资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列方程中，为一元二次方程的是（ ）
A．2x+1=0； B．3x2-x=10； C．； D．.
2．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的⊙O交x轴正半轴为M，P为圆上一点，坐标为（，1），则cos∠POM=（ ）
A． B． C． D．
3．对于问题：如图1，已知∠AOB，只用直尺和圆规判断∠AOB是否为直角？小意同学的方法如图2：在OA、OB上分别取C、D，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向延长线于点E，若测量得OE=OD，则∠AOB=90º.则小意同学判断的依据是（ ）
A．等角对等边 B．线段中垂线上的点到线段两段距离相等
C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”
4．如图，A、B、C是⊙O上的三点，已知∠O＝50°， 则∠C的大小是（ ）
A．50° B．45° C．30° D．25°
5．已知(x2+y2)(x2+y2-1)-6=0，则 x2+y2 的值是（ ）
A．3或-2 B．-3或2 C．3 D．-2
6．如图，几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
7．方程x2-2x=0的根是（ ）
A．x1=x2=0
B．x1=x2=2
C．x1=0，x2=2
D．x1=0，x2=-2
8．如图，PA，PB切⊙O于点A，B，点C是⊙O上一点，且∠P＝36°，则∠ACB＝( )
A．54° B．72° C．108° D．144°
9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E在边CD的延长线上，若∠ABC＝110°，则∠ADE的度数为（ ）
A．55° B．70° C．90° D．110°
10．下列事件是必然事件的是( )
A．3个人分成两组，并且每组必有人，一定有2个人分在一组
B．抛一枚硬币，正面朝上
C．随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为6
D．打开电视，正在播放动画片
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在⊙O中，半径OC与弦AN垂直于点D，且AB＝16，OC＝10，则CD的长是_____．
12．已知关于的方程的一个解为，则m=_______．
13．在一个不透明的袋子里装有黄色、白色乒乓球共40个，除颜色外其他完全相同．小明从这个袋子中随机摸出一球，放回．通过多次摸球实验后发现，摸到黄色球的概率稳定在15%附近，则袋中黄色球可能有___个．
14．等腰Rt△ABC中，斜边AB＝12，则该三角形的重心与外心之间的距离是_____．
15．如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为，点和点均在直线上.①；②；③抛物线与轴的另一个交点时；④方程有两个不相等的实数根；⑤；⑥不等式的解集为.
上述六个结论中，其中正确的结论是_____________.（填写序号即可）
16．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第_________个图形有94个小圆.
17．如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，恰好能与△ACP′完全重合，如果AP=8，则PP′的长度为___________．
18．如果两个相似三角形的对应边的比是4:5，那么这两个三角形的面积比是_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图 ，梯形ABCD中，，点在上，连与的延长线交于点G．
（1）求证：；
（2）当点F是BC的中点时，过F作交于点，若，求的长．
20．（6分）解方程：（x﹣2）（x﹣1）＝3x﹣6
21．（6分）如图，已知抛物线y1=x2-2x-3与x轴相交于点A，B(点A在B的左侧)，与y轴相交于点C，直线y2=kx+b经过点B，C．
（1）求直线BC的函数关系式；
（2）当y1>y2时，请直接写出x的取值范围．
22．（8分）如图，在正方形ABCD中， ，点E为对角线AC上一动点（点E不与点A、C重合），连接DE，过点E作，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求AC的长；
（2）求证矩形DEFG是正方形；
（3）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
23．（8分）某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（点C不与A，B重合），连接CA，CB．∠ACB的平分线CD与⊙O交于点D．
（1）求∠ACD的度数；
（2）探究CA，CB，CD三者之间的等量关系，并证明；
（3）E为⊙O外一点，满足ED＝BD，AB＝5，AE＝3，若点P为AE中点，求PO的长．
25．（10分）解方程：
(1)x2﹣2x﹣1＝0
(2)2(x﹣3)2＝x2﹣9
26．（10分）如图，点分别在的边上，已知．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【解析】试题解析：A.是一元一次方程，故A错误；
B. 是一元二次方程，故B正确；
C. 不是整式方程，故C错误；
D .不是一元二次方程，故D错误；
故选B．
2、A
【解析】试题分析：作PA⊥x轴于A，
∵点P的坐标为（，1），
∴OA=，PA=1，
由勾股定理得，OP=2，
cos∠POM==，
故选A．
考点：锐角三角函数
3、B
【分析】由垂直平分线的判定定理，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，
∵CD=CE，OE=OD，
∴AO是线段DE的垂直平分线，
∴∠AOB=90°；
则小意同学判断的依据是：线段中垂线上的点到线段两段距离相等；
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的判定定理进行判断．
4、D
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【详解】解：∵∠C与∠AOB是同弧所对的圆周角与圆心角，
∵∠AOB=2∠C=50°，
∴∠C=∠AOB=25°．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
5、C
【分析】设m=x2+y2，则有，求出m的值，结合x2+y20，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，设m=x2+y2，
∴原方程可化为：，
∴，
解得：或；
∵，
∴，
∴；
故选：C．
【点睛】
本题考查了换元法求一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．
6、D
【解析】试题分析：观察几何体，可知该几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是，故答案选D.
