台湾金融市场最适衰退因子研究.docx

台灣金融市場最適衰退因子研究

Searching EWMA Optimal Lambda in Taiwan Financial Market

莊益源1 蔡子晧2

1國立中正大學財務金融系副教授
2國立台灣大學財務金融研究所博士生

【摘 要】

在眾多的風險值模型中，JP Morgan的RiskMetrics可以說是市場的標竿模型，其核心是指數加權移動平均法。此模型僅僅需要一個參數的輸入，稱為衰退因子，或l，就可以用來估計並更新變異數-共變異數矩陣。依據RiskMetrics技術手冊的報告，如果是日資料，l為0.94，如果是月資料則l為0.97。這些數據事實上是以美國為主要市場的480個資產所估計而來的，並且許多的學者也直接採用這些數據而並不加以估計。但是，在臺灣的市場使用以上的數據是合理的嗎？臺灣市場的最佳衰退因子應該是多少？如果我們找到最佳的衰退因子，是否可以增加風險值的準確度？本文中我們依據臺灣市場的資料，進行一系列的實證研究以探討以上的問題。

關鍵詞： 指數加權移動平均法、最適衰退因子、風險矩陣、風險值
Key Words：EWMA, Optimal lambda, RiskMetrics, Value at Risk

1國立中正大學財務金融系副教授，嘉義民雄621，Tel：[phone]轉34211，E-mail:[e-mail]。
2國立台灣大學財務金融研究所博士生。Tel：[phone]，E-mail:[e-mail]
壹、 前 言

隨著計算科學的進步與預測方法的推陳出新，人們對「風險」賦予較佳的經濟意涵與更合理的估計，風險值(Value at Risk，簡稱VaR)即是風險測度的一個代表。它不啻是揭露風險部位資訊的新工具，其異於傳統風險管理工具的邏輯思維，數年間已散佈在各個領域，可謂正經歷一場風險模型的革命，舉凡公司理財、投資、衍生性金融商品、風險管理與保險等各領域，都看得到其引申與運用。

關於風險值方面的研究，近年來在模型的修正改進、實證、測試、應用、與法規上的探討等各方面的文獻如雨後春筍，快速的成長。值得一提的是JP Morgan所發展的風險控管系統RiskMetrics，這系統目前已經成為學術界與業界的標竿(benchmark)。學術界以此作為改進修正或比較的對象；而同業競爭者也以此作為批評的目標。目前JP Morgan的風險值技術手冊，已經發行100,000本，各方每月持續從JP Morgan的網站下載約1,000份，而其相關的資料庫每月被下載約6,000次(註註 Mina and Xiao (2001)。
)。RiskMetrics的基本運算模型是指數加權移動平均(Exponentially Weighted Moving Average，簡稱EWMA)。EWMA模型由於JP Morgan的推展，因此非常的普遍有名，其功用是估計更新資產報酬的變異數—共變異數參數，並且由於參數的不穩定特徵(註註 Rowe（2001,August,Risk p.92）稱這種現象為二階的不確定性（second order uncertainty），而這種現象是社會科學與自然科學不一樣的地方，也是社會科學模型的困難之處。
)，在理論上模型的估算值通常也必須常常校準(Calibration)以反應市場的情況。

在波動率的預測上，通常市場上最近的訊息比遠久以前的訊息來的重要，但是移動平均法(Simple Moving Average，簡稱SMA)因為所有的資料點所指派的權重是一樣的，所以無法反應此一現象，而EWMA的設計，就是為了捕捉這種現象。EWMA的觀念非常的簡單，越近的資料，所給的權重就越大。另一方面，在樣本中如果有異常值存在，其影響也會隨著視窗的移動而漸漸減少，幽靈特徵也比較不明顯。在實證的研究方面，許多的報告指出EWMA確實優於SMA法(Tse, 1992)，如果與較複雜的模型如GARCH模型或蒙地卡羅模擬等相比，EWMA回溯測試的結果也未必較差，甚至於在其他多種方法相較之下，是屬於綜合表現較佳的(Boudoukh, Richardson and Whitelaw, 1997；Alexander and Leigh, 1997；Moosa and Bollen, 2002；李存修、陳若鈺，民國88)。

