“鸡兔同笼”问题探讨(张冬梅).doc

“鸡兔同笼”问题探讨
（靖边第六小学 张冬梅 ）

中国数学会组织部分数学家于2000年8月27日在北京师范大学召开了中国数学会中小学数学教育改革研讨会，香港科技大学项武义教授在会上指出：“现在小学应用题的教法不对。如‘鸡兔同笼’完全可以采取新的教法，运用列举来解决。”（见《数学通报》2000，11）
一、 什么是“鸡兔同笼”问题
今有鸡兔若干，它们共有50个头和140只脚。问鸡兔各有多少只？
这类问题就是“鸡兔同笼”问题。解答“鸡兔同笼”问题需要知道两个常识：每只鸡
有2只脚，每只兔有4只脚。
“鸡兔同笼”问题是中国古算题，由于其思维训练的价值，一直流传到今。
二、“鸡兔同笼”问题的各种解法
今有鸡兔若干，它们共有50个头和140只脚。问鸡兔各有多少只？
解法1 列举法。
鸡
兔
总脚数
分析
25
25
150
150>140，需要减少兔的只数。
26
24
148
继续减少兔的只数。
27
23
146
继续减少兔的只数。
28
22
144
继续减少兔的只数。
29
21
142
继续减少兔的只数。
30
20
140
恰好。
鸡有30只，兔有20只。
解法2 砍脚法。
如果砍掉每只鸡、每只兔的2只脚，则还剩（只）脚。此时每只鸡已无脚，每只兔还有（只）脚，故知兔有40÷2 = 20（只），鸡有5020=30（只）。
解法3 安脚法。
如果给每只鸡安装上2只假脚，这样每只鸡和每只兔都有4只脚，可知一共安装了4×50140 = 60（只）假脚，故知鸡有60÷2 = 30（只），兔有5030 = 20（只）。
解法4 假定法。
①假定50只都是鸡，则应有2×50 = 100（只）脚，比实际少了140100 = 40（只）脚，而一只鸡比一只兔相差（只）脚，用一只兔来换一只鸡，每换一次脚数就可以增加2只，交换多少次就可以增加40只呢？40÷2 = 20（次）。交换20次就可以增加40只脚。故知兔有 20只，鸡有5020=30（只）。
②也可以假定50只都是兔，则应有4×50=200（只）脚，比实际多出了200140 = 60（只）脚，而一只鸡比一只兔少（只）脚，用一只鸡来换一只兔，每换一次脚数就减少2只，交换多少次就可以减少60只呢？60÷2 = 30（次）。交换30次就可以减少60只脚。故知鸡有 30只，兔有5030=20（只）。
解法5 长方形图法。
依题意画长方形图1，图1中四边形都是长方形。
由题意知，图形ABEHFGCDA的面积是140，AE = 50，长方形AEHD的面积是2×50 = 100，故知长方形HFGC的面积是140100 = 40。在长方形HFGC中知其面积为40，一边长FH = ，另一边长GF = 40÷2 = 20。而兔的只数 = BE = GF = 20，故知兔有 20只，鸡有50 20=30（只）。
这一解法对解法2砍脚法及解法4假定法①都是很好的几何直观解释。

