第2章 平稳过程习题答案.doc

第二章 平稳过程
1．指出下面所给的习题中，哪些是平稳过程，哪些不是平稳过程？
（1）设随机过程，t>0，其中具有在区间中的均匀分布
解：∵ 该随机过程的数学期望为

∴ 该随机过程不是平稳过程。
（2）设随机过程在每一时刻的状态只取0或1数值，而在不同时刻的状态是相互独立的，且对任意固定的t有
其中
解：∵ 该随机过程的数学期望为
（常数）
该随机过程的自相关函数为：

结果与t无关
∴ 该随机过程是平稳随机过程。
（3）设是独立同分布的随机序列，其中的分布列为

1
-1
，j=1,2,…
P

定义 ，试对随机序列，讨论其平稳性。
解：∵
∴ （常数）
又因为随机序列的自相关函数。
m为自然数

∵
即
∴ 该随机过程不是平稳过程。
（4）设随机过程，其中为正常数，是相互独立的随机变量，且A服从在区间[0，1]上均匀分布，而服从在区间[0，2]上的均匀分布。
解：∵ （常数）
而自相关函数为：

∴ 该随机过程是平稳随机过程。
（5）设随机过程，其中在区间中服从均匀分布。
解：随机变量的概率密度为
∴
不是常数
∴ 该随机过程不是平稳过程。
（6）设有随机过程，而随机向量的协旗阵为
解：∵
当时不是常数
∴ 该随机过程不是平稳随机过程。
（7）设有随机过程，其中X，Y，Z是相互独立的随机变量，各自的数学期望为0，方差为1。
解：∵ （常数）

自相关函数
∴ 该随机过程不是平稳随机过程。
（8）设有随机过程（随机变量），则。
解：∵ （常数）

∴ 该随机过程是平稳随机过程。
2．设随机过程，其中U是在[0，2π]上均匀分布的随机变量。试证
（1）若，而，而是平稳过程；
（2）若，而，而不是平稳过程。
证明：（1）∵ 该随机过程的数学期望为
（常数）

∴ 是平稳随机过程。
（2）∵ 的数学期望为
不是常数
∴ 不是平稳过程。
3．设随机过程

其中是常数，A与Φ是独立随机变量。Φ服从在区间（0，2π）中的均匀分布。A服从瑞利分布，其密度为

设随机过程，其中B与C是相互独立正态变量，且都具有分布N（0，）。
（1）试证是平稳过程
证明：对于随机过程的数学期望为

（常数）
自相关函数

∴
∴ 该随机过程为平稳随机过程。
（2）用本章例4说明Y(t)是平稳过程
证明：∵
根据例4，随机过程Y(t)是平稳随机过程。
4．设S(t)是周期为T的周期函数，而是在区间（0，T）上的均匀分布的随机变量，随机过程

称为随机相位周期过程。试问X(t)是否为平稳过程，又问它是否具有各态历经性
解：∵
（周期函数性质）
∴ 常数
又 ∵

∴ 的周期也为T。
∴
∴ 是平稳随机过程。
再讨论随机过程X(t)的各态历经性
∵

5．设是随机相位周期过程，它的一个样本函数如下图所示。周期和振幅都是常数，相位是区间（0，）上的均匀分布，求
解：根据上图，得

则

6．随机过程

其中A和Φ是相互独立的随机变量，而Φ在区间（0，2π）上均匀分布，试问X(t)是否具有各态历经性
解：∵
（常数）

=
=
=

∴该平稳过程具有数学期望各态历经性。
下面讨论相应函数的各态历经性。
令 （固定）由于A与相互独立，则有

令则有

∴ 该平稳过程不具备自相关函数各态经性
7．随机过程

其中A和B号均值为零不相关的随机变量，且。试证明X（t）具有数学期望各态历经性，而无相关函数各态历经性。
解：（常数）

==
∵ 该随机过程是平稳随机过程。
现证数学期望各态历经性

当时
∴该平衡过程具有数学期望各态历经性

（利用均方极限的性质4）
即自相关函数无各态历经性
8．设平稳过程的相关函数，其中A，a都是正常数；而，试问对数学期望 是否具存各态历经性。
解： （L′hospital法则）
即平稳随机过程具有
∴ 平稳随机过程关于数学期望具有各态历经性。
9．设和是相互独立的平稳随机过程，证明也是平稳随机过程。
证明：∵ （常数）

