数学必修I模块综合测评二附答案 .doc

模块综合测试
一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.集合P={x||x|＜2}，Q={x+x＜2}则（ ）
∩∩Q=［0，2］
Q
思路解析:集合P和集合Q都是不等式的解集,要想确定集合P和集合Q的关系或求它们的交集,就要分别化简集合P和Q，然后再求P∩Q，判断两个集合P和Q的关系.
解：P={x|-2＜x＜2}，Q={x|0≤x＜4},∴P∩Q=［0,2)，因此，B正确；所以A错误；P∩Q≠Q，所以C错误；P∩Q≠P，所以D错误.
答案：B
2.(2006天津高考理)设集合M={x|0＜x≤3＝，N={x|0＜x≤2＝，那么“a∈M”是“a∈N”的（ ）
答案：B
3.(2006四川高考)已知集合A={x|x2-5x+6≤0}，集合B={x||2x-1|＞3}，则集合A∩B=（ ）
A.{x|2≤x≤3} B.{x|2≤x＜3}
C.{x|2＜x≤3} D.{x|-1＜x＜3}
解析：A={x|2≤x≤3}，B={x|x＜-1或x＞2＝，
∴A∩B={x|2＜x≤3＝}.
答案：C
4.设f是从集合A到集合B的映射，下列四个说法，其中正确的是（ ）
①集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之对应 ②集合B中的每一个元素在集合A中也都有元素与之对应 ③集合A中不同的元素在集合B中的对应元素也不同 ④集合B中不同的元素在集合A中的对应元素也不同
A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④
思路解析：根据映射的定义，从集合A到集合B的映射f，只要求集合A的每一个元素在集合B中都有“唯一”“确定”的元素与之对应即可.即集合A中不同的元素在集合B中的对应元素可以相同，也没有要求集合B中的元素在集合A中都要有对应元素.
解：①符合映射的定义，∴正确；映射的定义不要求集合B中的元素在集合A中都要有对应元素，∴②不正确；集合A中不同的元素在集合B中的对应元素可以相同，∴③不正确；④正确.∵如果集合B中不同的元素在集合A中的对应元素相同，那么就违背了映射定义的“唯一”性原则.综上，①和④正确，因此，选D.
答案：D
5.下列各图中，可表示函数y=f(x)的图象的只可能是（ ）
思路解析：判断一幅图象表示的是不是函数的图象，关键是在图象中能不能找到一个x对应两个或两个以上的y，如果一个x对应两个以上的y，那么这个图象表示的就不是函数的图象.
A的图象表示的不是函数的图象，∵存在一个自变量x的取值(如:x=0)有两个y与之对应，不符合函数的定义.因此A不正确；B的图象是关于x轴对称也不符合函数的定义.因此B也不正确；C的图象是关于原点对称，但是当自变量x=0时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义.∴C选项也不正确；D表示的图象符合函数的定义，因此它表示的是函数的图象.因此，选D.
答案：D
6.下列各等式中，正确的是（ ）
A.=|a| B.
0=1 D.
思路解析：要想判断等式是否正确，首先要使等式两边都有意义，然后计算两边的值，如果相等则正确，如果不相等，则不正确，在计算时要充分应用幂的运算法则.
解：=|a|，由于不知道a的符号，因此A不正确；∵＞0，＜0,∴≠.因此B不正确；如果 a=0，则a0没有意义，因此C也不正确；∵＞1,∴=.
∴D正确.因此，选D.
答案：D
7.已知二次函数图象的对称轴是x=2，又经过点（2，3），且与一次函数y=3x+b的图象交于点（0，-1），则过一次函数与二次函数的图象的另一个交点的坐标是（ ）
A.（1，2） B.（2，1） C.（-1，2） D.（1，-2）
思路解析：要想求两个函数图象的交点的坐标，首先必须求出两个函数的解析式，然后将解析式联立方程组，方程组的解就是两个函数图象交点的坐标.
已知二次函数图象的对称轴为x=2，且又经过点（2，3），则二次函数图象的顶点为（2，3），设二次函数为y=a（x-2）2+3；把（0，-1）代入，得a=-1，
∴y=-x2+4x-1①再把（0，-1）代入y=3x+b，得b=-1，
∴y=3x-1②，
联立①②得
消去y，得x2-x=0，
∴方程组的解为或，
因此，所求另一个交点坐标为（1，2），故选A.