考点：简单几何体的三视图.
7、C
【解析】根据因式分解法解一元二次方程的方法，提取公因式x可得x（x-2）=0，然后按照ab=0的形式的方程解法，可得x=0或x-2=0，解得x1＝0，x2＝2.
故选C.
点睛：本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用.
8、B
【解析】连接AO,BO,∠P=36°，所以∠AOB=144°，所以∠ACB=72°.故选B.
9、D
【解析】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
又∵∠ADC+∠ADE=180°，
∴∠ADE=∠ABC=110°.
故选D.
点睛：本题是一道考查圆内接四边形性质的题，解题的关键是知道圆内接四边形的性质：“圆内接四边形对角互补”.
10、A
【分析】根据必然事件是指在一定条件下，一定发生的事件，对每一选项判断即可．
【详解】解：A、3个人分成两组，并且每组必有人，一定有2个人分在一组是必然事件，符合题意，故选A；
B、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件，故不符合题意，B选项错误；
C、随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为6是随机事件，故不符合题意，C选项错误；
D、打开电视，正在播放动画片是随机事件，故不符合题意，D选项错误；
故答案选择D．
【点睛】
本题考查的是事件的分类，事件分为必然事件，随机事件和不可能事件，掌握概念是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、4
【解析】根据垂径定理以及勾股定理即可求答案．
【详解】连接OA，
设CD＝x，
∵OA＝OC＝10，
∴OD＝10﹣x，
∵OC⊥AB，
∴由垂径定理可知：AB＝16，
由勾股定理可知：102＝82+（10﹣x）2
∴x＝4，
∴CD＝4，
故答案为：4
【点睛】
本题考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理以及勾股定理，本题属于基础题型．
12、0
【分析】把代入原方程得到关于的一元一次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：把代入原方程得：
故答案为：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解的含义，掌握方程的解的含义是解题的关键．
13、1
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：设袋中黄色球可能有x个．
根据题意，任意摸出1个，摸到黄色乒乓球的概率是：15%=，解得：x=1．
∴袋中黄色球可能有1个．
故答案为：1
14、1．
【分析】画出图形，找到三角形的重心与外心，利用重心和外心的性质求距离即可.
【详解】如图，点D为三角形外心，点I为三角形重心，DI为所求.
∵直角三角形的外心是斜边的中点，
∴CD＝AB＝6，
∵I是△ABC的重心，
∴DI＝CD＝1，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查三角形的重心和外心，能够掌握三角形的外心和重心的性质是解题的关键.
15、①④
【分析】①由对称轴x=1判断；②根据图象确定a、b、c的符号；③根据对称轴以及B点坐标，通过对称性得出结果；③根据的判别式的符号确定；④比较x=1时得出y1的值与x=4时得出y2值的大小即可；⑤由图象得出，抛物线总在直线的下面，即y2＞y1时x的取值范围即可．
【详解】解：①因为抛物线的顶点坐标A（1，3），所以对称轴为：x=1，则-=1，2a+b=0，故①正确；
②∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故②不正确；
③∵抛物线对称轴为x=1,抛物线与x轴的交点B的坐标为（4,0），∴根据对称性可得，抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-2,0），故③不正确；
④∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，∴的判别式，=b2-4a（c+3）= b2-4ac-12a,又a＜0，∴-12a＞0，∴= b2-4ac-12a＞0，故④正确；
⑤当x=-1时，y1=a-b+c＞0;当x=4时，y2=4m+n=0,∴a-b+c＞4m+n,故⑤不正确；
⑥由图象得：的解集为x＜1或x＞4；故⑥不正确；
则其中正确的有：①④．
故答案为：①④．
【点睛】
本题选项较多，比较容易出错，因此要认真理解题意，明确以下几点是关键：①通常2a+b的值都是利用抛物线的对称轴来确定；②抛物线与x轴的交点个数确定其△的值，即b2-4ac的值：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点；③知道对称轴和抛物线的一个交点，利用对称性可以求与x轴的另一交点．
16、9.
