资源描述
8.3 同底数幂的除法
一．选择题（共15小题）
1．500米口径球面射电望远镜，简称FAST，是世界上最大的单口径球面射电望远镜，被誉为“中国天眼”．2018年4月18日，FAST望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证，新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一．将0.00519用科学记数法表示应为（ ）
A．0.519×10﹣2 B．5.19×10﹣3 C．51.9×10﹣4 D．519×10﹣6
2．汉语言文字博大精深，丰富细腻易于表达，比如形容时间极短的词语有“一刹那”、“眨眼间”、“弹指一挥间”等根据唐玄奘《大唐西域记》中记载，一刹那大约是0.013秒．将0.013用科学记数法表示应为（ ）
A．1.3×10﹣2 B．1.3×10﹣3 C．13×10﹣3 D．1.3×103
3．2010年，科学家成功制造出世界上最小的晶体管，它的长度只有0.00000004m，用科学记数法表示这个数是（ ）
A．0.4×10﹣7 B．4×10﹣7 C．4×10﹣8 D．4×108
4．若一个整数12500…0用科学记数法表示为1.25×1010，则原数中“0”的个数为（ ）
A．5 B．8 C．9 D．10
5．下列各式中计算正确的是（ ）
A．t10÷t9＝t B．（xy2）3＝xy6 C．（a3）2＝a5 D．x3x3＝2x6
6．下列运算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6 B．（x2）3＝x5 C．（xy）3＝x3y D．x6÷x2＝x4
7．若3x＝15，3y＝5，则3x﹣y等于（ ）
A．5 B．3 C．15 D．10
8．下列各式计算正确的是（ ）
A．x6•x2＝x12 B．x2+x2＝2x2
C．（﹣c）8÷（﹣c）6＝﹣c2 D．（ab3）2＝ab6
9．已知10x＝5，10y＝2，则103x+2y﹣1的值为（ ）
A．18 B．50 C．119 D．128
10．（）0的值是（ ）
A．0 B．1 C． D．以上都不是
11．若（x﹣5）0＝1，则x的取值范围是（ ）
A．x＞5 B．x＜5 C．x≠5 D．一切实数
12．已知（x﹣1）|x|﹣1有意义且恒等于1，则x的值为（ ）
A．﹣1或2 B．1 C．±1 D．0
13．（﹣）﹣1＝（ ）
A． B． C．3 D．﹣3
14．﹣2的相反数为a，则a﹣1的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
15．若a＝﹣22，b＝2﹣2，c＝（）﹣2，d＝（）0．则（ ）
A．a＜b＜d＜c B．a＜b＜c＜d C．b＜a＜d＜c D．a＜c＜b＜d
二．填空题（共10小题）
16．将0.00000516用科学记数法表示为 ．
17．0.0000078m，这个数据用科学记数法表示为 ．
18．用科学记数法表示0.00021＝ ，用小数表示3.57×10﹣6＝ ．
19．某种植物花粉的直径用科学记数法表示为4.5×10﹣4cm，用数据表示为 cm．
20．已知25a•52b＝56，4b÷4c＝4，则代数式a2+ab+3c值是 ．
21．若xm＝2，xn＝3，则x2m﹣3n＝ ．
22．若2018m＝6，2018n＝4，则20182m﹣n＝ ．
23．若（a﹣1）a+2＝1，则a＝ ．
24．将代数式3x﹣2y3化为只含有正整数指数幂的形式是 ．
25．比较（）﹣1，（﹣2）0，（﹣3）2这三个数的大小，并用“＜”连接： ．
三．解答题（共5小题）
26．已知ax•ay＝a5，ax÷ay＝a，求x2﹣y2的值．
27．计算：（a﹣1+b﹣1）﹣1÷（a﹣2﹣b﹣2）﹣1．
28．若33×9m+4÷272m﹣1的值为729，求m的值．
29．已知（am）n＝a6，（am）2÷an＝a3
（1）求mn和2m﹣n的值；
（2）求4m2+n2的值．
30．已知：2a＝3，2b＝5，2c＝75．
（1）求22a的值；
（2）求2c﹣b+a的值；
（3）试说明：a+2b＝c．
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．500米口径球面射电望远镜，简称FAST，是世界上最大的单口径球面射电望远镜，被誉为“中国天眼”．2018年4月18日，FAST望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证，新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一．将0.00519用科学记数法表示应为（ ）
A．0.519×10﹣2 B．5.19×10﹣3 C．51.9×10﹣4 D．519×10﹣6
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00519＝5.19×10﹣3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．汉语言文字博大精深，丰富细腻易于表达，比如形容时间极短的词语有“一刹那”、“眨眼间”、“弹指一挥间”等根据唐玄奘《大唐西域记》中记载，一刹那大约是0.013秒．将0.013用科学记数法表示应为（ ）