答案：A
8.某一种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价（ ）
A.10% B.9% C.11% D.1119%
思路解析：如果设现价为a，那么是在a的基础上降价10%,如果设降价10%后的价格为b,则欲恢复原价应该在b的基础上恢复.应用公式：b=a(1-10%).若设应提价x%才能恢复原价.则a=b(1+x%).
设提价x%，则a（1-10%）（1+x%）=a，
∴x=.因此,选D.
答案：D
9.函数y=的值域是（ ）
A.{x|0<x<1} B.{x|0<x≤1}
C.{x|x>0} D.{x|x≥0}
思路解析：求值域要在定义域中求，本题中函数的定义域为R，∴要求值域就要对函数解析式进行变形，由于分子和分母的“次数”相同，因此想到部分分式法.或者根据指数函数y= 2x的值域为正，即2x＞0来求解.
解法一：因此y==1-.
又∵2x+1＞1,∴0＜＜1,∴0＜y＜1.
因此，选A.
解法二：由2x=＞0，
得0＜y＜1.因此，选A.
答案：A
10.以下命题正确的是（ ）
①幂函数的图象都经过（1，1） ②幂函数的图象不可能出现在第四象限 ③当n=0时，函数y=xn的图象是一条直线 ④若y=xn（n<0）是奇函数，则y=xn在定义域内为减函数
A.②③ B.①② C.②④ D.①③
③要考虑全面，才能判断正确.
根据幂函数的性质，①正确；∵在幂函数中，当自变量为正时，函数值永远为正数，∴幂函数的图象不可能出现在第四象限，因此②正确；因此当x=0，n=0时，幂函数没有意义，∴③不正确；∵若y=xn（n＜0）是奇函数，则y=xn在定义域内为增函数，因此④也不正确.综上，选B.
答案：B
11.甲乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步到中点改为骑自行车，最后两人同时到达B地，又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，并且二人骑车速度均比跑步速度快.若某人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系可用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙各人的图象只能是（ ）
①，乙是图②①，乙是图④
③，乙是图②③，乙是图④
思路解析：从图象中可以看出，①③是先快后慢，②④是先慢后快，因此①③对应的是甲，②④对应的是乙，再根据“甲骑自行车比乙骑自行车的速度快”进行判断．
依题意得，①③对应的是甲，②④对应的是乙，而②中反映出来的自行车的速度是最快的，∴②不能是乙，因此，乙是图④；如果甲是图③，则与题设条件“甲骑自行车比乙骑自行车的速度快”矛盾，∴甲不是图③，∴甲是图①，因此，选B.
答案：B
12.已知集合A={m1,m2},B={n1,n2,n3},则从A到B的不同映射共有 …（ ）
思路解析：根据映射的定义，集合A中的这两个元素可以同时对应集合B中的同一个元素，也可以对应集合B中的不同的两个元素，据此将所有情况分类枚举出来即可.
当集合A中的两个元素同时对应集合B中的一个相同的元素时，有3种映射；当集合A中的两个元素与集合B中的不同的两个元素相对应时，有6种映射.∴一共有9种不同的映射.因此，选C.
答案：C
13.设函数f(x)=的定义域为{x|x≥-2}，则实数a的值为（ ）
A. B.0 C.
思路解析：当x=0时，f(x)=a，但f(x)=没有意义，也就是说方程“求当a取何值时，方程=a有增根”.
解：依题意得，方程=a有增根x=0.整理得，2+x=(ax+)2，∴x=0或a2x+2a-1=0，把增根x=0代入a2x+2a-1=0得2a-1=0，解得，a=.因此，选C.A、B、D三个选项是给考生设置的易选错的选项.
答案：C
14.已知对不同的a值，函数f(x)=2+ax-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P，则P点的坐标是（ ）
A.（0，3） B.（0，2） C.（1，3） D.（1，2）
思路解析：函数图象过定点，则函数解析式中含有待定系数（也叫参数）的“项”或“部分表达式”一定为常数，本题要想使ax-1为常数，且a取不同的值，因此要求x-1=0.从而得解.
