第2章 平稳过程习题答案.doc

第二章 平稳过程1指出下面所给的习题中，哪些是平稳过程，哪些不是平稳过程？（1）设随机过程，t0，其中具有在区间中的均匀分布解： 该随机过程的数学期望为 该随机过程不是平稳过程。（2）设随机过程在每一时刻的状态只取0或1数值，而在不同时刻的状态是相互独立的，且对任意固定的t有其中解： 该随机过程的数学期望为（常数）该随机过程的自相关函数为： 结果与t无关 该随机过程是平稳随机过程。（3）设是独立同分布的随机序列，其中的分布列为1-1，j=1,2,P定义 ，试对随机序列，讨论其平稳性。解： （常数）又因为随机序列的自相关函数。 m为自然数 即 该随机过程不是平稳过程。（4）设随机过程，其中为正常数，是相互独立的随机变量，且A服从在区间0，1上均匀分布，而服从在区间0，2上的均匀分布。解： （常数）而自相关函数为： 该随机过程是平稳随机过程。（5）设随机过程，其中在区间中服从均匀分布。解：随机变量的概率密度为 不是常数 该随机过程不是平稳过程。（6）设有随机过程，而随机向量的协旗阵为解： 当时不是常数 该随机过程不是平稳随机过程。（7）设有随机过程，其中X，Y，Z是相互独立的随机变量，各自的数学期望为0，方差为1。解： （常数）自相关函数 该随机过程不是平稳随机过程。（8）设有随机过程（随机变量），则。解： （常数） 该随机过程是平稳随机过程。2设随机过程，其中U是在0，2上均匀分布的随机变量。试证（1）若，而，而是平稳过程；（2）若，而，而不是平稳过程。证明：（1） 该随机过程的数学期望为（常数） 是平稳随机过程。（2） 的数学期望为 不是常数 不是平稳过程。3设随机过程其中是常数，A与是独立随机变量。服从在区间（0，2）中的均匀分布。A服从瑞利分布，其密度为设随机过程，其中B与C是相互独立正态变量，且都具有分布N（0，）。（1）试证是平稳过程证明：对于随机过程的数学期望为 （常数）自相关函数 该随机过程为平稳随机过程。（2）用本章例4说明Y(t)是平稳过程证明： 根据例4，随机过程Y(t)是平稳随机过程。4设S(t)是周期为T的周期函数，而是在区间（0，T）上的均匀分布的随机变量，随机过程称为随机相位周期过程。试问X(t)是否为平稳过程，又问它是否具有各态历经性解： （周期函数性质） 常数 又 的周期也为T。 是平稳随机过程。再讨论随机过程X(t)的各态历经性 5设是随机相位周期过程，它的一个样本函数如下图所示。周期和振幅都是常数，相位是区间（0，）上的均匀分布，求解：根据上图，得则 6随机过程其中A和是相互独立的随机变量，而在区间（0，2）上均匀分布，试问X(t)是否具有各态历经性解： （常数）=该平稳过程具有数学期望各态历经性。下面讨论相应函数的各态历经性。令 （固定）由于A与相互独立，则有 令则有 该平稳过程不具备自相关函数各态经性7随机过程 其中A和B号均值为零不相关的随机变量，且。试证明X（t）具有数学期望各态历经性，而无相关函数各态历经性。解：（常数）= 该随机过程是平稳随机过程。 现证数学期望各态历经性 当时该平衡过程具有数学期望各态历经性 （利用均方极限的性质4）即自相关函数无各态历经性8设平稳过程的相关函数，其中A，a都是正常数；而，试问对数学期望 是否具存各态历经性。解： （Lhospital法则）即平稳随机过程具有 平稳随机过程关于数学期望具有各态历经性。9设和是相互独立的平稳随机过程，证明也是平稳随机过程。证明： （常数） 与无关 随机过程 也是平稳随机过程。10设平稳过程和相互独立。令，试求的自相关函数。解： 都是平稳过程 （常数），（常数） 11平稳过程的相关函数为度求均方值解：根据平稳过程自相关函数的性质有13设有随机过程其中是相互独立随机变量，而A的均值为2，旗为4；在（-）上服从均匀分布；在（-5，5）上服从均匀分布，试求的自相关函数，并问是否平稳以及是否具有各态历经性。解：（常数） 该随机过程具有平稳性。又该平稳过程关于数学期望具有各态历经性。又该随机过程不具有相关函数各态历经性。14：设有随机过程其中平稳过程和仅随机变量V三者相互独立，且，又EV=2，DV=9试求Z（t）的数学期望， 和相关函数。解： 15：设X（t）是雷达的发射信号，遇到目标的回波信号为，是信号返回时间，回波信号必然伴有噪声，记为N（t），于是接收机收到的全信号为假定X（t）和N（t）平稳相关。（1）求互相函数；（2）若N（t）的数学期望为零，且与X（t）相互独立，求。解：（1）先求互相关函数（2）X（t）与N（t）相互独立，且16：设有两个平稳过程其中为常数，而是在（0，2）上均匀分布的随机变量，试求与。解： 17设是独立同分布随机过程，且，试问是否为平稳过程？又是否均方连续.解：（常数） 这与t无关 该随机过程是平稳随机过程又因为在点不连续，根据定理不均匀连续。18设是平稳过程（1）若存在T0 使得 ，则对固定的t有 （提示：）证明：根据概率论中的契比雪夫不等式有 是平稳过程 故 存在T0， 使得，则对上式T0. 