A．1.3×10﹣2 B．1.3×10﹣3 C．13×10﹣3 D．1.3×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.013＝1.3×10﹣2．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．2010年，科学家成功制造出世界上最小的晶体管，它的长度只有0.00000004m，用科学记数法表示这个数是（ ）
A．0.4×10﹣7 B．4×10﹣7 C．4×10﹣8 D．4×108
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000004＝4×10﹣8．
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．若一个整数12500…0用科学记数法表示为1.25×1010，则原数中“0”的个数为（ ）
A．5 B．8 C．9 D．10
【分析】先确定出原数中整数位数，然后再确定其中0的个数即可．
【解答】解：用科学记数法表示为1.25×1010的原数为12500000000，
所以原数中“0”的个数为8，
故选：B．
【点评】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，当n＞0时，n是几，小数点就向后移几位．
5．下列各式中计算正确的是（ ）
A．t10÷t9＝t B．（xy2）3＝xy6 C．（a3）2＝a5 D．x3x3＝2x6
【分析】根据同底数幂的乘法和除法的法则以及幂的乘方和积的乘方的法则计算即可．
【解答】解：A、t10÷t9＝t，正确；
B、（xy2）3＝x3y6，错误；
C、（a3）2＝a6，错误；
D、x3x3＝x6，错误；
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方，熟记法则是解题的关键．
6．下列运算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6 B．（x2）3＝x5 C．（xy）3＝x3y D．x6÷x2＝x4
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则分别判断得出答案．
【解答】解：A、x2•x3＝x5，故此选项错误；
B、（x2）3＝x6，故此选项错误；
C、（xy）3＝x3y3，故此选项错误；
D、x6÷x2＝x4，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7．若3x＝15，3y＝5，则3x﹣y等于（ ）
A．5 B．3 C．15 D．10
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减，可得答案．
【解答】解：3x﹣y＝3x÷3y＝15÷5＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，底数不变，指数相减．
8．下列各式计算正确的是（ ）
A．x6•x2＝x12 B．x2+x2＝2x2
C．（﹣c）8÷（﹣c）6＝﹣c2 D．（ab3）2＝ab6
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别判断得出答案．
【解答】解：A、x6•x2＝x8，故此选项错误；
B、x2+x2＝2x2，故此选项正确；
C、（﹣c）8÷（﹣c）6＝c2，故此选项错误；
D、（ab3）2＝a2b6，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
9．已知10x＝5，10y＝2，则103x+2y﹣1的值为（ ）
A．18 B．50 C．119 D．128
【分析】直接逆用同底数幂的乘法和除法展开计算即可．
【解答】解：∵10x＝5，10y＝2，
∴103x+2y﹣1＝（10x）3×（10y）2÷10＝125×4÷10＝50，
故选：B．
【点评】本题考查了幂的有关运算性质，解题的关键是能够熟练逆用这些幂的运算性质，难度不大．
10．（）0的值是（ ）
A．0 B．1 C． D．以上都不是
【分析】直接利用零指数幂的性质计算得出答案．
【解答】解：（）0＝1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质，正确把握相关定义是解题关键．
11．若（x﹣5）0＝1，则x的取值范围是（ ）
A．x＞5 B．x＜5 C．x≠5 D．一切实数
【分析】直接利用零指数幂的定义分析得出答案．
【解答】解：∵（x﹣5）0＝1，
∴x﹣5≠0，
解得：x≠5．
故选：C．
【点评】此题主要考查了零指数幂的定义，正确把握底数不为零是解题关键．
12．已知（x﹣1）|x|﹣1有意义且恒等于1，则x的值为（ ）
A．﹣1或2 B．1 C．±1 D．0