与无关
∴ 随机过程 也是平稳随机过程。
10．设平稳过程和相互独立。令，试求的自相关函数。
解：

∵ 都是平稳过程
∴ （常数），（常数）

∴
11．平稳过程的相关函数为度求均方值
解：根据平稳过程自相关函数的性质有

13．设有随机过程

其中是相互独立随机变量，而A的均值为2，旗为4；在（-）上服从均匀分布；在（-5，5）上服从均匀分布，试求的自相关函数，并问是否平稳以及是否具有各态历经性。
解：∵

（常数）

∴该随机过程具有平稳性。
又∵
∴该平稳过程关于数学期望具有各态历经性。
又∵

∴该随机过程不具有相关函数各态历经性。
14：设有随机过程

其中平稳过程和仅随机变量V三者相互独立，且
，又EV=2，DV=9
试求Z（t）的数学期望， 和相关函数。
解：∵
∴
∴

∴

∵ ∴ ∴

15：设X（t）是雷达的发射信号，遇到目标的回波信号为，是信号返回时间，回波信号必然伴有噪声，记为N（t），于是接收机收到的全信号为

假定X（t）和N（t）平稳相关。
（1）求互相函数；
（2）若N（t）的数学期望为零，且与X（t）相互独立，求。
解：（1）先求互相关函数

（2）∵X（t）与N（t）相互独立，且
∴
16：设有两个平稳过程
其中为常数，而是在（0，2π）上均匀分布的随机变量，试求与。
解：∵

17．设是独立同分布随机过程，且，试问是否为平稳过程？又是否均方连续.
解：（常数）
这与t无关
∴ 该随机过程是平稳随机过程
又因为在点不连续，根据定理不均匀连续。
18．设是平稳过程
（1）若存在T>0 使得 ，则对固定的t有
（提示：）
证明：根据概率论中的契比雪夫不等式有

∵ 是平稳过程 故

∴
∵ 存在T>0， 使得，则对上式T>0.

[证毕]
（2）若可导，则
证明：∵

（3）若可导，则是平稳过程，且它的相关函数

证明：∵ 是平稳过程，故 （常数），
而
∴ （常数）
又 ∵

19．设和是平稳相关随机过程。若和满足微分方程

其中a是非零常数，则它们的数学期望满足：

证明：两边同时取数学期望有：

即
因为，是平衡随机过程，则（常数），（常数）
∴ 即
20．设是平稳过程，且，试求随机变量
的数学期望和方差.
解：∵

21．设复随机过程

其中是在上均匀分布的随机变量，而常数，试求的相关函数，并讨论其平稳性。
解：∵
==（常数）

随机过程是平稳过程。
22．设X（t）是数学期望为零的平稳正态过程，又，求证

证明：显然

= 其中
= 令
=
=
=
=
上面的证明同时也说明是平稳随机过程。[证毕]
23．（1）下列函数哪些是功率谱密度，哪些不是？为什么？

解：根据功率谱密度的性质，功率谱密度是实的，非负的偶函数，所以，，不是功率谱密度，而是功率谱密度。
（2）对上面的正确功率谱密度表达式计算自相关函数和均方值
解：∵
∴ 自相关函数为

而均方值为

24．已知平均过程的功率谱密度为

求的均方值
解：∵

25．试说明下图所示函数不可能是某个平稳过程的自相关函数。
解：如果自相关函数在连续，则它必在T上连续，但在该题中自相关函数在连续，但它并不在（-∞，+∞）上连续。故该图所示的函数不可能是某个平稳过程的自相关函数。
26．已知下列平稳过程的自相关函数，试求的功率谱密度。
（1）
解：

∵

∴
∴
同理
∴
（2）
解：∵

（3）
解：∵=
=
（4） 其中a>0
解：∵
=
=
=
而

27：已知下列平稳过程的功率谱密度，试分别求的自相关函数
（1）
解：
（2）
解：

（3）
解：
=
（4）
解：论 则

当时

由于是偶函数

（5）其中
解：

（6）
解：
=

28：记随机过程

其中是平稳过程，为区间（0，2π）上均匀分布的随机变量，为常数，且和是相互独立的，论的自相关函数为，功率谱密度为
试证：（1）是平稳过程且它的自相关函数
（2）的功率谱密度为
证明：（1）先证是平衡过程

