第一节排列组合与二项式展开.doc

高 三 学 案 数 学
第一节 排列组合与二项式定理
一、考试要求：
1、应用排列和组合数的计算公式计算；
2、已知二项式，会求展开式中的任意一项；
3、掌握二项式的性质，能用性质解决简单的问题.
二、基础知识
1、排列： ；
2、组合： ；
3、n个元素的全排列数： ；
4、n个元素中选k个元素的排列数： ；
5、n个元素可重复选k次的排列数： ；
6、n个元素中选k个元素的组合数： ；
7、组合的对偶法则 ；组合的增一法则 ；
8、二项式的展开式： ；
9、二项式展开式的通项： ；
三、基础练习
1、 ; ;
2、 ; ; ;
3、= ;
4、已知,则 ；

5、解不等式.

6、的展开式共有 项.
7、展开式中含项的系数是 .
8、＝ .
9、中的常数项是 .
10、展开式中第三项的系数是 .
11、的展开式中有理项共有 项.
12、化简＝ .四、典型例题
例题1已知，求 n的值.
思路导引：利用排列的公式计算，先约分后计算，再解方程，但是要注意n的取值范围.
解：化简得：.解得n＝5
评注：注意n的范围.
类题演练1：已知，求n.

变式提升1：，求x.

例题2：计算（1）；
（2）.
思路导引：利用组合的两个性质.
解：（1）原式＝
＝
（2）原式＝
＝
类题演练2： ；

变式提升2：；

例题3：求展开式中不出现的项.
思路导引：不出现的项就是指x的指数为0，只要写出通项公式，然后令x的指数等于0即可.
解：设第k+1 项不出现x，根据题意得

即k＝4
评注：不出现x项、不含x项、常数项都是同一含义.
类题演练3：求的展开式中的第四项、中间项和常数项.

变式提升3：求的展开式中含的项.

例题4：在的展开式中，奇数项的系数和为128，求展开式中的系数最大项.
思路导引：先求n，再求系数最大的项.
解：由得
所以展开式的系数最大项是第五项
＝
评注：二项式的系数和公式.
类题演练4：
已知的展开式的二项式系数之和为32，求此展开式中的常数项.

变式提升4：
已知的展开式的前三项的系数成等差数列，求其展开式中的有理项.

例题5：设,且
（1） 求；（2）求的值.
思路导引： x取特殊值1，0，-1
解：（1）令x＝1得

（2）由（1）得
令x＝0得
类题演练5：
已知，求.

变式提升5：
的展开式中第二项与第七项的二项式系数相等，求展开式各项的系数之和.

五、课后练习
1、等于（ ）
A． B． C． D．
2、在的展开式中，是（ ）
A．第3项 B．第4项 C．第7项 D．第8项
3、在的展开式中，二项式系数最大的项是（ ）
A．第项 B．第项和第项
C．第项 D．第项和第项
4、若的展开式中第三项系数等于6，则等于（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
5、的展开式中第4项为106，则的值为（ ）
A．10 B．
C．10或 D．以上答案均不对
6、的展开式中，奇数项系数和为32，则含项的系数是（ ）
A．－2 B．20 C．－15 D．15
7、的展开式中含奇次幂的项的系数和是__________。
8、的展开式中含项的系数是__。
9、展开式中的所有项的系数和等于__________。
10、化简=__________。
11、在的展开式中，的系数是__________。
12、若展开式中有连续三项的二项式系数之比为2：4：5，则展开式中系数最大是第__________项。
13、若，则= ；
14、设，则=____ ____；

15、已知的展开式中，第三项系数为4，求它的常数项.

16、已知二项式，求：
（1）二项展开式第3项的二项式系数；
（2）二项展开式第8项的系数；
（3）系数最大的项。

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