【分析】分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为6；第2个图形中小圆的个数为10；第3个图形中小圆的个数为16；第1个图形中小圆的个数为21；则知第n个图形中小圆的个数为n（n+1）+1．依此列出方程即可求得答案．
【详解】解：设第n个图形有91个小圆，依题意有n2+n+1=91 即n2+n=90
（n+10）（n﹣9）=0
解得n1=9，n2=﹣10（不合题意舍去）．
故第9个图形有91个小圆．
故答案为：9
【点睛】
本题考查(1)、一元二次方程的应用；(2)、规律型：图形的变化类．
17、
【分析】通过旋转的性质可以得到，，，从而可以得到是等腰直角三角形，再根据勾股定理可以计算出的长度．
【详解】解：根据旋转的性质得：，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理的应用，其中根据旋转的性质推断出是等腰直角三角形是解题的关键．
18、16:25
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，据此即可求解．
【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为：，
∴这两个三角形的面积比；
故答案为：∶.
【点睛】
本题考查了相似三角形性质，解题的关键是熟记相似三角形的性质.
（1）相似三角形周长的比等于相似比；
（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；
（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
三、解答题(共66分)
19、（1）证明见解析；（2）2cm
【分析】（1）根据梯形的性质，利用平行线的性质得到，然后由相似三角形的判定得到结论；
（2）根据点F是BC的中点，可得△CDF≌△BGF，进而根据全等三角形的性质得到CD=BG，然后由中位线的性质求解即可.
【详解】（1）证明：∵梯形，，
∴，
∴．
（2） 由（1），
又是的中点，
∴，
∴
又∵，，
∴，得．
∴，
∴．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定及中位线的性质，比较复杂，关键是灵活利用平行线的性质解题.
20、x＝2或x＝1
【分析】将等式右边进行提取公因数3，然后移项利用因式分解法求解可得.
【详解】解：∵（x﹣2）（x﹣1）﹣3（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（x﹣1）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣1＝0，
解得x＝2或x＝1．
故答案为：x＝2或x＝1.
【点睛】
本题考查了因式分解法. 主要有提公因式法，运用公式法，分组分解法和十字相乘法.
21、（1）y=x-1；（2）当y1>y2时，x＜0和x＞1.
【分析】（1）根据抛物线的解析式求出A、B、C的解析式，把B、C的坐标代入直线的解析式，即可求出答案；
（2）根据B、C点的坐标和图象得出即可．
【详解】解：（1）抛物线y1=x2-2x-1，
当x=0时，y=-1，
当y=0时，x=1或-1，
即A的坐标为（-1，0），B的坐标为（1，0），C的坐标为（0，-1），
把B、C的坐标代入直线y2=kx+b得：
，
解得：k=1，b=-1，
即直线BC的函数关系式是y=x-1；
（2）∵B的坐标为（1，0），C的坐标为（0，-1），如图，
∴当y1＞y2时，x的取值范围是x＜0或x＞1．
【点睛】
本题考查了一次函数和二次函数图象上点的坐标特征、用待定系数法求一次函数的解析式和二次函数与一次函数的图象等知识点，能求出B、C的坐标是解此题的关键．
22、（1）2；（2）见解析；（3）是，定值为8
【分析】（1）运用勾股定理直接计算即可；
（2）过作于点，过作于点，即可得到，然后判断，得到，则有即可；
（3）同（2）的方法证出得到，得出即可．
【详解】解：（1），
∴AC的长为2；
（2）如图所示，过作于点，过作于点，
正方形，
，，
，且，
四边形为正方形，
四边形是矩形，
，，
，
又，
在和中，，
，
，
矩形为正方形，
（3）的值为定值，理由如下：
矩形为正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，，
，
，
，
是定值．
【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理的综合运用，解本题的关键是作出辅助线，构造三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得出结论。
23、（1）；（2）200；（3）150元, 最高利润为5000元,
【分析】（1）总利润=每台的利润销售台数，根据公式即可列出关系式；
（2）将y=4800代入计算即可得到x的值，取x的较大值；
（3）将（1）的函数关系式配方为顶点式，即可得到答案.
