全国通用版高中数学第八章立体几何初步知识点汇总.pdf

(名师选题名师选题)全国通用版高中数学第八章立体几何初步知识点汇总全国通用版高中数学第八章立体几何初步知识点汇总 单选题 1、紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的容积约为（）A100cm3B200cm3C300cm3D400cm3 答案：B 分析：根据题意可知圆台上底面半径为 3，下底面半径为 5，高为 4，由圆台的结构可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为，所以4=610，求出的值，最后利用圆锥的体积公式进行运算，即可求出结果.解：根据题意，可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，圆台上底面半径为 3，下底面半径为 5，高为 4，可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为，所以4=610，解得：=10，则大圆锥的底面半径为 5，高为 10，小圆锥的底面半径为 3，高为 6，所以该壶的容积=13 52 10 13 32 6=1963 2003.故选：B.2、已知直线a与平面,，能使/的充分条件是（）,/,/,/,ABCD 答案：D 解析：根据线面的平行关系，结合相关性质，逐个分析判断即可得解.对，若 ,，垂直于同一个平面的两个平面可以相交，故错误；对，若/,/，则/，平面的平行具有传递性，故正确；对，若/,/，平行于同一直线的两平面可以相交，故错误；对，,，垂直于同一直线的两平面平行，故正确.综上：正确，故选：D.3、九章算术 商功中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑如图，在鳖臑ABCD中，AB平面BCD，ACCD，ACBCCD2，当BCD的面积最大时，鳖臑ABCD的表面积为（）A3+62B3+62C2+3+62D3+3+62 答案：D 分析：根据题意可证明 ，从而说明三角形BCD是直角三角形，求得，进而求得四个直角三角形的面积，可得答案.由题意可知：AB平面BCD，平面BCD，故AB,又ACCD，=,平面ABC，故 平面ABC，平面ABC，故 ,所以=12 12(+2)2=12,当且仅当=1时取得等号，故=1+1=2,由AB平面BCD，可知 ,故=2 2=4 1=3,所以=12 =62,=12 =32,=12 =12,=12 =1,所以鳖臑ABCD的表面积为62+32+12+1=3+3+62，故选：D 4、如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形为截面，长方形为底面，则四边形的形状为（）A梯形 B平行四边形 C可能是梯形也可能是平行四边形 D矩形 答案：B 解析：利用面面平行的性质判断与的平行、与平行.因为平面/平面,且平面 平面=,平面 平面=,根据面面平行的性质可知/,同理可证明/.所以四边形为平行四边形.故选：B.小提示：本题考查长方体截面形状判断，考查面面平行的性质应用，较简单.5、若直线 平面，直线 平面，则直线a与直线b的位置关系为（）A异面 B相交 C平行 D平行或异面 答案：C 解析：利用线面垂直的性质定理进行判断.由于垂直于同一平面的两直线平行，故当直线 平面，直线 平面时，直线与直线平行.故选：C.6、过半径为 4 的球表面上一点作球的截面，若与该截面所成的角是30，则到该截面的距离是（）A4B23C2D1 答案：C 分析：作出球的截面图，根据几何性质计算，可得答案.作出球的截面图如图：设A为截面圆的圆心，O为球心，则 截面，AM在截面内，即有 ，故=30,所以=4 12=2,即到该截面的距离是 2，故选：C 7、在正方体 1111中，三棱锥 11的表面积为43，则正方体外接球的体积为（）A43B6C323D86 答案：B 解析：根据三棱锥的表面积进一步求出正方体的棱长，最后求出正方体的外接球的半径，进一步求出结果 解：设正方体的棱长为，则11=1=1=1=1=2，由于三棱锥 11的表面积为43，所以=41=4 1232(2)2=43 所以=2 所以正方体的外接球的半径为(2)2+(2)2+(2)22=62，所以正方体的外接球的体积为43 (62)3=6 故选：小提示：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.8、设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为（）A若 ,，则 B若 ,，则 C若 ,，则 D若 ,，则 答案：B 分析：在正方体中取直线和平面可排除 ACD，由线面垂直的性质可得 B 正确.