答案：C
15.(2006北京高考，理)已知f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数，那么a的取值范围是（ ）
A.(0,1) B.(0,) C.［,) D.［,1)
思路解析：当x＜1时，f1(x)=(3a-1)x+4a为减函数，需3a-1＜0，
∴a＜ ①
当x≥1时，f2(x)=logax为减函数，需0＜a＜1. ②
又函数在（-∞,+∞）上为减，则需［f1(x)］min≥［f2(x)］max,即f1(1)≥f2(1)代入解得a≥
③
①②③取交集，
∴≤a＜.
答案：A
二、填空题(本题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上)
16.已知函数f(x)=的定义域是F，函数g(x)= log12(2+x-6x2)的定义域是G，全集U=R，那么F∩G=____________________.
思路解析：本题考查求一个函数的定义域以及在全集基础上的集合间的求“补”运算和集合间的求“交”运算,所以要分别求出集合F和G以及G的补集，最后求F∩G.
解：∵1-x2＞0,∴-1＜x＜1,∴F=(-1,1).
∵2+x-6x2＞0,∴-＜x＜,∴G=(-，),
∴G=（-∞,-）∪［,+∞］,
∴F∩G=(-1,-)∩［,1］.
17.①已知函数y=(x2-2x+a)定义域为R，则a的取值范围是_____________，②已知函数y=(x2-2x+a)值域为R，则a的取值范围是________________.
思路解析：两题乍一看似乎一样，但若仔细分析，其设问角度不同，解题方法也有区别.①对x∈R,x2-2x+a＞0恒成立，②由于当t∈(0,+∞)时,t∈R故要求x2-2x+a取遍每一个正实数,换言之,若x2-2x+a的取值范围为D,则(0,+∞)∈D.
①x2-2x+a=(x-1)2+a-1≥a-1,故只要a-1＞0则x∈R时,x2-2x+a＞0恒成立.因此，填a＞1；②x2-2x+a=(x-1)2+a-1≥a-1,故x2-2x+a的取值范围为［a-1, +∞］，要求(0,+∞) ［a-1, +∞)只要a-1≤0.因此，填a≤1.
答案：a＞1 a≤1
18.已知气压p（百帕）与海拔高度h(m)满足关系式 p=1 000，则海拔9 000 m高处的气压为________________百帕.
思路解析：本题是与物理学有关系的一道给定函数关系式的题目，关键是理解所给公式中的各个量的含义,尤其是是“9000”对应的字母要准确.
根据题意，得P=1 000=0.343.因此，填0.343.
19.设函数f(x)=+lnx在［1,+∞］上是增函数,则正实数a的取值范围是____________.
思路解析：本题是函数单调性知识的逆向应用，即已知函数单调性，确定函数解析式或解析式中的待定系数.此题用到函数的导数的性质，即增区间内函数的导数非负，减区间内的函数导数非正.
∴对函数进行求导后便可建立关于a的不等式.
解：f′(x)=≥0对x∈［1，+∞］恒成立，∴a≥对x∈［1,+∞）恒成立，
又≤1，∴a≥1为所求.
答案：a≥1
三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）
20.（1）某西瓜摊卖西瓜，6斤以下每斤4角，6斤以上每斤6角.请表示出西瓜重量x与售价y的函数关系.并画出图象.（6分）
（2）一班有45名同学，每名同学都有一个确定的身高，把每个同学的学号当自变量，每个同学的身高当函数值，如下列表,画出它的图象来.（6分）
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
…
y

…
思路解析：（1）要分情况表示.分成6斤以下,以上两种情况,这种函数叫分段函数.（2）这个问题中的自变量(学号)与变量(身高)有明确的对应关系，但这个对应关系无法用一个等式表示出来，我们采用列表法或图象法就比较简单.
解：（1）这个函数的解析表示应分两种情况：y=如图：
（2）图象法：
21.已知y=,a>0,a≠1,试把y+用含x的式子表示出来,并化简.（12分）
思路解析：此题把y+用含x的式子表示出来并不难，复杂的地方在于化简，由于在化简时涉及指数式的变换和分类讨论的使用.因此分类要细致，讨论要全面.
解：由y=,可知y2=(a2x+a-2x+2),y2-1=(a2x+a-2x-2)=(ax-a-x)2,
∴y+=+|ax-a-x|.