EWMA模型的參數只有一個，稱為衰退因子，或l。至於這個參數是如何得到的呢？RiskMetrics採用預測誤差的均方根(Root Mean Squared Errors，簡稱RMSE)為標準，以最佳化方法，來求算個別資產最佳的衰退因子。至於市場的最佳的l值，RiskMetrics則是由480個資產的最佳l值，再依RMSE的大小，分別指派不同的權重求得。計算的結果，日資料最佳的l值為0.94，月資料最佳的l值為0.97。國外的文獻，多直接引用這些數據，但也有許多的文獻也嘗試不同的l值作比較，譬如說，Hendricks (1996) 採用l = 0.94、0.97、0.99 三種參數值；Boudoukh, Richardson and Whitelaw (1998)以l = 0.97、0.99來測試其模型；Hull and White (1998)則使用l = 0.98。

在臺灣方面，財務會計準則委員會27號公報，建議採用風險值作為揭露市場風險的資訊，而風險值的相關研究，成長也相當快速。我們估計以碩博士論文而言，86年僅10篇相關文章，87年到90年則成長約有134篇，其中直接關於EWMA方法探討或比較的文章也高達30篇。雖然EWMA已是人人皆採用的標準方法，但衰退因子該如何選擇較少有文獻明確交代。過去文獻多數使用RiskMetrics的0.94或0.97，例如陳若鈺(民87)、楊宗庭(民90)、陳嘉平(民90)、陳文華、王佳真、吳壽山(民88)、廖益誠、林筠(民88)等；林潔珍(民89)估算七天期投資組合的風險值，選擇0.95；周忠賢(民89)則採GARCH所估計出來的參數取代EWMA的l及1-l的值，並提及l介於0.88至0.92之間；蒲建亨(民90)則是選用可使Kupiec的驗證指標最小者的l值；邱裕元(民86)針對不同天數的資產採用不同的衰退因子值，如0.91，0.94與0.97，比較其VaR估計的優劣，指出不同的衰退因子會影響風險值估計結果；陳彥如(民86)探討EWMA對亞太地區投資組合風險值之評估，提出使用EWMA應先做一段期間前測性的估算；僅認為l會因時間、國家、事件的發生而改變，且衡量期間長短不同也會影響衰退因子之數值。

綜觀上述文獻提及l的選取時，都不是直接估計參數值(註註 國內針對最佳衰退因子之研究，我們目前只發現沈大白、曾彥智（民90）曾估算台灣股價指數、與長中短期利率市場最佳衰退因子，它們分別為0.93、0.95、0.99與0.98。
)，或直接引用JP Morgan的外國數據，或言在某一區間結果無明顯差距，難免造成實證結果不具一致性，這原因主要是最適化求解衰退因子的運算過程龐雜，因此無法在短期內完成或非各研究探討主題，成本效益考量下便採主觀決定此參數值。然而，EWMA模型事實上就是IGARCH模型，從學術的角度來看，如果在台灣的市場直接採用JP Morgan的估計值，是說不過去的。這就如同將GARCH家族模型在美國市場所得到的參數直接應用在臺灣的市場上。但就務實的角度來看，如果直接採用JP Morgan的估計值應用在風險值的計算上，是否會造成太大的誤差呢？我們有沒有需要時常校準？

本文的研究目的，是針對學術界與業界的基準模型EWMA在臺灣市場上的實證研究。我們將詳實的計算各類金融商品、每項標的物資產的最適衰退因子，為台灣金融市場尋找一個最適衰退因子。並將計算出的衰退因子進行完整的回溯測試，探討採用台灣的衰退因子，或者是RiskMetrics的衰退因子有更佳的預測效果，抑或採用隨時校準的動態衰退因子(註註 動態衰退因子指隨著窗口移動一天便針對窗口內的資料估計一個最適衰退因子，因此每次估計的衰退因子不盡相同，且隨時間改變而改變，故稱動態之衰退因子。
)才是精確性最高的模型。我們以台灣股票市場上市公司、15個國家匯率與六個貨幣市場短中期利率的日報酬資料與月報酬資料為實證對象，實證結果顯示，台灣的金融市場的衰退因子日資料為0.91，月資料為0.94，這與RiskMetrics的衰退因子0.94與0.97是有差異的。然而，在風險值估計的精確度上，兩者的表現優劣並不明顯。在比較市場衰退因子與動態衰退因子精確度上，則是市場衰退因子表現優於動態的衰退因子。此二結果有助我們了解台灣市場衰退因子的特性與EWMA適用情況，供學界與業界決定衰退因子時的參考。

