资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0 B．x2+2x+3＝0 C．y2+x＝1 D．＝1
2．某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数（x＞0），若该车某次的刹车距离为5 m，则开始刹车时的速度为（ ）
A．40 m/s B．20 m/s
C．10 m/s D．5 m/s
3．方程x2﹣3x＝0的根是（ ）
A．x＝0 B．x＝3 C．， D．，
4．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是 （ ）
A．开口向下 B．对称轴是x=﹣1 C．与x轴有两个交点 D．顶点坐标是（1，2）
5．已知sinαcosα=，且0°<α<45°，则sinα－cosα的值为( )
A． B．－ C． D．±
6．在下面的计算程序中，若输入的值为1，则输出结果为（ ）．
A．2 B．6 C．42 D．12
7．如图，是的直径，，垂足为点，连接交于点，延长交于点，连接并延长交于点.则下列结论：①；②；③点是的中点.其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的（ ）
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．极差
9．关于的一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
10．将抛物线向右平移一个单位，向上平移2个单位得到抛物线
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．对一批防PM2.5口罩进行抽检，经统计合格口罩的概率是0.9，若这批口罩共有2000只，则其中合格的大约有__只．
12．用配方法解方程时，可配方为，其中________．
13．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列6个结论：①abc＜0；②b＜a+c； ③4a+2b+c＜0；④2a+b+c＞0；⑤>0；⑥2a+b=0；其中正确的结论的有_______．
14．如果向量、、满足关系式2﹣（﹣3）＝4，那么＝_____（用向量、表示）．
15．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是x =-2,x =4，则的值为________.
16．如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为6，则的长为__________．
17．如图，∠XOY=45°，一把直角三角尺△ABC的两个顶点A、B分别在OX，OY上移动，其中AB=10，那么点O到顶点A的距离的最大值为_____．
18．抛物线y=ax2-4ax+4(a≠0)与y轴交于点A．过点B(0,3)作y轴的垂线l，若抛物线y=ax2-4ax+4(a≠0)与直线l有两个交点，设其中靠近y轴的交点的横坐标为m，且│m│<1，则a的取值范围是______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知y与x成反比例，则其函数图象与直线相交于一点A．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)直接写出反比例函数图象与直线y＝kx的另一个交点坐标；
(3)写出反比例函数值不小于正比例函数值时的x的取值范围．
20．（6分）三个小球上分别标有数字﹣2，﹣1，3，它们除数字外其余全部相同，现将它们放在一个不透明的袋子里，从袋子中随机地摸出一球，将球上的数字记录，记为m，然后放回；再随机地摸取一球，将球上的数字记录，记为n，这样确定了点(m，n)．
（1）请列表或画出树状图，并根据列表或树状图写出点(m，n)所有可能的结果；
（2）求点(m，n)在函数y＝x的图象上的概率．
21．（6分）如图，在中，，矩形的顶点、分别在边、上，、在边上．
（1）求证：∽；
（2）若，则面积与面积的比为 ．
22．（8分）某公司营销两种产品，根据市场调研，确定两条信息：
信息1：销售种产品所获利润(万元)与所销售产品 (吨)之间存在二次函数关系，如图所示
信息2：销售种产品所获利润(万元)与销售产品(吨)之间存在正比例函数关系
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求二次函数的表达式；
（2）该公司准备购进两种产品共10吨，请设计一个营销方案使销售两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元?
23．（8分）某学校在倡导学生大课间活动中，随机抽取了部分学生对“我最喜爱课间活动”进行了一次抽样调查，分别从打篮球、踢足球、自由活动、跳绳、其它等5个方面进行问卷调（每人只能选一项），根据调查结果绘制了如图的不完整统计图，请你根据图中信息，解答下列问题.
（1）本次调查共抽取了学生 人；
（2）求本次调查中喜欢踢足球人数；
（3）若甲、乙两位同学通过抽签的方式确定自己填报的课间活动，则两位同学抽到同一运动的概率是多少？
24．（8分）若a≠0且a2﹣2a＝0，求方程16x2﹣4ax+1＝3﹣12x的根．
25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，经过AD两点的圆分别与AB，AC交于点E、F，连接DE，DF．
（1）求证：DE＝DF；
（2）求证：以线段BE+CF，BD，DC为边围成的三角形与△ABC相似，
26．（10分）已知，二次函数的图象，如图所示，解决下列问题：
（1）关于的一元二次方程的解为；
（2）求出抛物线的解析式；
（3）为何值时．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】根据一元二次方程的定义，即只含一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、方程1x+1＝0中未知数的最高次数不是1，是一元一次方程，故不是一元二次方程；
B、方程x1+1x+3＝0只含一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程，故是一元二次方程；
C、方程y1+x＝1含有两个未知数，是二元二次方程，故不是一元二次方程；
D、方程＝1不是整式方程，是分式方程，故不是一元二次方程.