在正方体 中，记底面ABCD为，EF为m，EH为n，显然 A 不正确；记底面ABCD为，EF为m，平面CDHG为，故排除 C；记底面ABCD为，BF为m，平面ABFE为，可排除 D；由线面垂直的性质可知 B正确.故选：B 9、如图所示的是平行四边形所在的平面，有下列表示方法：平面；平面；平面；平面；平面.其中不正确的是（）ABCD 答案：D 解析：根据平面的表示方法判断 中不为对角线，故错误；中漏掉“平面”两字，故错误.故选：D.10、在正方体 1111中，P为11的中点，则直线与1所成的角为（）A2B3C4D6 答案：D 分析：平移直线1至1，将直线与1所成的角转化为与1所成的角，解三角形即可.如图，连接1,1,，因为1 1，所以1或其补角为直线与1所成的角，因为1平面1111，所以1 1，又1 11，1 11=1，所以1平面1，所以1，设正方体棱长为 2，则1=22,1=1211=2，sin1=11=12，所以1=6.故选：D 11、如图所示，在三棱柱 111中，侧棱1底面111，=90，=1=1，D是棱1的中点，P是AD的延长线与11的延长线的交点，若点Q在线段1上，则下列结论中正确的是（）.A当点Q为线段1的中点时，平面1 B当点Q为线段1的三等分点时，平面1 C在线段1的延长线上，存在一点Q，使得 平面1 D不存在DQ与平面1垂直 答案：D 分析：依据线面垂直性质定理，利用反证法即可否定选项 ABC；按照点Q为线段1的中点和点Q不为线段1的中点两种情况利用反证法证明选项 D 判断正确.连接1，交1于H 在三棱柱 111中，侧棱1底面111，=1=1，则四边形11为正方形，则1 1 又=90，即 ，又1，1=，1面11，面11 则 面11，则 1 又1 1，1 =，1面1，面1 则1 面1，选项 A：当点Q为线段1的中点时，又 D是棱1的中点，则/1 若 平面1，则1平面1 又1 面1，则面1/平面1，这与1 1=矛盾，故假设不成立，即当点Q为线段1的中点时，平面1不正确；选项 B：当点Q为线段1的三等分点时，又 D是棱1的中点，则/1不成立，即与1为相交直线，若 平面1，则 1 又1 1，与1为相交直线，1面1，面1 则1 面1，又1 面1，则面1/面1 这与面1 面1=1矛盾，故假设不成立，即当点Q为线段1的点三等分时，平面1，不正确；选项 C：在线段1的延长线上一点Q，又 D是棱1的中点，则/1不成立，即与1为相交直线，若 平面1，则 1 又1 1，与1为相交直线，1面1，面1 则1 面1，又1 面1，则面1/面1 这与面1 面1=1矛盾，故假设不成立，即在线段1的延长线上，存在一点Q，使得 平面1不正确；选项 D：由选项 A 可知，点Q为线段1的中点时，平面1不成立；假设点Q在线段1上，且不是中点，又 D是棱1的中点，则/1不成立，即与1为相交直线，若 平面1，则 1 又1 1，与1为相交直线，1面1，面1 则1 面1，又1 面1，则面1/面1 这与面1 面1=1矛盾，故假设不成立，即点Q在线段1上，且不是中点时，平面1不正确；故不存在DQ与平面1垂直.判断正确.故选：D 12、在三棱锥 中,分别是,边的中点，且 ，则四边形是（）A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形 答案：B 分析：根据中位线的性质及平行公理可得四边形是平行四边形，再利用 可得四边形是矩形.因为,分别是,边的中点，所以/,/，所以/；同理可得/，所以四边形是平行四边形；又因为 ，所以 ，即四边形是矩形.故选：B.填空题 13、我国古代数学名著九章算术对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱 111，其中 ，若1=1，当“阳马”即四棱锥 11，体积最大时，“堑堵”即三棱柱 111的表面积为_.答案：3+222 分析：依据均值定理去求四棱锥 11取体积最大值时的长度，再去求三棱柱 111的表面积即可.四棱锥 11的体积是三棱柱体积的23，111=12 1=12 14(2+2)=142=14，当且仅当=22时，取等号.所以三棱柱 111的表面积为=2 122222+(22+22+1)1=3+222.所以答案是：3+222 14、已知四棱锥 的底面是矩形，其中=1,=2，侧棱 底面，且直线与所成角的余弦值为255，则四棱锥 的外接球表面积为_.