本文共分成四節，各節主要的內容如下：本節為第壹部分，是前言。第貳部分主要介紹RiskMetrics的 EWMA模型、衰退因子的估算與回溯測試方法，第參部分是實證結果與分析檢驗，最後，第肆部分為本文結論與後續建議。

貳、 風險值模型探討與研究方法

本節共分三小節，我們首先簡單地回顧風險值估計模型，主要介紹變異數-共變異數法。第二子節介紹波動率預測與RiskMetrics模型中衰退因子的估計方式，至於本研究所採用的回溯測試方法則在第三子節詳細介紹。

1. 變異數-共變異數風險值模型

計算風險值的方法可以簡單的歸納為兩大類型，第一類為有母數法，其核心是未來報酬率分配參數的掌握與估計，再利用這些參數，配合統計上機率分配臨界值的觀念來計算風險值。有母數法以變異數-共變數法(Variance-Covariance)為代表；第二類為無母數類型，捨棄報酬分配的假設，而以歷史分配取代未來的報酬分配，此方法以歷史模擬法為代表。以變異數-共變數法計算風險值時，先行假設標的物報酬是(條件)常態分配，關鍵點就落在於如何預測未來的波動率上，假設投資組合有n項資產，單一期資產報酬為Rn´1=[r1,r2,…rn]¢，權重為Wn´1= [w1,w2,…,wn]¢，共變數矩陣為Sn´n：

S =

則投資組合報酬率標準差sp為：

sp2 = W¢SW

此模型中由於資產報酬率呈常態分配，投資組合之報酬為各個資產的加權平均，也是常態分配，因此在特定信賴水準(1-a)下，投資組合的風險值VaRp為：

VaRp = Zasp = Za ()

(1)式中Za為對應於a的標準常態臨界值。信賴區間設為95﹪，表示在未來一百天中，資產或投資組合損失超過風險值的理論次數為五次;若信賴區間為99%，損失會超過風險值的次數則為一次。信賴水準的設定反映使用者對於風險的喜好程度，較高的信賴水準會產生較高的風險值。Jorion(2001)認為巴賽爾委員會設定99%的信賴水準乃是為了確保一個安全而穩固的財務系統，以保守性穩健為第一要務。這樣的設定未必符合所有使用者的需求，因為較高的信賴水準會產生較大的風險值，表示必須持有較多的資本準備以涵蓋可能的損失，降低了資本運用的效率。在選擇風險值的期間長度方面，Jorion(2001)認為時間長度的設定必須考慮到兩個因素—使用者的成本考量與風險值訊息充分之間的取捨。巴賽爾修正案(1995)則建議金融機構每隔兩週(十個營業日)作為風險值的報告週期。然而對於清算結算中心或期貨交易商而言，兩週未免過長，可以考慮每日更新風險值以確保在資訊上的時效性。兩週公佈一次風險值的成本較低，但更新訊息較慢，而每天公佈訊息的更新快速，但成本高。何種方法較合適得視使用者而定。值得一提的，當估計風險值期間為月以上時，可能會使資料不足；使用日資料時則可能造成參考的觀察期間過短，都是必須注意的問題。故巴賽爾修正案便建議金融機構在計算風險值時，至少需涵蓋一年的歷史資料量。

2. RiskMetrics模型

1994年時JP Morgan主席Weatherstone要求業務部門在每日營業結束之後，繳交一份公司暴露於市場波動風險之下的一頁報告。它的內容適用於多種金融資產，並能彙總投資組合面臨的所有風險成一簡單資訊—即可能損失的金額，以便組織內部人員快速的溝通，高階主管能迅速了解該部門(或投資組合)潛在的風險。而此報告是以一致性的衡量方法統合不同的風險部位，此方法即為風險值模型的前身。自1994年起，JP Morgan積極推動RiskMetrics模型，不僅將理論架構與數學方法撰寫成技術手冊，亦提供免費資料庫給使用者，該風險控管係採用指數加權移動平均法來估算波動率與風險值，因此文獻上亦稱此方法為RiskMetrics模型。