故选：B.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是1．是否符合定义的条件是作出判断的关键.
2、C
【解析】当y=5时，则，解之得（负值舍去），故选C
3、D
【分析】先将方程左边提公因式x，解方程即可得答案．
【详解】x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x1＝0，x2＝3，
故选：D．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：配方法、直接开平方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．
4、D
【解析】试题解析：二次函数y=（x-1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．
故选D．
5、B
【分析】由题意把已知条件两边都乘以2，再根据sin2α+cos2α=1，进行配方，然后根据锐角三角函数值求出cosα与sinα的取值范围，从而得到sinα-cosα＜0，最后开方即可得解．
【详解】解：∵sinαcosα=，
∴2sinα•cosα=，
∴sin2α+cos2α-2sinα•cosα=1- ，
即（sinα-cosα）2=，
∵0°＜α＜45°，
∴＜cosα＜1，0＜sinα＜，
∴sinα-cosα＜0，
∴sinα-cosα= －．
故选：B．
【点睛】
本题考查同角的三角函数的关系，利用好sin2α+cos2α=1，并求出sinα-cosα＜0是解题的关键．
6、C
【分析】根据程序框图，计算，直至计算结果大于等于10即可．
【详解】当时，，继续运行程序，
当时，，继续运行程序，
当时，，输出结果为42，
故选C．
【点睛】
本题考查利用程序框图计算代数式的值，按照程序运算的规则进行计算是解题的关键．
7、A
【分析】根据“同弧所对圆周角相等”以及“等角的余角相等”即可解决问题①，运用相似三角形的判定定理证明△EBC∽△BDC即可得到②，运用反证法来判定③即可.
【详解】证明：①∵BC⊥AB于点B，
∴∠CBD+∠ABD=90°，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CBD=∠BAD，
∵∠BAD=∠CEB，
∴∠CEB=∠CBD，
故①正确；
②∵∠C=∠C，∠CEB=∠CBD，
∴△EBC∽△BDC，
∴，
故②正确；
③∵∠ADB=90°，
∴∠BDF=90°，
∵DE为直径，
∴∠EBD=90°，
∴∠EBD=∠BDF，
∴DF∥BE，
假设点F是BC的中点，则点D是EC的中点，
∴ED=DC，
∵ED是直径，长度不变，而DC的长度是不定的，
∴DC不一定等于ED，
故③是错误的.
故选：A.
【点睛】
本题考查了圆周角的性质，余角的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定等知识，知识涉及比较多，但不难，熟练掌握基础的定理性质是解题的关键.
8、C
【解析】9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前4名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【详解】由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，
第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、极差、方差的意义，掌握相关知识点是解答此题的关键．
9、A
【分析】先写出的值，计算的值进行判断.
【详解】
方程有两个不相等的实数根
故选A
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，是常见考点，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，熟记公式并灵活应用公式是解题关键.
10、B
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向右平移一个单位所得直线解析式为：；
再向上平移2个单位为：，即．
故选B．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1．
【分析】用这批口罩的只数×合格口罩的概率,列式计算即可得到合格的只数．
【详解】2000×0.9＝2000×0.9＝1（只）．
故答案为:1．
【点睛】
本题主要考查了用样本估计总体,生产中遇到的估算产量问题,通常采用样本估计总体的方法．
12、-6
【分析】把方程左边配成完全平方，与比较即可.
【详解】，
，
，
可配方为，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查用配方法来解一元二次方程，熟练配方是解决此题的关键.