当x＞0时,若a＞1,则ax＞a-x,此时y+=ax,
若0＜a＜1,则ax＜a-x,此时y+=a-x.
当x=0时，y+=1.
当x＜0时，若a＞1,则ax＜a-x,此时y+=a-x,
若0＜a＜1,则ax＞a-x,此时y+=ax.
22.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在［0,+∞)上为减函数，若f()>f(2a-1)，求实数a的取值范围.（12分）
思路解析：本题的解题关键是如何使用已知条件f()＞f(2a-1)，即如何把这个已知条件转化成关于a的不等式，也就是把自变量“部分”“若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x)=f(|x|).”于是f(2a-1)=f(|2a-1|).
解：由f(x)是偶函数,且f()＞f(2a-1)等价于f()＞f(|2a-1|)，又f(x)在［0,+∞)上是减函数，
∴
解得a≤-1或a≥2.
23.已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)<-2x的解集为(1,3).
（1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式；（6分）
（2）若f(x)的最小值为负数，求a的取值范围.（6分）
思路解析：本题综合考查一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系及其性质，重点是互相之间的转化.在（1）中，通过不等式f(x)＜-2x的解集为(1,3)，用二次函数的标根式把不等式转化成函数，再根据韦达定理将问题转化成关于a的方程.在（2）中，既可以根据二次函数的最值公式将题意转化成不等式，也可以用配方法求最值.
解：（1）Qf(x)+2x＜0的解集为（1，3）.∴
f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a ①
由方程f(x)|+6a=0得ax2-(2+4a)x+9a=0 ②
∵方程②有两个相等的根，
∴Δ=［-（2+4a)］2-4a·9a=0，
即5a2-4a-1=0.解得a=1或a=-.
由于a＞0,舍去a=-.将a=1代入①得f(x)的解析式f(x)=x2-6x+3.
（2）由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a(x-)2-及a＞0,可得f(x)的最小值为-.
由题意可得，解得a＞0.
故当f(x)的最小值为负数时，实数a的取值范围是a＞0.
24.已知xy＜0，并且4x2-9y2=36.由此能否确定一个函数关系y=f(x)？如果能，求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由.（12分）
思路解析：4x2-9y2=36在解析几何中表示双曲线的方程，仅此当然不能确定一个函数关系y=f(x)，但加上条件xy＜0呢？看看y的值是否是唯一确定的.
解：xy＜0或
因为4x2-9y2=36,故y2=x2-4.
又x＞3;或x＜-3.
∴y=f(x)=
因此能确定一个函数关系y=f(x)．其解析式为y=f(x)=其定义域为(-∞，-3)∪(3，+∞)．且不难得到其值域为(-∞，0)∪(0，+∞)．
25.有一个人在他死后,只留下一千英镑的遗产,可令人惊讶的是,他竟留下一份分配几百万英镑的遗嘱,遗嘱的内容是这样的:“……一千英镑赠给波士顿的居民,他们得把这钱按每年5%的利率借给一些年轻的手工业者去生息,这款子过了100年后,用100 000英镑建立一所公共建筑物,剩下的继续生息100年,在第二个100年末,其中1 061 000英镑还是由波士顿的居民支配,而其余的3 000 000英镑让马萨诸州的公众来管理……”请你分析一下,这个人的遗嘱能实现吗？（14分）
“指数爆炸”的效应，微薄的资金,低廉的利率,在神秘的“指数爆炸”效应下,可以变得令人瞠目结舌,这就是富兰克林的故事给人的启示.
增加到131 000英镑,这笔款增加到4 061 000英镑,
解：让我们按富兰克林非凡的设想实际计算一下,故事中实际上是指数函数y=1 000(1+5%)x值的变化,不难算得,当x=1时,y=1 050,当x=3时y=1 158,当x=100时,y=1 000(1+5%)100≈131 501,这意味着上面的故事中在头一个100年末富兰克林的财产应当增加到131 501英镑,用100 000英镑建立一所公共建筑物后,还剩31 501英镑,在第二个100年末,他拥有的财产为y=31 501(1+5%)100≈4 142 421,其中1 061 000英镑还是由波士顿的居民支配,而其余的3 000 000英镑让马萨诸州的公众来管理,还剩81 421英镑.可见富兰克林的遗嘱在科学上是站得住脚的.遗嘱是能够实现的.