（1） 波動率估計
令st = 在t-1時估計的波動率，Yt-1 º 在 t-1時訊息之集合，EWMA模型假設報酬是條件常態分配 (Conditional Normal Distribution)：

rt|Yt-1 = st et 其中　et ~　f(0,1)

由於預期波動率st隨著時間而變動，EWMA模型可以捕捉波動率隨時間的變化。由此模型，我們可以看到，雖然報酬本身並非假設為常態分配，但是報酬除以預期的波動率(rt/st)卻是標準的常態分配f(0,1)。我們也可以這麼說，雖然報酬是非常態的，但是若考慮條件的機率分配，則報酬的機率分配卻是常態的。至於波動率如何估算呢？這裏我們整理出EWMA波動率估算方法的4種形式：

()
()
()
()

(2)式可以視為定義；(3)式可以由(2) 式化簡得到。在(3)式的形式中，我們看到EWMA對過去歷史資料權重的給法：過去的第i天，權重是(1-l)li-1，因此l越小，權重衰退越快；反之，l越大，衰退較慢。當l=1時，所有的資料權重都一樣。圖1所繪製的，是三種l值，0.90、0.94與0.97，和過去資料點權重的關係，由該圖可以清楚的看出，l越小真正使用的參考觀察值資料越少。我們若反覆迭代來重寫(3)式中的st，則可以得到(4)式。由於EWMA的波動率是屬於條件波動率，(4)式的表示法即是描述波動率過程的式子：預期的波動率與前一期的波動率與報酬有關。從這個式子也可以看出，l越大，下一期的預期波動率對市場報酬的反應越小；反之，l越小，對市場報酬的反應越快，此時最後的觀測值權重越大。(4)式在應用上非常的方便，只要給定s12，再依次加進r2迭代，就可以一步一步更新所有的波動率。(5)式為RiskMetrics的截點波動率。這個設計是由於我們的歷史資料並非是無窮盡的，因此必須找出一個截點作為初始的計算值。假設我們以過去N個資料點來估算，則在(2)式的分母部分可以化簡為：SNli-1= (1-lN)/(1-l)，即可以得到(5)式。

（2） 衰退因子決定
至於EWMA模型裏的l值應該如何來選取呢？一般而言，如果是應用在短期的預測上，應該選擇較小的l值，此時近期的資料點會得到較大的權重；反之，長期的預測應該選擇較大的l值，才能充分應用所有樣本的資訊。務實上，RiskMetrics是使用最小均方誤差法的原則，利用過去500天的資料，來求算個別資產最佳的l值(註註 請參考 RiskMetrics-Technical Document, p98。

)。考慮樣本期數為N，令表示在給定的l值下，所估計出來的變異數估計值。RMSE即在限制式0<l<1下，計算使樣本內變異數達到誤差最小時之l值：

()

以上所得到的最佳解，稱為最適衰退因子。(6)式中目標函式的設計，是一般預測模型的原則。將每個時間點的預測誤差平方，再加總起來並將加總結果開平方根。這個目的一方面是為了修正誤差的正負符號，除此之外，取平方使得較大的誤差所產生的目標值越大。

(6)式是計算某資產或風險因子的衰退因子，考慮市場上數個資產或風險因子，我們可以進一步計算整個市場代表性的衰退因子。首先依(6)式先求出各資產與風險因子的最適衰退因子，再以加權的方式就可以得到市場的最適衰退因子。加權方式如下:令tj表示第j個資產的RMSE，P為所有資產RMSE的加總：

()

各資產誤差相對比重qj可以計算如下：

()

接下來定義衰退因子的權重：

，其中 ()

最後計算市場的衰退因子：

l = ()

