将壳内导体球与壳相连，导体球上所带电荷与壳内表面所带电荷中和，因此，外壳上只有外表面的电荷，其电量为。
小结：
①注意静电感应，感应出的电荷也要产生电势；
②半径为R的导体球壳在其内产生的电势为EP=；
③球壳外某一点电荷在导体球上产生的电势等于该点电荷在导体球心处产生的电势；
【例10】半径分别为R1和R2的两个同心半球面相对放置，两个半球面均匀带电，电荷面密度分别为s1和s2，求大半球面的径AOB上电势的分布。
A
B
R1
R2
O
C
D
解析：半径为R的均匀带电球壳内部电势为，外部电势为(r>R)。这道题目要解决两个问题：①半球壳的电势是多少？②两个半球壳的电势又如何叠加？
完整的半径为R1的球壳在AOB上产生的电势为
U1'===4pkR1s1
鉴于对称性，半个球面对U1'的贡献必为1/2，因此，它在AOB上产生的电势应为
U1=2pkR1s1
同理，完整的半径为R2的均匀带电球壳在AOB上产生的电势分为两部分，一是半径小于R2的地方
U2'===4pkR2s2
在AOB上距离O点大于R2的范围内产生的电势为
U2''==
半球的贡献同样必为U2'和U2''的一半，最后得到AOB上电势的分布为

【例11】电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面的半径为R，CD通过半球顶点C和球心O的轴线，如图所示，P、Q为CD轴线上在O点两侧且离O点距离相等的两点。已知P点的电势为UP，试求Q点的电势UQ。(第八届预赛试题)
A
B
C
O
P
Q
D
解析：设想一个均匀带电量为q的右半球，与题中所给的左半球组成一个完整的均匀带电球面，由对称性可知，右半球在P点产生的电势UP'等于左半球在Q点产生的电势，即UP'=UQ，所以UP+UQ=UP'+UQ'，而UP+UP'是整个球面在P点产生的电势，因为均匀带电球壳内部各处电势相等，其值等于，K为静电力常量，所以
UP+UP'=
故UQ=UP'=-UP
小结：注意“补偿法”的妙用。
【例12】如图所示，在真空中有4个半径为a的不带电的相同导体球，球心分别位于边长为r(r>>a)的正方形的四个顶点上。首先让球1带电荷Q(Q>0)，然后，取一细金属丝，其一端固定于球1点，另一端分别依次与球2、3、4及大地接触，每次接触时间都足以使它们达到静电平衡，设分布在细金属丝上的电荷可以忽略不计，试求流入大地的电量表达式。
解析：球1与球2接触后，两球电量相等，都为Q/2。球1与球3接触后，由于1、3关于球2对称，所以1和3的电量也应该相等，都为Q/4。当球1、4接触后，它们的电势都是由4个小球的电势叠加而成。故有
r
r
r
r
1
2
3
4
U1=+++
U4=+++
由于U1=U4，Q1''=Q1+Q4=Q/4
利用r>>a，略去二阶小量后有
球1的电量为Q1=
球4的电量为Q4=
再将球接地，设球1的电量变为q，则
U1'=+++=0
可得：q=
因此，流入大地的电量为：Q大地=Q1+|q|=
小结：①求流入大地的电量可以转换为求电势，根据电势来间接地求电量；
②此题中怎样利用r>>a这个条件是一值得注意的问题，在解题过程中有两处利用这个条件：
第一：因为r>>a，所以在考虑小球所在位置的电势时，可忽略小球的大小；
第二：因为r>>a，所以可以略去a的二次以上项。
【例13】有些仪器，如静电加速器，其高压电极外面都有一接地金属罩，罩内充有一定压强的气体，假定是一金属球，接地金属罩是一同心金属薄球壳，如图所示，仪器工作时要求电极与金属之间的电势差为U0，选择适当的电极半径R1和球壳半径R2，有可能使靠近电极表面处的场强低于气体的击穿场强，从而使气体不被击穿。
(1)若R1已给定，则在理想情况下，R2取何值时电极处的场强有最小值？
(2)在实际情况中往往适当选择R1/R2之值，使电极处的场强为上述最小值的若干倍，但仍低于击穿场强，求当电极处的场强为上述最小值的4倍时，R1/R2应选何值？
解析：(1)设电极所带的电量为Q，则球壳内壁的电量为-Q，电极与球壳之间的电势差为
R1
R2
O
U0==
式中k为静电力常量，靠近电极表面处的场强为：E=
由上面两式得：E=
当R1一定时，R2®¥时，E有