【详解】（1）由题意得： ；
（2）将y=4800代入，
∴，
解得x1=100，x2=200，
要使百姓得到实惠，则降价越多越好，所以x=200，
故每台冰箱降价200元
（3），
每台冰箱降价150元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高，最高利润为5000元
【点睛】
此题考查二次函数的实际应用，熟记销售问题的售价、进价、利润三者之间的关系是解题的关键.
24、（1）∠ACD＝45°；（2）BC+AC＝CD，见解析；（3）OP＝．
【分析】（1）由圆周角的定义可求∠ACB＝90°，再由角平分线的定义得到∠ACD＝45°；
（2）连接CO延长与圆O交于点G，连接DG、BG，延长DG、CB交于点F；先证明△BGF是等腰直角三角形，得到BG＝BF，AG＝BF，再证明△CDF是等腰三角三角形，得到CF＝CD，即可求得BC+AC＝CD；
（3）过点A作AM⊥ED，过点B作BN⊥ED交ED延长线与点N，连接BE；先证明Rt△AMD≌Rt△DNB（AAS），再证明△AED是等腰三角形，分别求得EN＝，BN＝，在Rt△EBN中，BE＝，OP＝BN＝．
【详解】解：（1）∵AB是直径，点C在圆上，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACB的平分线CD与⊙O交于点D，
∴∠ACD＝45°；
（2）BC+AC＝CD，
连接CO延长与圆O交于点G，连接DG、BG，延长DG、CB交于点F；
∴∠CDG＝∠CBG＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴AC∥BG，
∴∠CGB＝∠ACG，
∴∠CGB＝45°+∠DCG，
∵∠CBF＝90°+∠DCG，
∴∠BGF＝45°，
∴△BGF是等腰直角三角形，
∴BG＝BF，
∵△ACO≌△BGO（SAS），
∴AG＝BF，
∵△CDF是等腰三角三角形，
∴CF＝CD，
∴BC+AC＝CD；
（3）过点A作AM⊥ED，过点B作BN⊥ED交ED延长线与点N，连接BE；
∵∠ACD＝∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，
∴AD＝BD，
∵AB＝5，
∴BD＝AD＝，
∵∠MAD＝∠BDN，
∴Rt△AMD≌Rt△DNB（AAS），
∴AM＝DN，MD＝BN，
∵ED＝BD，
∴△AED是等腰三角形，
∵AE＝3，
∴AM＝，DM＝，
∴EN＝，BN＝，
在Rt△EBN中，BE＝，
∵P是AE的中点，O是AB的中点，
∴OP＝BN，
∴OP＝．
【点睛】
本题是一道关于圆的综合题目，考查了等腰三角形的性质、圆周角定义、角平分线、全等三角形的判定及性质，勾股定理等多个知识点，根据题目作出适合的辅助线是解此题的关键．
25、 (1)，；(2)x1＝3，x2＝9.
【分析】(1)利用公式法求解可得；(2)利用因式分解法求解可得；
【详解】解：(1)∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴△＝(﹣2)2﹣4×1×(﹣1)＝8＞0，
∴x＝，
即，.
(2)∵2(x﹣3)2＝x2﹣9，
∴2(x﹣3)2＝(x+3)(x﹣3)，
∴2(x﹣3)2﹣(x+3)(x﹣3)＝0，
∴(x﹣3)(x﹣9)＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣9＝0，
解得x1＝3，x2＝9.
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程的配方法和因式分解法，掌握解一元二次方程是解题的关键.
26、（1）证明见解析（2）
【分析】（1）根据三角形内角和定理以及相似三角形的判定定理即可求出答案；
（2）根据相似三角形的性质即可求出答案．
【详解】解：（1）证明：在中，，
∴.
又∵在中，，
∴，
∴
（2）∵，
∴，
∴，
∵
∴
∴
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定．
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