证毕（2）若可导，则证明： （3）若可导，则是平稳过程，且它的相关函数证明： 是平稳过程，故 （常数），而 （常数）又 19设和是平稳相关随机过程。若和满足微分方程其中a是非零常数，则它们的数学期望满足：证明：两边同时取数学期望有：即 因为，是平衡随机过程，则（常数），（常数） 即20设是平稳过程，且，试求随机变量的数学期望和方差.解： 21设复随机过程其中是在上均匀分布的随机变量，而常数，试求的相关函数，并讨论其平稳性。解： =（常数）随机过程是平稳过程。22设X（t）是数学期望为零的平稳正态过程，又，求证证明：显然= 其中= 令=上面的证明同时也说明是平稳随机过程。证毕23（1）下列函数哪些是功率谱密度，哪些不是？为什么？ 解：根据功率谱密度的性质，功率谱密度是实的，非负的偶函数，所以，不是功率谱密度，而是功率谱密度。（2）对上面的正确功率谱密度表达式计算自相关函数和均方值解： 自相关函数为而均方值为24已知平均过程的功率谱密度为求的均方值解： 25试说明下图所示函数不可能是某个平稳过程的自相关函数。解：如果自相关函数在连续，则它必在T上连续，但在该题中自相关函数在连续，但它并不在（-，+）上连续。故该图所示的函数不可能是某个平稳过程的自相关函数。26已知下列平稳过程的自相关函数，试求的功率谱密度。（1）解： 同理 （2）解： （3）解：=（4） 其中a0解：=而 27：已知下列平稳过程的功率谱密度，试分别求的自相关函数 （1） 解：（2）解： （3）解：=（4）解：论 则 当时 由于是偶函数 （5）其中 解： （6） 解： = 28：记随机过程 其中是平稳过程，为区间（0，2）上均匀分布的随机变量，为常数，且和是相互独立的，论的自相关函数为，功率谱密度为试证：（1）是平稳过程且它的自相关函数（2）的功率谱密度为证明：（1）先证是平衡过程 （常数） 是平稳随机过程，且（2） （利用Fourier变换的性质）29：如下图所示系统中，若输入的平稳过程，输出为 ，试求的谱功率为 解 = (利用Fourier变换的性质)30：设平稳过程为 其中a是常数，是在（0，2）均匀分布的随机变量，是具有分布密度为偶函数的随机变量，且与相互独立，试证的功率谱密度为：证明：根据相关函数的定义有： 31：若二个随机过程 ， 其中A（t）和B（t）是相互独立数字期望为零的平稳过程，且有相同的自相应函数。试证：是平稳过程，而和都不是平稳过程证明： 与有关，不是平稳过程同理可证也不是平稳过程。理证是平稳过程。因为（常数）=（与t无关）是平稳随机过程。32设平稳过程和是平稳相关的，试证：证明：，33设和是两个不相关的平稳过程，数字期望分别为都不为零，定义，试求互谱密度和。解：向=34设复随机过程是平稳的，试证：（1）自相关函数满足。（2）的谱功率是实函数。证明：（1）式成立。又=即是实函数。35如果一个均值为零的平稳过程（-t0）的线性滤波器，试证明它的输出功率谱密度为解：根据平稳过程的输入谱密度和输出谱密度之间的关系有其中=。1/3436将自相关函数为的白噪声电压输入到如下图所示的二级R-C电路系统。X(t)Y(t)（1）求系统的脉冲响应函数。（2）求输出电压的均方值。解：（1）由电学知识可知输出电压所满足的微分方程为：两边取双边拉普拉氏变换有：传递函数满足：=当t0（2）根据定义有：=37在如下图所示的R-C电路系统中，如果输入电压为其中在（0，1）区间上服从均匀分布，在（0，2）上服从均匀分布，且与相互独立。试分别同时间域法和频率域法求输出电压的自相关函数。解：way1：采用时间域法。因为该问题的输出电压满足的微分方程为令则有在上面的方程两边取双边Laplace变换有：则而脉冲响应函数为再求的自相关函数。= =（当时）由于为偶函数，故对任意的有way2:采用频域法求解=而=38在如下图所示的R-L电路系统中，输入电压是谱密度为S0的噪声，试同频率分析法求系统的输出电压的自相关函数。解：由电路知识有输入电压和输出电压满足如下方程：两边对t求导有：取双边Laplace变换有：= 39：没有一系统，如下图所示，X（t）是输入，Z（t）是输出，试求：（1）系统的传递函数；（2）当系统的输入是谱密自噪度为S0的声时，输出Z（t）的均方解：（1）该系统满足下面的方程 两边对t求导有 两对两边作双边拉普拉氏变换有 其中、X（p）分别为Z（t）和X（t）的双边Laplace变换结果 系统的传递函数为(2)求的均方值注意：40：一个平衡过程X（t）通过一个微分分器，其输出过程为，试求：（1）系统的频率响应函数；（2）输入与输出的互谱密度，（3）输出的功率谱密度。解：（1）对的两边作双边Laplace变换有： 系统的频率响应函数为（2）输入和输出的互谱密度为（3）输出的功率谱密度为41：某积分电路输入和输出之间满足如下关系其中T为积分时间。若输入是一个平衡过程，试证明输出的功率谱密度为证明：对积分方程两边关于t求导有两边两边 作双边Laplace变换有： 42：下图是一个单输入，双输出的线性系统，求证输出和的互谱密度为X(t)H2(t)H2(t)Y1(t)Y2(t)解： 对上面两个等式的两边取期望有33