山东省济宁2011高三数学第二次质检 理会员独享 .doc

济宁市第一中学
2011届高三数学第二次质量检测试题（理）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案涂在答题卡上）
1．已知全集，集合和的关系的韦恩图（venn）如图所示，则阴影部分所表示的集合是 （ ）
U
A
B
A．
B．
C．
D．
2．已知,是虚数单位，则在复平面中复数对应的点在 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．函数的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
A
D
B
C
4．亲爱的同学们，我们济宁一中西校区的大门蔚为壮观，有个学生想搞清楚门洞拱顶到其正上方点的距离，他站在地面处，利用皮尺量得米，利用测角仪测得仰角°，测得仰角后通过计算得到，则的距离为 （ ）
A．米
B．米
C．米
D．米
5．函数的零点个数为 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．下列命题错误的是 （ ）
A．对于等比数列而言，若，则有
B．点为函数的一个对称中心
C．若，向量与向量的夹角为°，则在向量上的投影为
D．“”的充要条件是“或（）”
7．在中，若有，则的形状是 （ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形或锐角三角形
8．已知O是平面上的一个定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足, ,则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心
1

2

9．在下表中，每格上填一个数字后，使得每一横行成等差数列，
每一纵列成等比数列，则的值为 （ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
10．设函数在定义域内可导,的图象如图所示,则导函
数可能为 （ ）
x
y
O
f(x)
x
y
O
A
x
y
O
B
x
y
O
C
x
y
O
D

A
B
x
x
x
11．函数为奇函数，该函数的部分图像如右图所表示，、分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填在答题纸的相应位置）
13．关于函数，在下列四个命题中：
①的最小正周期是；
②是偶函数；
③的图像可以由的图像向左平移个单位长度得到；④若，，则
以上命题正确的是_____________________________（填上所有正确命题的序号）
14．很难想象城市污水不经过处理我们的生活会变成什么样。若污水经过污水处理厂的“污水处理池”过滤一次，能过滤出有害物质的，若过滤次后，流出的水中有害物质在原来的以下，则的最小值为____________________（参考数据）．
15．若动直线与函数和的图像分别交于、两点,则线段的最大值为________________．
16．已知函数满足：①;②。则
_____．
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。
17．（本小题满分12分）
已知关于的不等式对任意恒成立；
，不等式成立。
若为真，为假，求的取值范围。
18．（本小题满分12分）
已知向量。
（1）若，求；
（2）若函数的图像向右平移（）个单位长度，再向下平移3个单位后图像对应的函数是奇函数，求的最小值。
19．（本小题满分12分）
在中，内角，，的对边分别为，已知，
（1）求的值；
（2）设，求的值．
20．（本小题满分12分）
已知点在直线上，其中
（1）若，求证：数列是等差数列；
（2）若，求数列的前项和。
21．（本小题满分12分）
已知 一个边长为的正方形
（1）如图甲，以为圆心作半径为的圆弧与正方形交于、两点，在上有一动点，过作,求矩形面积的最小值；
（2）如图乙，在正方形的基础上再拼接两个完全相同的正方形，求。
A
B
C
D
E
F
（图甲）
A
B
C
D
（图乙）
G
H
P
M
N

22．（本小题满分14分）
已知，函数。
（1）若函数在处的切线与直线平行，求的值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）在（1）的条件下，若对任意，恒成立，求实数的取值组成的集合。
参考答案
一、选择题：
1．解：易知，，所以，故选C
2．解：，所以该复数对应的点在第一象限。故选 A．
3．解：，令，所以，易得该函数的最小值为,故选 B．
4．解：设，则，，在中应用正弦定理得
，即，所以，即，所以，即，所以。故选C
5．解：“函数的零点个数”问题等价于“方程解得个数问题”，。因为，画出与的草图可知道有3个交点，故选 C．
6．解：根据射影定义则在向量上的射影应该为。故选 C．
7．解：由得，
所以，所以，则，所以的形状是直角三角形，故选 B．
8．解：设边的中点为，由知道，即，所以，又因为，所以动点P的轨迹一定通过△ABC的重心。
9．解：由已知；第1行的各个数依次为：；第2行的各个数依次为所以，所以，故选 A．
10．解析：从的图象可以发现只有两个极点不妨设为，因此应该只有两个根分别，所以把选项A、C排除．从原函数的图象看出在区间上是增函数，；在区间上原函数是增函数，；在区间上原函数是减函数，；在区间 上原函数是增函数，，所以应该选 D．
11解：因为为奇函数，所以，
A
B
x
x
x
C
因此，在下图的
中，
，，，所以，
因此，所以，
把代入得，
所以是一条对称轴．故选 C．
12．解：“对任意，存在，使得”等价于在上的最小值不大于在上的最小值”，即，所以。因此实数的取值范围是,故选 A．
二、填空题：
13．解：，易知②，④为正确命题
14．解：设原有有害物质为，则过滤次后有害物质还有 ，令，所以，，所以的最小值为
15．解：因为，所以
16．解：由已知得，，，，，，
所以，
，
所以。
三、解答题：
17．解：关于的不等式对任意恒成立，即在上恒成立。由于在上是增函数，所以，要保证在上恒成立，只要即可，所以。
因为在上是增函数，在上也是增函数，且，所以在上是增函数，因此不等式等价于，所以或。
若为真，为假，所以与一真一假，
若真假，应有所以；
若假真，应有所以；
因此的范围是且。
18．解：因为，所以，
所以，，所以。
因为，
所以
（2）函数的图像向右平移个单位长度后所对应的函数为，再向下平移1个单位得到，
是奇函数当且仅当，因为，所以，因此当时，取到最大值为。
19．解：（1）由得到，，于是
又因为，由正弦定理得，
因此
（2）由，得，由，可得即，，
由余弦定理得，
所以，因此．
20．解：（1）因为点在直线上，所以，
所以，，即，所以数列是等差数列
（2）因为，由（1）知数列是以为首项，以为公比的等差数列，
所以，即，所以，因此
，①
，②
①式②式得：
所以。
21．解：（1）设，则，所以矩形的面积，令
，所以，
因为，，所以，因为在上是减函数，所以当，
即当时，
（2）说明：本题入口较宽，可以利用三角恒等变换也可以利用向量来解决。
法1：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立坐标系，则，，，，
所以
法2：
所以，
因为为锐角，所以
22．解：（1），因为函数在处的切线与直线平行，所以，即，，所以或。
又因为，所以。
（2）函数的定义域为，在定义域上
,
①当时，。
当或时，；
当时，。
因此函数的单调增区间是和，减区间是。
②当时，。
当或时，；
当时，。
因此函数的单调增区间是和，减区间是。
③当时，，（只在处等于0），
所以函数在定义域上是增函数。
（3）当时，，由（2）知该函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增。因此在区间上，最小值只能在与中取到。
，
因为在上单调递减，，
所以，所以，
因此在区间上的最小值是，
若要保证对任意，恒成立，应该有，即，解得，因此实数的取值组成的集合是。