RiskMetrics稱此加權法為誤差加權法，該系統並依此步驟取23個國家(不含台灣)的股價、外匯、五年期swaps rate、十年期的零息債券、與一年期的貨幣市場利率，求算各個資產的最適衰退因子後，採誤差加權平均，計算的結果日資料l=0.94，月資料l=0.97。這統一、固定的市場衰退因子，是非常便利的，使用者可以避免每次應用EWMA時，都因資產的不同而必須重新計算衰退因子。然而衰退因子是否會因時間的變化而產生大幅的變動？不同資產採相同的衰退因子，其誤差是否在可以接受程度？RiskMetrics的衰退因子是否在臺灣仍然為最佳的選擇？以上的問題都需要進一步以實際資料來檢驗。

3. 回溯測試法

回溯測試的目的是檢驗風險值模型的正確性。以下我們介紹常見的測試方法，分別為超限比率、二項分配檢定、區間預測、與漏損函數。

（1） 超限比率
最簡單的回溯測試是計算實際報酬超過估計風險值水準的出界次數。其計算方式是以EWMA公式預測下一期的波動率，再依變異數-共變數法求出風險值並與實際報酬進行比較，紀錄是否發生超界情形；在所有觀察期間下重複此步驟，可得一累計超界次數，將觀察期間內累計的超界次數加總除上觀察期間長度即是超限比率。理論上當模型預測準確且試行次數夠多時，此比率會接近吾人所設定的a。其他情況不變下，以信賴水準95%（a=0.05）、1日的預期期間來計算風險值，則資產或投資組合在未來的一百天中樣本的損失超過風險值的總次數應該接近5次。將理論超限比率與風險值所代表的實證超限比率相比較，風險管理者可以檢視風險值模型是否適當。如果超限比率大於理論的比率，則表示模型低估了風險；如果超限次數小於理論的比率，則表示可能持有過多的準備金，資本的配置較不具效率。

（2） 二項分配檢定（無條件測試）
此方法是由Kupiec於1995年提出，假設超限實驗為一個二項式事件，且每日風險值與每日損益皆為序列獨立，若資產或投資組合損失超過風險值視為失敗，反之則視為成功。假設損失超過風險值服從白努力(Bernoulli)分配，則觀察N天樣本數，損失超過風險值次數為x，則此隨機變數x服從一個二項分配(Binomial Distribution)：

p(x) = ()

檢定的假設為：

H0：模型的超界比率等於理論比率
H1：模型的超界比率不等於理論比率

若檢定拒絕H0表示風險值模型超界比率不等於理論比率，可能高於理論比率或低於理論比率，即代表低估或高估風險，並非是良好的模型。若不能拒絕H0表示模型超界比率等於理論比率，是良好的風險值模型。Kupiec推導其概似比率(Likelihood Ratio)為：

LRuc = ()

其中=x/N，表示實際的失敗比率。在虛無假設成立下，此檢定統計量為自由度1的卡方分配，在95%信賴度下，如果LRuc > 3.84則拒絕虛無假設，即比率過大或過小將導致LRuc大於3.84而被拒絕；在99%信賴度下，LRuc > 6.63會被拒絕。但若在小樣本中，即使在高信賴度下，虛無假設的接受域也很大，此時檢定力較差。如果有足夠的樣本，LRuc值越小該模型估計越能滿足(1 - a)信賴水準下的要求，亦表示此模型越具預測的準確性。以上的LRuc測試，因為是考慮整個樣本的超限比率，又稱為無條件之測試(Unconditional Test)。

（3） 區間預測(條件測試)
除了檢定超限比率是否理想外，我們也必須考慮超界點是否有高度集中或均勻分散於觀察期間的情況。如果超限情形連續發生時為非獨立的情況，這種接連性的虧損可能導致風險控管者最大的風險。良好的風險值模型應該可以規避連續發生虧損的情況。Christoffersen(1998)據此設計了一系列關於評估區間預測(Interval Forecasts)條件性準確性的方法。令VaRt表示在時間t時對下一期的風險值預測(以負值表示)，It+1為一指標，其定義為：