【分析】根据任何非0数的0次幂等于1，求x的值，注意1的任何正整数次幂也是1．
【解答】解：根据题意，得x﹣1≠0，|x|﹣1＝0．
∵|x|﹣1＝0，∴x＝±1，
∵x﹣1≠0，∴x≠1，
又当x＝2时，（x﹣1）|x|﹣1＝1，
综上可知，x的值是﹣1或2．
故选：A．
【点评】此题考查了绝对值的定义，零指数幂的定义，比较简单．
13．（﹣）﹣1＝（ ）
A． B． C．3 D．﹣3
【分析】根据负整数指数幂的计算法则计算即可求解．
【解答】解：（﹣）﹣1＝﹣3．
故选：D．
【点评】考查了负整数指数幂，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．
14．﹣2的相反数为a，则a﹣1的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【分析】直接利用相反数的定义进而利用负指数幂的性质得出答案．
【解答】解：∵﹣2的相反数为a，
∴a＝2，
∴a﹣1＝2﹣1＝．
故选：D．
【点评】此题主要考查了负指数幂的性质以及相反数，正确把握相关定义是解题关键．
15．若a＝﹣22，b＝2﹣2，c＝（）﹣2，d＝（）0．则（ ）
A．a＜b＜d＜c B．a＜b＜c＜d C．b＜a＜d＜c D．a＜c＜b＜d
【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：∵a＝﹣22＝﹣4，b＝2﹣2＝，c＝（）﹣2＝4，d＝（）0＝1，
∴﹣4＜＜1＜4，
∴a＜b＜d＜c．
故选：A．
【点评】此题主要考查了负指数幂的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
二．填空题（共10小题）
16．将0.00000516用科学记数法表示为 5.6×10﹣6 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000516＝5.6×10﹣6．
故答案为：5.6×10﹣6．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
17．0.0000078m，这个数据用科学记数法表示为 7.8×10﹣6 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000078＝7.8×10﹣6．
故答案为7.8×10﹣6．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数．一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
18．用科学记数法表示0.00021＝ 2.1×10﹣4 ，用小数表示3.57×10﹣6＝ 0.00000357 ．
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此可得．
【解答】解：用科学记数法表示0.00021＝2.1×10﹣4，用小数表示3.57×10﹣6＝0.00000357，
故答案为：2.1×10﹣4，0.00000357．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
19．某种植物花粉的直径用科学记数法表示为4.5×10﹣4cm，用数据表示为 0.00045 cm．
【分析】将4.5的小数点向左移4位即可得．
【解答】解：用科学记数法表示为4.5×10﹣4cm的数原数据为0.00045cm，
故答案为：0.00045．
【点评】本题主要考查科学记数法﹣原数，科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数．
20．已知25a•52b＝56，4b÷4c＝4，则代数式a2+ab+3c值是 6 ．
【分析】依据25a•52b＝56，4b÷4c＝4，即可得到a+b＝3，b﹣c＝1，a+c＝2，再根据a2+ab+3c＝a（a+b）+3c＝3a+3c，即可得到结果．
【解答】解：∵25a•52b＝56，4b÷4c＝4，
∴52a+2b＝56，4b﹣c＝4，
∴a+b＝3，b﹣c＝1，
两式相减，可得a+c＝2，
∴a2+ab+3c＝a（a+b）+3c＝3a+3c＝3×2＝6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法法则以及同底数幂的除法法则的运用，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减．
21．若xm＝2，xn＝3，则x2m﹣3n＝ ．
【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵xm＝2，xn＝3，
∴x2m﹣3n＝（xm）2÷（xn）3＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算，正确将原式变形是解题关键．
22．若2018m＝6，2018n＝4，则20182m﹣n＝ 9 ．
【分析】根据同底数幂的除法和幂的乘方解答即可．
