宇宙论与哈伯定律.doc

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2001年辛巳紀暑假天文營（進階中學營）
宇宙論與哈伯定律
盧招如
台北縣新莊國中教師
很久很久以前，人類已開始對頂上的這片天穹，有著無盡的寄情。但是他們使用的是自備型望遠鏡─靈魂之窗眼睛－來看天，所以留下各種天象的記錄遺跡，和一些論天的神話流傳至今，讓我們敘說回味。
l 星空為何暗夜呢？
1826年時，68歲的德國醫生暨天文學家奧伯斯（Oblers Heinrich），在研究宇宙結構時發現，若以牛頓的宇宙觀來看整個宇宙，會有一個問題出現──宇宙恆星眾多，星光閃爍不停，就算是星際物質的阻擋吸光，也可以將能量再釋放出來的。如此一來，為什麼晚上的天空還是黑暗的呢？至少應該和白天一樣亮才是，這就是有名的奧伯斯佯謬。現在，它已經可以用宇宙膨脹理論來解釋這個現象了。
l 開拓宇宙的星雲水手
20世紀初，天文學界正在進行一場世紀大爭論：「銀河是否就是整個宇宙」、「星雲究竟是銀河內的星際物質，還是系外的另一個巨大恆星集團」，而後又有宇宙到底是「靜態宇宙」或「動態宇宙」之爭？
這個難題，後來被一位放棄律師職位、全身投入天文學領域的美國天文學家哈伯（E.P.Hubble）所平息。他恰逢大型的精密望遠鏡建造完成，和測量更遠距離天體的技術適時出現，再加上他的積極觀測，於是造就了他在天文方面的終身成就。
其實早在1912年時，史萊佛（Vesto Molvin Slipher）在觀測星雲時，就已發現星雲或星系的光譜有紅移現象，似乎都在遠離我們，可惜當時沒有宇宙距離量度的好方法。直到1923年，威爾遜天文台啟用的100吋望遠鏡，擁有非常高的解析度，哈伯藉由它拍攝到不錯的星雲照片，再利用造父變星的光度測距法，算出了仙女座大星系的距離有90萬光年（後已修正為230萬光年），我們的銀河並非整個宇宙，終於獲得了解答。 （圖一）哈伯常數圖
1929年，哈伯將自己及其他天文學家所測得的24個星系光譜，和它們的距離等資料計算分析，發現這些系外的星系光譜線中，有偏向長波長的紅端位移，這就是紅移現象；且星系離的愈遠，紅移量就愈大。於是根據都卜勒效應（V=C×Δλ/λ），譜線的紅移量愈大，就是星系的遠離速度也愈快。他最後找出星系遠離我們的速度V和星系的距離D成比例關係，就是所謂的哈伯宇宙膨脹定律：
V＝H×D，H為哈伯常數，取其倒數就是時間。所以，哈伯發現星系遠離速度與距離的共同關係，是我們估算宇宙年齡的主要方法。
雖然，當時的哈伯常數值，求得的宇宙年齡為20億年，和地質方面所定的地球年齡有很大的差距（比地質方面小），天文物理學家仍欣然地解釋哈伯定律為宇宙膨脹的證據，宇宙中星系間的距離隨著時間而愈來愈遠，就好像是膨脹麵包中的葡萄乾。數十年後，宇宙年齡終於有了最完美的解決，約100~200億年左右。於是，俄國天文學家迦莫夫就依據哈伯的宇宙膨脹理論，提出「宇宙大霹歷」的模型，做一個前後的呼應。
所以各位看倌就在你閱讀此段文章時，宇宙裡的千萬個星系，正以極高的速度在遠離我們，宇宙也正在高速膨脹。而我們雖然形體渺小，追求真實的宇宙現象之心仍無遠弗屆呀！
l 實驗操作活動
【器材】
1. 以㎜為單位的刻度尺一支
2. 方格紙一張 筆
3. 工程用計算機一台
4. 電腦設備
【說明】
本實驗是模擬在高山的山頂上，讓你控制一架安裝有電視攝影器及分光計的大型光學望遠鏡，搜尋觀測太空的星系團中幾個星系，測得它們的速度與距離。從這些資料你可以畫出速度與距離的關係圖。
如何使用這個設備？