图1
也可依题意画长方形图2，图2中四边形都是长方形。

图2
由题意知，图形ABEFGCDA的面积是140，AE = 50，长方形AEFH的面积是4×50 = 200，故知长方形CGHD的面积是200140 = 60。在长方形CGHD中知其面积为60，一边长CG = ，另一边长CD = 60÷2 = 30。而兔的只数 = AB = CD，故知鸡有 30只，兔有5030=20（只）。
这一解法对解法2安脚法及解法4假定法②都是很好的几何直观解释。
解法6 波利亚法。
美国数学大师G波利亚的解法非常巧妙。不妨称为波利亚法。
假设出现下面的奇特现象，所有的鸡都抬起一只脚，所有的兔只有后脚站立起来，显然此时鸡的脚数与头数相等，而兔的脚数是头的2倍，脚的总数为原来脚数的一半，所以现在脚的总数70减去头数50所得的差20即为兔的数目。从而鸡的数目为5020=30。
解法7 方程组法。略。
上述各种解法各有千秋。砍脚法、安脚法及长方形图法都较为直观易懂，容易为学生接受。列举法若将各种情况都一一列举则显得冗长，若能从鸡兔数目很接近开始考虑再加上分析则可减少列举次数。假定法往往通过假定某种现象的存在（如看成兔），则发生了和题目条件不同的差异（如脚多了），而每个单个事物造成的差异是固定的（如多算一兔就要多算2只脚），从而找出差异的原因（如实际有多少兔），使问题得到解决。实际上砍脚法、安脚法及波利亚法都是假定法的具体使用。方程组法虽通用但小学未学。
三、 “鸡兔同笼”问题
1. 一个笼子中装有蛇和蜥蜴，若头的总数是16，足的总数是52。问笼中有几条蛇和几
条蜥蜴？
2. “六一”儿童节，六年级一班46名同学到公园去划船，一共乘坐10只船，其中大船每只坐6人，小船每只坐4人。大船和小船各有几只？
3. 用25根长度分别为8米和5米的两种规格的管子铺一段170米的管道，管子恰好用完。两种管子各用了多少根？
4. 松鼠妈妈采松子，晴天每天可以采20个，有雨的天每天只能采12个，它一连几天采了112个松子，平均每天采14个。问这几天当中有几天有雨？
5. 一次智力测验有道判断题，每答对一道得3分，每答错一道扣2分。小红答完了10道题，只得20分。她答错了几道题？
6. 一个笼子中装有鸡和九头鸟（九头鸟是古代神话中的鸟，有九个头两只足）。若头的总数是60，足的总数是40，问笼中有几只鸡和几只九头鸟？
7. 金放在水里称，重量减轻它的；银放在水里称，重量减轻它的。有一块金和银的合金，重530克，放在水里称，减轻35克。这块合金里有金、银各多少克？
四、“鸡兔同笼”问题的价值
“鸡兔同笼”问题从古流传至今，是由它的价值决定的。
1. 鸡兔两种动物小学生十分喜爱，容易引起小学生的兴趣。
美国宾夕法尼亚州立大学教授杨忠道在《解题杂谈》(见《数学教学》1988年2期)一文中写道“过去学习四则运算问题时,都要学鸡兔同笼问题。笔者对这问题颇有偏爱，原因是它曾激发起笔者对数学的兴趣。可以说这是我数学工作的起始点。”
2. 解决“鸡兔同笼”问题的假定法，体现了试验、分析、调整这种解决问题策略的全
过程，而试验、分析、调整的方法对解决非标准性问题很有用。各种实验科学离不开试验、分析、调整策略。
3. 很多应用题可以化归为“鸡兔同笼”问题，所以解决“鸡兔同笼”问题可以培养学
生初步的“数学建模能力”。
大连理工大学数学科学研究所徐利治教授在《谈谈我的一些治学经验》（见《数学通报》2000年1期）一文中写道：“记得我上初级小学时，对算术一点兴趣也没有，速算测试成绩也较差。到了高小阶段，有一阵忽然对‘鸡兔同笼’等问题产生了好奇心。有一天我伯父把听来的一个‘怪题’来考我：‘100个和尚分100个馒头，大和尚一人分3个，小和尚3人分1个。问有多少大和尚和小和尚？’我利用鸡兔同笼问题的推理方式，居然得出了有25个大和尚与75个小和尚的正确答案，伯父很是赞许。自此以后，我就特别喜欢求解算术应用题，开始学到了用算术表达事物间简单数量关系的能力。这种能力其实也可以看作是最低层次的‘数学建模能力’。”
4. “鸡兔同笼”问题具有训练思维的价值。
鉴于“鸡兔同笼”问题的价值，小学数学教材及教学为“鸡兔同笼”问题留有一席之
地很有必要，各位老师应为使“鸡兔同笼”问题的解法更适合学生的生活实际和知识水平而不断努力，让“鸡兔同笼”问题在创新教育中发挥应有的作用，体现出它的价值。