13、①④⑤⑥
【分析】①由抛物线的开口方向判断a与1的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与1的关系，然后根据对称轴位置确定b的符号，可对①作判断；
②令x＝－1，则y＝ a－b＋c，根据图像可得：a－b＋c＜1，进而可对②作判断；
③根据对称性可得：当x＝2时，y＞1，可对③对作判断；
④根据2a＋b＝1和c＞1可对④作判断；
⑤根据图像与x轴有两个交点可对⑤作判断；
⑥根据对称轴为：x＝1可得：a＝－b，进而可对⑥判作断．
【详解】解：①∵该抛物线开口方向向下，
∴a＜1．
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴b＞1；
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞1，
∴abc＜1；
故①正确；
②∵令x＝－1，则y＝ a－b＋c＜1，
∴a＋c＜b，
故②错误；
③根据抛物线的对称性知，当x＝2时，y＞1，
即4a＋2b＋c＞1；
故③错误；
④∵对称轴方程x＝－＝1，
∴b＝－2a，
∴2a＋b＝1，
∵c＞1，
∴2a＋b＋c＞1，
故④正确；
⑤∵抛物线与x轴有两个交点，
∴ax2＋bx＋c＝1由两个不相等的实数根，
∴＞1，
故⑤正确．
⑥由④可知：2a＋b＝1，
故⑥正确．
综上所述，其中正确的结论的有：①④⑤⑥．
故答案为：①④⑤⑥．
【点睛】
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，二次函数最值的熟练运用．
14、2﹣
【解析】根据平面向量的加减法计算法则和方程解题．
【详解】
故答案是．
【点睛】
本题主要考查平面向量，此题是利用方程思想求得向量的值的，难度不大．
15、-10
【解析】根据根与系数的关系得出-2+4=-m，-2×4=n，求出即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为x =-2,x =4，
∴−2+4=−m，−2×4=n，
解得：m=−2，n=−8，
∴m+n=−10，
故答案为：-10
【点睛】
此题考查根与系数的关系，掌握运算法则是解题关键
16、
【分析】同圆或等圆中，两弦相等，所对的优弧或劣弧也对应相等，据此求解即可.
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，
∴===,
∴的长等于⊙O周长的四分之一，
∵⊙O的半径为6，
∴⊙O的周长==，
∴的长等于，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了圆中弧与弦之间的关系，熟练掌握相关概念是解题关键.
17、10
【分析】
当∠ABO=90°时，点O到顶点A的距离的最大，则△ABC是等腰直角三角形，据此即可求解．
【详解】
解：∵
∴当∠ABO=90°时，点O到顶点A的距离最大．
则OA=AB=10．
故答案是：10．
【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，正确确定点O到顶点A的距离的最大的条件是解题关键．
18、a>或a<.
【分析】先确定抛物线的对称轴，根据开口的大小与a的关系，即开口向上时，a>0,且a越大开口越小，开口向下时，a<0,且a越大，开口越大，从而确定a的范围.
【详解】解：如图，观察图形
抛物线y=ax2-4ax+4的对称轴为直线 ,
设抛物线与直线l交点（靠近y轴）为(m,3)，
∵│m│<1，
∴-1<m<1.
当a>0时，若抛物线经过点（1，3）时，开口最大，此时a值最小，
将点（1，3）代入y=ax2-4ax+4，
得，3=a-4a+4
解得a= ,
∴a>;
当a<0时，若抛物线经过点（-1，3）时，开口最大，此时a值最大，
将点（-1，3）代入y=ax2-4ax+4，
得，3=a+4a+4
解得a= ,
∴a<.
a的取值范围是a>或a<.
故答案为：a>或a<.
【点睛】
本题考查抛物线的性质，首先明确a值与开口的大小关系，观察图形，即数形结合的思想是解答此题的关键.
三、解答题(共66分)
19、（1）y＝；见详解；（2）另一个交点的坐标是；见详解；（1）0<x≤1或x≤－1．
【分析】（1）根据题意可直接求出反比例函数表达式；
（2）由（1）及一次函数表达式联立方程组求解即可；
（1）根据反比例函数与一次函数的不等关系可直接求得．
【详解】解：(1)设反比例函数表达式为，由题意得：把A代入得k=1，
反比例函数的表达式为：y＝；
(2)由（1）得：把A代入，得k=1，，
，解得，
另一个交点的坐标是；
(1)因为反比例函数值不小于正比例函数值，
所以0<x≤1或x≤－1．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，关键是根据题意得到两个函数表达式．
20、（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据题意列表，然后写出点（m，n）所有可能的结果即可；
（2）点（m，n）所有可能的结果共有9种，符合n＝m的有3种，由概率公式即可得出答案．
【详解】解：（1）列表如下：
点（m，n）所有可能的结果为：（﹣2，﹣2），（﹣1，﹣2），（3，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣1，﹣1），（3，﹣1），（﹣2，3），（﹣1，3）（3，3）；
（2）点（m，n）所有可能的结果共有9种，符合n＝m的有3种：（﹣2，﹣2），（﹣1，﹣1），（3，3），
∴点（m，n）在函数y＝x的图象上的概率为：．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法、概率公式以及一次函数的性质等知识；列表得出所有结果是解题的关键．
21、（1）见解析；（2）1．
【分析】（1）先证∠AGD=∠B，再根据∠ADG=∠BEF=90°，即可证明；
（2）由（1）得∽，则△ADG面积与△BEF面积的比= =1．
【详解】（1）证：在矩形中，=90°
∴=90°
∵=90°
∴=90°
∴
在和中
∵,=90°
∴∽
（2）解：∵四边形DEFG为矩形，
∴GD=EF，
∵△ADG∽△FEB，
∴
故答案为1．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意证得△ADG∽△FEB是解答本题的关键．
22、（1）；（2）购进A产品6吨，购进B产品4吨，利润之和最大，最大为6.6万元
【分析】(1)由抛物线过原点可设y与x间的函数关系式为y=ax2+bx+c，再利用待定系数法求解可得；
(2)设购进A产品m吨，购进B产品(10−m)吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，根据：A产品利润+B产品利润=总利润可得W=−0.1m2+1.5m+0.3(10−m)，配方后根据二次函数的性质即可知最值情况．
【详解】解：(1)设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，
由图象，得抛物线过点(0,0)，(1,1.4)，(3,3.6)，
将三点的坐标代入表达式，
得,
解得
所以二次函数的表达式为y=−0.1x2+1.5x；
(2)设购进A产品m吨，购进B产品(10−m)吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，
则W=−0.1m2+1.5m+0.3(10−m)，
=−0.1m2+1.2m+3，
=−0.1(m−6)2+6.6，
∵−0.1<0，
∴∴当m=6时，W取得最大值，最大值为6.6万元，
答：购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，(2)中整理得到所获利润与购进A产品的吨数的关系式是解题的关键．
23、（1）50；（2）12；（3）.