檢定出界值是否具有叢聚現象的檢定稱為條件覆蓋檢定(Conditional Converage Test)。條件覆蓋檢定的虛無假設為：

H0：模型的超界無叢聚現象
H1：模型的超界有叢聚現象

若檢定拒絕H0表示風險值模型有超界值叢聚的情形，非良好的模型。若不能拒絕H0表示模型超界值無叢聚現象，是良好的風險值模型。令nij為指標連續兩期的觀測值，分別為i與j，i,j= 0,1。pij=p{It=i|It-1= j},i,j=0,1。p = (n01+n11)/N，則關於樣本獨立的檢定量為：

LRind = ~ c2(1) ()

如果將LRuc與LRind結合，即是條件覆蓋檢定，其統計量為：

LRcc = LRuc + LRind　　~ c2(2) ()

LRcc值愈高表示超界點的發生越密集，在95%的信賴水準下，如果LRcc>5.99則拒絕需無假設，代表VaR為不良的模型。

（4） 漏損函數
除了關心模型的超限次數外，超界值的遠近(即損失的嚴重性)亦是模型優劣的重要資訊。Lopez(1999)提出以漏損函數的觀念來評估風險值的保守性。其中以二階漏損函數(Quadratic Loss Function)效果較佳，它的公式如下：

()

漏損函數的計算，如果估計損益超過風險值，我們就將該次估計的風險值與該損益相減，並取其平方(表示給予較大的懲罰)。最後我們將所有的平方值與超限次數相加，即可求得該風險值模型的漏損函數，漏損函數越小表示模型的估計越保守。

參、 實證結果與分析

本節我們進行回溯測試的比較。我們所採用的移動窗口分別為250與500天；信賴水準分別為95%、97%、99%；績效的衡量包括超限比率、無條件檢定、條件覆蓋檢定與二階漏損函數。本節分為五部份，第一部份說明資料來源，第二部份對衰退因子做初步的敘述性統計分析，第三部份為動態衰退因子實證分析，第四部份為市場衰退因子實證分析，第五部份探討月資料的市場衰退因子，估計月風險值並進行月資料的衰退因子測試比較。

一、 資料來源

本研究以台灣上市公司股價、外匯與中短期利率為實證資料。股票市場資料包括各股股價資料，來源為台灣經濟新報資料庫；匯率資料取自三商銀共15個國家外匯報價平均，分別為台幣對美元、澳幣、奧地利幣、比國法郎、加拿大幣、馬克、法國法郎、港幣、荷蘭幣、南非幣、瑞士法郎、新加坡幣、英磅、日圓、歐元(註註 歐元雖在民國九十一年才正式交易，但按台灣經濟新報資料庫所公佈之銀行外匯資料，其先於正式交易早幾年便有換算之機制，故仍足有十年之報價。
)等國家；利率資料則以台灣經濟新報資料庫公佈的附買回債券價格變動的平均報酬率，分別為一、三、六、九與十二個月期之短中期利率(註註 按RiskMetrics的做法應該包含超過一年以上的利率資料，如五年、十年之利率，但因國內長期公債利率資料不完全，因此僅蒐集一年期以下的中短期利率進行實證。
)。

資料取樣期間，自81年1月4日迄90年12月31日止。這段期間內，台灣所有上市公司家數共有583筆資料，但10年資料都齊全的公司家數僅160家。鑑於資料期間長短與樣本家數的取捨，日資料取近5年，自86年1月4日迄90年12月31日止，資料增加為287家公司，以進行研究並提高統計的可信賴度，月資料則取10年。

4. 衰退因子初步統計分析
首先對資料的衰退因子特性進行初步的分析，估計民國86~90年所有上市公司股價的兩年期衰退因子。分別依民國86~87年底、87~88年底、88~89年底與89~90年底每兩年近三百家公司的最適衰退因子變化情形。所有上市公司各年衰退因子平均數與變異數資訊於表1，其走勢連線繪於圖3。