裝有電視的望遠鏡，可以使你看到星系，且掌控望遠鏡，使星系光線集中－光的強度及波長。當收集足夠時，你就能看到顯著的光譜線（鈣離子的H＆K線），並且你也可以利用電腦上游標，得到它們的波長。因為星系在遠離，所以這個波長比實驗室內不動物體的波長還長（397.0毫埃和393.3毫埃）。從分光計所接收到星系光子的速率，還可以用來決定星系的視星等。所以對每一個星系，你可以記錄到它們的H＆K線波長和視星等。
從上面的資料蒐集，你可以利用都卜勒公式計算她們的速度，距離則藉由比較她們已知的絕對星等（典型星系假設是-22）和視星等，於是就得到每個星系的速度（㎞/sec）與距離（MPc）之結果。在觀測的星系團中，選擇與銀河系不同距離的星系，讓你有適當的範圍來看出哈伯首先決定的那一條直線，直線的斜率即是哈伯常數值H0，由它來決定宇宙的膨脹速率。既然你有哈伯常數，將它取倒數後，就可得到宇宙年齡。
【使用步驟】
1. 打開哈伯紅移程式。點選登錄，輸入學生名字和實驗桌號碼，點選「OK」。
2. 標題螢幕出現。在明細單上，只能選擇「開始」或「離開」，點選「開始」。
執行後螢幕顯示就像是在天文台的暖房中，電腦的控制面板和天文台的觀景窗，注意圓頂是關閉，追蹤狀態也是停止的。
圖二 導星鏡視野暨電腦上畫面
視野內有十字絲
（光譜儀視野是來自望遠鏡，內有紅線顯示光譜儀的狹縫位置）
3. 開始夜間觀測工作，首先點選「圓頂鈕」打開圓頂。圓頂打開，你可以透過導星鏡看到星空視野。這個導星鏡是安裝在望遠鏡的一旁，和望遠鏡同一方向。因為導星鏡的視野比望遠鏡的視野大，所以它被用來設定我們想要觀測的星系範圍。導星鏡安裝有CCD攝影器，你所觀看的視野即是由CCD所呈現（注意天文學家是不需要用接目鏡看星星）。在視野窗內設定「Monitor」按鈕，並注意它的狀態（導星鏡）。也注意在控制面板上星星的飄移，這是因為地球的自轉，加上在有放大效果的導星鏡視野中，所以星星的移動會很顯目，若是使用放大倍率更高的望遠鏡則更是明顯。為了使星系一直停留在望遠鏡視野的中央，好讓分光計收集資料，我們必須要啟動望遠鏡的追蹤馬達。
4. 我們點選「追蹤」鈕來啟動望遠鏡的追蹤馬達。
望遠鏡在追蹤星系前，我們需要做好下列各事項：
（a）選定一個觀測範圍（有一個已被選定）。
（b）選定一個星系開始研究（從每一個觀測範圍中選一個）。
5. 了解今天觀測期間的研究範圍。
控制面板上方的選單，點選「改變區域」項。你看到這個選項中，會取得我們今天所選定研究星系的區域。這是天文學家事先已選定的區域到望遠鏡內來做觀測：
（a）在我們使用望遠鏡時，將選定的星系設定後再觀測。
（b）使用目錄檢視每個星系的赤經和赤緯，如Uranometria2000 Norton’s Atlas（星圖）等。
在「改變區域」的清單中有五個區域，是在今天研究的。你需要從觀看到的每一區域選定一個星系，並用光譜儀收集資料（一次五個）。
例如：改變視野的大熊星座Ⅱ－赤經11時0分 赤緯56度48分，以了解望遠鏡是如何工作。
注意：在這個模擬實驗室，較亮的星系是很容易辨識，外型也很清楚地不同於點狀星星。但是若很微弱、遙遠的星系，看起來就像星星，所以我們無法看出它們的形狀。
6. 現在利用星系選單，點選大熊星座I改變你觀星的視野，並使此區域看起來更清楚。然後按下「OK」鈕。
7. 在螢幕偏左下角的地方，確認出監視器（Monitor）按鈕的位置。點選此鈕，可以使你從導星鏡狀態切換至使用光譜儀的狀態來觀看星空。使用光譜儀時，請小心地將狹縫直接對準你所想要獲取資訊的天體—任何天體均可。你可以利用滑鼠點選北（N）、南（S）、東（E）或西（W）鈕來移動或轉動望遠鏡。操作方式如下：如果你想要將望遠鏡往北移動，請將游標箭頭指向北（N）的按鈕，然後按下滑鼠左鍵即可；若是希望持續向北移動，則應緊按滑鼠不放。請注意！紅光是用來指出望遠鏡正在移往的方向。