【分析】（1）根据条形图和扇形图中打篮球的数据计算得出总人数；
（2）用总人数减去其他组的人数即可得到踢足球的人数；
（3）列表解答即可.
【详解】（1）本次调查抽取的学生人数为： （人），
故答案为：50；
（2）本次调查中喜欢踢足球人数为：50-5-20-8-5=12（人）；
（3）列表如下：
共有25种等可能的情况，其中两位同学抽到同一运动的有5种，
∴P(两位同学抽到同一运动的)= .
【点睛】
此题考查数据的计算，正确掌握根据部分计算得出总体的方法，能计算某部分的人数，会列树状图或表格求概率.
24、x1＝﹣，x2＝
【分析】由a≠0且a2﹣2a＝0，得a＝2，代入方程16x2﹣4ax+1＝3﹣12x，求得根即可
【详解】解：∵a≠0且a2﹣2a＝0，
∴a（a﹣2）＝0，
∴a＝2，
故方程16x2﹣8x+1＝3﹣12x，
整理得8x2+2x﹣1＝0，
（2x+1）（4x﹣1）＝0，
解得．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，正确理解题意.熟练掌握一元二次方程的解法步骤是解决本题的关键.
25、（1）详见解析；（2）详见解析
【分析】（1）连接AD，证明∠BAD＝∠CAD即可得出，则结论得出；
（2）在AE上截取EG＝CF，连接DG，证明△GED≌△CFD，得出DG＝CD，∠EGD＝∠C，则可得出结论△DBG∽△ABC．
【详解】（1）证明：连接AD，
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴，
∴DE＝DF．
（2）证明：在AE上截取EG＝CF，连接DG，
∵四边形AEDF内接于圆，
∴∠DFC＝∠DEG，
∵DE＝DF，
∴△GED≌△CFD（SAS），
∴DG＝CD，∠EGD＝∠C，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴△DBG∽△ABC，
即以线段BE+CF，BD，DC为边围成的三角形与△ABC相似．
【点睛】
本题考查了圆的综合问题，熟练掌握圆的内接四边形性质与相似三角形的判定是解题的关键．
26、（1）-1或2；（2）抛物线解析式为y=-x2+2x+2；（2）x＞2或x＜-1．
【分析】（1）直接观察图象，抛物线与x轴交于-1，2两点，所以方程的解为x1=-1，x2=2．
（2）设出抛物线的顶点坐标形式，代入坐标（2，0），即可求得抛物线的解析式．
（2）若y＜0，则函数的图象在x轴的下方，找到对应的自变量取值范围即可．
【详解】解：（1）观察图象可看对称轴出抛物线与x轴交于x=-1和x=2两点，
∴方程的解为x1=-1，x2=2，
故答案为：-1或2；
（2）设抛物线解析式为y=-（x-1）2+k，
∵抛物线与x轴交于点（2，0），
∴（2-1）2+k=0，
解得：k=4，
∴抛物线解析式为y=-（x-1）2+4，
即：抛物线解析式为y=-x2+2x+2；
（2）抛物线与x轴的交点（-1,0），（2,0），当y＜0时，则函数的图象在x轴的下方，由函数的图象可知：x＞2或x＜-1；
【点睛】
本题主要考查了二次函数与一元二次方程、不等式的关系，以及求函数解析式的方法，能从图像中得到关键信息是解决此题的关键．
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