（常数）

是平稳随机过程，且
（2）

（利用Fourier变换的性质）
29：如下图所示系统中，若输入的平稳过程，输出为

，试求的谱功率为
解

=
(利用Fourier变换的性质)
30：设平稳过程为

其中a是常数，是在（0，2π）均匀分布的随机变量，Ω是具有分布密度为偶函数的随机变量，且与Ω相互独立，试证的功率谱密度为：
证明：根据相关函数的定义有：

31：若二个随机过程
，，
其中A（t）和B（t）是相互独立数字期望为零的平稳过程，且有相同的自相应函数。
试证：是平稳过程，而和都不是平稳过程
证明：

与有关，不是平稳过程
同理可证也不是平稳过程。
理证是平稳过程。
因为（常数）

=
=
=（与t无关）
∴是平稳随机过程。
32．设平稳过程和是平稳相关的，试证：

证明：∵
∴

∴，
33．设和是两个不相关的平稳过程，数字期望分别为都不为零，定义，试求互谱密度和。
解：
∴
向=
∴
=
34．设复随机过程是平稳的，试证：
（1）自相关函数满足。
（2）的谱功率是实函数。
证明：∵
∴
∴（1）式成立。
又∵
=
=
即
∴是实函数。
35．如果一个均值为零的平稳过程（-∞<t<+∞）输入到脉冲响应为

（α>0）的线性滤波器，试证明它的输出功率谱密度为

解：根据平稳过程的输入谱密度和输出谱密度之间的关系有

其中
==
=
=

∴
∴。

1/3Ω
4Ω
36．将自相关函数为的白噪声电压输入到如下图所示的二级R-C电路系统。

X(t)
Y(t)

（1）求系统的脉冲响应函数。
（2）求输出电压的均方值。
解：（1）由电学知识可知输出电压所满足的微分方程为：

∴
两边取双边拉普拉氏变换有：

∴
∴传递函数满足：

=
∴
∴当t≥0
∴
（2）根据定义有：
=
37．在如下图所示的R-C电路系统中，如果输入电压为

其中在（0，1）区间上服从均匀分布，在（0，2π）上服从均匀分布，且与相互独立。试分别同时间域法和频率域法求输出电压的自相关函数。
解：way1：采用时间域法。
因为该问题的输出电压满足的微分方程为

令则有
在上面的方程两边取双边Laplace变换有：

则
∴
而脉冲响应函数为

再求的自相关函数。
∵
=

=
==
∴
=
=
==（当时）
由于为偶函数，故对任意的有

way2:采用频域法求解
∵
=
而
∴
=
∴
=
=
=
38．在如下图所示的R-L电路系统中，输入电压是谱密度为S0的噪声，试同频率分析法求系统的输出电压的自相关函数。
解：由电路知识有输入电压和输出电压满足如下方程：

两边对t求导有：
取双边Laplace变换有：

∴
∴
∴
∴=
∴

39：没有一系统，如下图所示，X（t）是输入，Z（t）是输出，试求：
（1）系统的传递函数；
（2）当系统的输入是谱密自噪度为S0的声时，输出Z（t）的均方

解：（1）该系统满足下面的方程

两边对t求导有

两对两边作双边拉普拉氏变换有

其中、X（p）分别为Z（t）和X（t）的双边Laplace变换结果

∴系统的传递函数为
(2)求的均方值

注意：
40：一个平衡过程X（t）通过一个微分分器，其输出过程为，试求：
（1）系统的频率响应函数；（2）输入与输出的互谱密度，
（3）输出的功率谱密度。
解：（1）对的两边作双边Laplace变换有：

∴ 系统的频率响应函数为
（2）输入和输出的互谱密度为

（3）输出的功率谱密度为

41：某积分电路输入和输出之间满足如下关系

其中T为积分时间。若输入是一个平衡过程，试证明输出的功率谱密度为

证明：对积分方程

两边关于t求导有
两边两边 作双边Laplace变换有：

42：下图是一个单输入，双输出的线性系统，求证输出和的互谱密度为
X(t)
H2(t)
H2(t)
Y1(t)
Y2(t)
解：

∴

对上面两个等式的两边取期望有

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