你可以利用轉速鈕（slew rate）來調整望遠鏡移動或轉動的速率（數值1代表最慢速，16則表示最快速）。當你已經將狹縫正確地對準天體時，按下螢幕右上方讀取（take reading）鈕。
如果光譜儀能獲取來自該天體的光越多，則可以供辨別的信號就能越強，同時也能在較短的時間內就獲得有效的光譜。試著將光譜儀移向比較亮的星系區域。然而，如果你將光譜儀移向星系中比較暗的區域，你仍然是可以獲得好的光譜，只是過程所需要的時間會更長。而如果你所觀測的區域遠離星系區，那麼你將獲得背景星空的光譜，此光譜大部分都是隨機分佈的雜訊。
光子是一個一個被接收的，我們必須收集到某一定程度量的光子，才足以辨認出波長。因為收集的光子越多，光譜中出現的雜訊就會越少，因此吸收譜線比發射譜線容易獲得。若準備好要開始接收訊息，請按下開始/恢復計算鈕（start/ resume count）。
8. 若需要檢測光譜，可以按停止計算（stop count）鈕。此時，電腦將出現以現有資料所繪出的光譜。按著停止計算（stop count）鈕，同時將游標放在測量模式（measure mode）下。使用滑鼠將游標箭頭放在光譜上任何位置，並按下滑屬左鍵。請注意！游標箭頭將變成十字形狀，同時關於波長的資料也會出現在視窗的右下角區域。而當你按住滑鼠左鍵並沿著譜線移動時，你可以測量出關於滑鼠所指向的位置之波長和譜線強度值。
也請注意出現在視窗中的其他資訊：
天體：正在被研究的天體名稱
視星等：天體看起來的亮度
光子量：至目前為止所累積的光子
量，以每單位像素（pixel）
之平均光子個數來表示。 圖三 光譜儀之讀取資料視窗
累計時間（秒）：蒐集資料所使用的時間。
波長（埃）：在測量模式下，游標所讀取出的波長值。
強度：在測量模式下，來自星系的光在游標所指定位置上的相對強度。
信號/雜訊比值：測定能在雜訊中分辨出氫和鉀譜線的資料量之品質。試著獲得從10到1的信號/雜訊比值。若是觀測較暗的星體，則需要花較多的時間。
9. 在光譜儀讀取資料視窗之選單，點選開始/恢復計算鈕（start/ resume count），繼續收集光子直到能出現清晰的H-K譜線。這些譜線的分佈大約間隔40埃，並在雜訊中特別突出明顯。如果觀測的結果並非如此，則應繼續收集更多光子。如果你對於獲得的資料並沒有把握，請洽實驗室指導員，請他幫助你解釋資料。
有些用來幫助資料分析的資訊並不存在於光譜儀讀取資料視窗，分別敘述於下：
(a) 在這次實驗觀測中的星系之絕對星等
(b) 譜線K的實驗室波長值為3933.67埃
譜線H的實驗室波長值為3968.847埃
10. 記錄天體的名稱、光量、視星等和這次實驗操作最後所測量出H、K譜線的波長。由於星系的移動，H-K譜線應該相對於實驗室波長值有紅位移的現象。
11. 若需要收集其他星系的資料，請按重來（return）鈕，並將監視器調回尋星鏡觀測狀態，然後重複步驟6～10。
【計算方法】
現在我們來看看如何使用儀器所收集到的資料，利用這些訊息來確定每一個星系，包括星系的距離和移動速度等。
星等與距離之數學關係式：
（A） M = m + 5 - 5*log D 或 log D = m – M + 5
5
注意！我們可以測量m，而為了計算D值（距離，單位秒差距）， M是一假設值。
（B） VH ＝ C*(ΔλH／λH) 和 VK＝ C*(ΔλK／λK)
注意！波長可以測量出來，經由計算而得知速度。
（C）ΔλH＝λH觀測值－λH和 ΔλK＝λK觀測值－λK
1. 使用電腦模擬望遠鏡，測量並記錄下在每一個夜晚觀測的視野中之一星系的氫-鉀譜線波長。同時，也要記錄下星系的名稱、光子量和視星等，精密度取到小數點後兩位。請收集足夠的光子量（通常大約是40000），才能正確地測出譜線的波長。