【解答】解：因为2018m＝6，2018n＝4，
所以20182m﹣n＝（2018m）2÷2018n＝36÷4＝9，
故答案为：9
【点评】此题考查同底数幂的除法，关键是根据同底数幂的除法和幂的乘方法则计算．
23．若（a﹣1）a+2＝1，则a＝ ﹣2，0，2 ．
【分析】本题分三种情况解答：当为计算0指数幂时；当为1的整数次幂时；当为﹣1的偶次幂时．
【解答】解：分三种情况解答：（1）a﹣1≠0，a+2＝0，即a＝﹣2；
（2）a﹣1＝1时，a＝2，此时a+2＝4原式成立；
（3）a﹣1＝﹣1，此时a＝0，a+2＝2，原式成立．
故本题答案为：﹣2，0，2．
【点评】本题需要根据非0数的0指数幂和1的整数次幂和﹣1的偶次幂解答．
24．将代数式3x﹣2y3化为只含有正整数指数幂的形式是 ．
【分析】依据负整数指数幂的法则进行计算即可．
【解答】解：3x﹣2y3＝3××y3＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了负整数指数幂，解题时注意：a﹣p＝．
25．比较（）﹣1，（﹣2）0，（﹣3）2这三个数的大小，并用“＜”连接： （﹣2）0＜（）﹣1＜（﹣3）2 ．
【分析】首先根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算出（）﹣1，（﹣2）0，（﹣3）2这三个数，然后再比较大小，并用“＜”连接即可求解．
【解答】解：∵（）﹣1＝6，（﹣2）0＝1，（﹣3）2＝9，
1＜6＜9，
∴用“＜”连接为：（﹣2）0＜（）﹣1＜（﹣3）2．
故答案为：（﹣2）0＜（）﹣1＜（﹣3）2．
【点评】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂的运算．负整数指数为正整数指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1．
三．解答题（共5小题）
26．已知ax•ay＝a5，ax÷ay＝a，求x2﹣y2的值．
【分析】根据幂的运算法则即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：ax+y＝a5；
ax﹣y＝a，
∴x﹣y＝1，x+y＝5
∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝5；
【点评】本题考查幂的运算法则，解题的关键是熟练运用幂的运算法则，本题属于基础题型．
27．计算：（a﹣1+b﹣1）﹣1÷（a﹣2﹣b﹣2）﹣1．
【分析】先利用负整数指数幂的意义将原式变形为÷，再根据分式的基本性质分别化简被除式与除式，然后利用分式除法法则计算即可．
【解答】解：（a﹣1+b﹣1）﹣1÷（a﹣2﹣b﹣2）﹣1
＝÷
＝÷
＝•
＝．
【点评】本题考查了负整数指数幂的意义，分式的基本性质，分式除法法则，超出教材大纲要求，本题有一定的难度．
28．若33×9m+4÷272m﹣1的值为729，求m的值．
【分析】直接利用幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则将原式变形进而得出答案．
【解答】解：∵33×9m+4÷272m﹣1的值为729，
∴33×32m+8÷36m﹣3＝36，
∴3+2m+8﹣（6m﹣3）＝6，
解得：m＝2．
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确将原式变形是解题关键．
29．已知（am）n＝a6，（am）2÷an＝a3
（1）求mn和2m﹣n的值；
（2）求4m2+n2的值．
【分析】（1）由已知等式利用幂的运算法则得出amn＝a6、a2m﹣n＝a3，据此可得答案；
（2）将mn、2m﹣n的值代入4m2+n2＝（2m﹣n）2+4mn计算可得．
【解答】解：（1）∵（am）n＝a6，（am）2÷an＝a3，
∴amn＝a6、a2m﹣n＝a3，
则mn＝6、2m﹣n＝3；
（2）当mn＝6、2m﹣n＝3时，
4m2+n2＝（2m﹣n）2+4mn
＝32+4×6
＝9+24
＝33．
【点评】本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握幂的乘方与同底数幂的除法的运算法则．
30．已知：2a＝3，2b＝5，2c＝75．
（1）求22a的值；
（2）求2c﹣b+a的值；
（3）试说明：a+2b＝c．
【分析】根据同底数幂的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）22a＝（2a）2＝32＝9；
（2）2c﹣b+a＝2c÷2b×2a＝75÷5×3＝45；
（3）因为22b＝（5）2＝25，
所以2a22b＝2a+2b＝3×25＝75；
又因为2c＝75，
所以2c＝2a+2b，
所以a+2b＝c．
【点评】本题考查同底数幂的运算，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
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