三角应用题.doc

七、应用题
1.解应用题的一般思路可表示如下

2.解应用题的一般程序
（1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础.
（2）建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关.
（3）解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程.
（4）答：将数学结论还原为实际问题的结果.

15.三角、几何模型的应用题
一、知识框架
诸如航行、建桥、测量、人造卫星等涉及一定图形属性的应用问题，常常需要应用几何图形的性质，或用方程、不等式，或用三角函数知识来求解.
二、基础自测
1. 圆柱轴截面的周长L为定值，那么圆柱体积的最大值是 .
2.已知，是圆上任意一点，则面积的最大值是 .
3.如图，在半径为，圆心角为的扇形弧上任取一点，作扇形的内接矩形,使点在上，点在上，求这个矩形面积的最大值及相应的的值.

4.如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线排，在路南侧沿直线排，现要在矩形区域内沿直线将与接通．已知，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的部分的排管费用为每米2万元，设与所成角为．矩形区域内的排管费用为．
（1）求关于的函数关系式；
（2）求的最小值及相应的角．

三、典型例题
例1．有三个新兴城镇，分别位于三点处，且.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在的垂直平分线上的点处，（建立坐标系如图）
（1）若希望点到三镇距离的平方和为最小，点应位于何处？
（2）若希望点到三镇的最远距离为最小，点应位于何处？

例2.游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到。现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为。在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到。假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，，。
（1）求索道的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

例3.某兴趣小组测量电视塔的高度（单位），如示意图，垂直放置的标杆高度，仰角．
（1）该小组已经测得一组的值，，请据此算出的值；
（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离（单位），使与之差较大，可以提高测量精度，若电视塔实际高度为，试问为多少时，最大．

四、巩固提升
1．假设河的一条岸边为直线，于，点在上，现将货物从地经陆地与水路运往地，已知，又陆地单位距离的运价是水路单位距离运价的2倍，为使运费最少,点应选在距点多远处？

2．某地有三家工厂,分别位于矩形的顶点及的中点处，已知,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形的区域上（含边界），且与等距离的一点处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道，设排污管道的总长为.
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设，将表示成的函数关系式；
②设，将表示成的函数关系式；

（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短.

3.在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形),其中矩形的三边、、由长6分米的材料弯折而成,边的长为分米()；曲线拟从以下两种曲线中选择一种:曲线是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中,其解析式为),此时记门的最高点到边的距离为；曲线是一段抛物线,其焦点到准线的距离为,此时记门的最高点到边的距离为.
(1)试分别求出函数、的表达式；
(2)要使得点到边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少?

4.如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东北方,现要修筑一条铁路,在上设一站A,在上设一站，铁路在部分为直线段，现要求市中心到的距离为，设．
（1）试求关于角的函数关系式；
（2）问把分别设在公路上离市中心多远处，才能使最短，并求其最短距离．