答案：6 分析：利用异面直线所成的角可求的长度，将四棱锥补成长方体后可求外接球的直径，从而可求外接球的表面积.如图，因为/，故或其补角为异面直线与所成的角，因为 平面，平面，故 ，故为锐角，故cos=255，故=2255=5，故=1.将该四棱锥补成如图所示的长方体：则该长方体的外接球即为四棱锥的外接球，其直径为1+1+4=6，故表面积为42=(2)2=6.所以答案是：6.15、如图，在多面体ABCDEF中，DE平面ABCD，ADBC，平面BCEF平面ADEFFE，BAD45，AD3，AB2DE2EF2，则四棱锥BADEF的体积为 _ 答案：223#232 分析：由已知证明，可得，利用等体法求 的体积，进一步可得四棱锥 的体积 因为，平面，平面，所以 平面，因为 平面，平面 平面=，所以，所以，因为=3,=1，所以=12 3 1=32，=12(1+3)1=2，所以=232=43，即=43，因为 平面，所以是三棱锥 的高，因为=45,=2,=3，所以=12 3 2 22=322，所以=43=4322=223，所以答案是：223 16、设，是两条不同的直线，是两个不重合的平面，给定下列四个命题：若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则/；若 ，/，则/其中真命题的序号为_ 答案：分析：由直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判断即可.解：由线面垂直的判定定理可得，若要使 ，则要垂直中的两条相交的直线，通过分析，只垂直来中的一条直线，故不能做出判断，故错误；根据面面垂直的判定定理可得，若 ，则 ，故正确；由线面垂直的性质定理可得，两条不同的直线都垂直同一个平面，则这两条直线必平行，故正确；由面面平行的性质定理可得，只有若 ，/，不能得出/，如果加上条件,在同一平面内，则可得线线平行，故错误，所以答案是：17、表面积为 81 的球，其内接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是 7，则这个正四棱柱的底面边长为_ 答案：4 分析：先判断出正四棱柱的体对角线即为球的直径，利用球的表面积求出球的半径，再由勾股定理求边长即可.由题意知：正四棱柱的体对角线即为球的直径，设球的半径为，则42=81，解得=92，设正四棱柱的底面边长为，则2+2+72=2，解得=4.所以答案是：4.解答题 18、如图，四棱锥 的底面是平行四边形，底面，=90，=2 (1)证明：ACCD；(2)若E是棱PC的中点，求直线AD与平面PCD所成的角 答案：(1)证明见解析(2)6 分析：（1）由线面垂直得到 ，再由=90得到 ，即可证明 平面，从而得到 ；（2）由 平面，即可得到 ，再由等腰三角形三线合一得到 ，即可得到 平面，则即为直线与平面所成的角，再根据锐角三角函数计算可得；(1)证明：因为 底面，底面，所以 ，因为=90，所以 ，=，,平面，所以 平面，因为 平面，所以 (2)解：由（1）平面，,平面，所以 ，因为=2，为的中点，所以 ，因为 =，,平面，所以 平面，所以即为直线与平面所成的角，因为=2，所以=2+2=22，=2+2=22，所以=12=2，所以sin=222=12，因为 (0,2)，所以=6，即直线与平面所成的角为6；19、如图，是正方体 1111的棱的1延长线上的一点，是棱，的中点，试分别画出：(1)过点，的平面与正方体表面的交线；(2)过点，1的平面与正方体表面的交线.答案：(1)答案见解析(2)答案见解析 分析：（1）连接，交11于点，连接，交11于点，从而可得到过点，的平面为平面；（2）根据基本性质三：若两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，即可作出平面与正方体表面的交线；(1)连接，交11于点，连接，交11于点，连接,，则过点，的平面为平面，过点，的平面与正方体表面的交线分别为：，.(2)延长，交的延长线于点 Q，延长，交的延长线于点，连接1交1于点，连接1交1于点，连接,，则过点，1的平面为平面1，过点，1的平面与正方体表面的交线分别为：1，1.20、如图，在长方体 1111中，=1,=2，E，F，Q分别为,1,的中点，求证：平面/平面1 答案：证明见解析 分析：通过条件分别证明 平面1，平面1两组线面平行，从而证出面面平行即可.因为E是的中点，Q是的中点，所以=,，所以四边形是平行四边形，所以 又因为 平面1,平面1，所以 平面1 又因为F是1的中点，所以 1，因为 平面1,1 平面1，所以 平面1 因为 =,平面,平面，所以平面 平面1