2. 利用公式（A），代入視星等的測量值，以及絕對星等的假設值，來計算出星系的距離（D）。在你的資料表中填寫距離的計算值，單位用秒差距和百萬秒差距來表示。注意公式A計算出來的是距離的對數值（log）。要得到真正的距離值，必須將對數值換算：D=10logD，如果你的計算機無法計算指數，請向指導員商借工程用計算機。
3. 利用你測量出的波長，計算出每一個譜線的紅位移量，即ΔλH和ΔλK。請將此二數值記錄在你的資料表中。
4. 利用都卜勒位移公式，計算出氫和鉀譜線的位移速度，在資料表中你可以看見下列公式：VH ＝ C*(ΔλH／λH) 和 VK＝ C*(ΔλK／λK)
5. 計算並記錄下每一個星系移動的速度。這是由H和K譜線的位移速度所獲得的平均值。
6. 將星系移動的速度（公里/秒）之數據放在Y軸，距離（百萬秒差距）放在X軸，畫出哈伯座標圖。在圖上畫一直線，使得圖上的每一點都盡可能在線上，此時，該直線的斜率即為哈伯參數（Hubble Parameter，H）。在靠近圖的右上方，接近直線的末端選取線上某一點（並非選取你劃上的點），利用該點之距離與速度算出斜率（H）。利用下列公式記算出斜率：
（D）H= v/D
H：哈伯參數（公里/秒/百萬秒差距）
v：從你畫的直線上所得之速度值
D：從你畫的直線上所得之距離值
a) 在你所填寫的資料表中，在哈伯常數平均值中記錄下你的計算值。
b) 在你所選擇的點上做記號
c) 將你畫出的哈伯座標圖之X與Y軸標出軸名稱及刻度
l 決定宇宙的年齡
哈伯定律（公式D）可以估計出宇宙的年齡。利用哈伯參數平均值計算出距離800百萬秒差距（Mpc）星系的後退速度。
800百萬秒差距（Mpc）星系的遠離速度： 公里/秒
從畫出的哈伯座標圖中重新定出速度，此時，你擁有兩項非常重要的資訊：
1. 此星系的距離
2. 星系遠離我們的速度
如果你試著在車內假想一個旅程的進行，你可以將這個過程視覺化。如果你告訴你的朋友你距離開車的起始點120英里，而且你以每小時60英里的速度駕駛，那麼你的朋友可以知道你已經旅行2小時了。那是兩小時前所開始的旅程，由下列關係式可以知道：
距離等於速度×時間
我們可以將此關係式寫成：
（E）D=R*T 或 T=D/R
因此，2小時=120英里/60（英里/小時）
現在讓我們來訂出宇宙開始它的旅程的時間。距離是800百萬秒差距（Mpc），但請先將百萬秒差距（Mpc）換算成公里，因為速度是公里/秒。
800Mpc= Km
利用公式（E）記算出宇宙在多少秒之前開始了它的旅程： 秒
每年大約有3.15×107秒，將以上的計算值換算，改以「年」為單位： 年
則宇宙的年齡就是 年。
資料表：哈伯定律－星系的紅移現象與距離
星系區域
（星座）
絕對星等
M

光度

視星等
m
距離
pc
距離
Mpc
H線的
λH觀測直
K線的λK觀測直

ΔλH

ΔλK
以H線
求速度
以K線
求速度
平均速度

-22

-22

-22

-22

-22

圖形求得平均H＝
參考用的程式與數值
M＝m＋5－5×logD logD＝(m－M＋5)/5 VH＝C×ΔλH//λH
VK＝ΔλK//λK ΔλH＝λH觀測直－λH ΔλK＝λK觀測值－λK
1光年＝0.306pc 1Mpc＝1×106pc 1pc＝3.26光年
λK＝3933.67Å λH＝3968.47 Å C＝3×105㎞/sec
【備註】
1. 可用回歸方析中最小平方差法求得，亦可用EXCEL應用軟體。
2. 相關網站www.physics.csulb.edu/hubble.html#virgo