表1與圖3中可觀察出民國86~87、87~88與89~90三個時期的衰退因子平均值約在0.9上下震盪，而88~89較其他三條線來得低，平均數較低，標準差也較大，見表1。造成88~89異於其他三個時期的是在89年上半年股價破萬點，但因本土型金融風暴造成多家公司股價劇跌，年底封關時大盤跌至4,700點，震盪之劇烈遠超過其他年度的資料，計算出各公司衰退因子較其他年度小，也因此衰退因子的連線低於其他三個時期。由此說明衰退因子的確會反應波動性的變化，當波動性劇烈時衰退因子會下降以加快對市場的反應。除此之外也可看出因期間不同各股衰退因子有很大的差異，不同公司間衰退因子的差異也頗大。大致而言，各家公司最適衰退因子多半在0.8到1之間；至於所有上市公司股價的衰退因子估計結果請見<附表一>。而86至87為亞洲金融風暴期間，由圖形觀察之，86至87年間衰退因子走勢並無顯著異其他年份。

5. 動態衰退因子實證分析

由前一節實證初步的結果，說明了衰退因子具有隨時間改變與不同資產間相異的性質。因此，我們提出動態衰退因子的觀念，這是指在每一次計算風險值時，我們都以(6)式來計算衰退因子，換句話說，我們隨時校準衰退因子以反應市場的最新狀況。以臺灣股價加權指數為例，計算日資料EWMA的動態衰退因子。圖2代表每一個時點的參數，都是以500天的移動窗口求得。明顯地，我們可以發現l是隨著時間的經過而變動，原則上在0.7~0.99之間波動。然而在計算風險值上，採用動態的衰退因子是否會比採用固定的衰退因子更精確？我們接下來採動態最佳衰退因子來估算風險值，進行回溯測試並與RiskMetrics的市場衰退因子作比較。

（1） 股票市場
在股票市場方面，五年皆有資料的上市公司共有287家，我們以此作為檢定樣本，測試95%、97%與99%三種信賴水準，與250、500兩種觀察時期的風險值估計值，實證結果陳列於表2與圖4，我們分別說明如下。

1. 超限比率分析
在某一信賴水準下，超限次數平均值接近理論次數表示模型較為合理。由表2~(1)大約可以觀察到，採用RiskMetrics的市場衰退因子0.94表現較優。圖4~(1)是超限比率盒形圖，可以進一步比較模型的好壞，愈理想的模型超限比率平均數應愈接近理論比率，四分位距與全距應越小越好(方盒越小越好)。由圖4~(1)我們發現，不同移動窗口天數，250天或500天，模型的表現並無明顯的差距，其次，採取動態隨時校準的參數，其盒型圖在三種信賴水準與兩種觀察天數下，均較RiskMetrics的市場衰退因子0.94略為偏離理論值(虛線)，因此其績效較差；至於不同信賴水準下，在超限比率盒型圖的比較上，並無明顯的不同。

2. 無條件檢定分析
圖4~(1)所呈現的盒型圖在統計上是否異於理論比率，可以進行無條件檢定，檢定的結果整理於表2~(2)，與圖4~(2)。以圖4~(2)的第一柱為例，斜線部份表示287次中接受H0的次數為244，空白部份表示拒絕H0有43次。綜合來看，動態最適衰退因子在三種信賴水準與兩種觀察天數下，接受H0的次數明顯少於RiskMetrics的市場衰退因子0.94，表示採取隨時校準的動態最適衰退因子較不理想；此外，無條件檢定結果在三種信賴水準下，移動窗口500天都略優於250天。

3. 條件覆蓋檢定分析
條件覆蓋檢定的結果整理於表2~(3)，12種條件覆蓋檢定的結果繪於圖4~(3)。以第一條柱狀圖為例，柱中斜線部份表示287次中接受H0的有86次，空白表示拒絕H0有201次。與圖4~(2)相較，可以發現通過檢定的家數大大的減少了，表示兩種模型叢聚的機率增高，造成被拒絕的次數增加。進一步檢視可以發現，採動態最適衰退因子的方式，在三種信賴水準與兩種觀察天數下，接受H0的次數少於RiskMetrics的市場衰退因子0.94，這表示動態最適衰退因子模型較不理想。另一方面，條件覆蓋檢定結果在三種信賴水準下移動窗口500天都未必完全優於250天；而且在99%信賴水準下，拒絕H0的次數較97%與95%來得少，這有可能是在99%信賴水準下，出界值也較少，叢聚現象亦較少。

4. 二階漏損函數檢定分析
表2~(4)與圖4~(4)報告二階漏損函數的結果。由圖4~(4)中，可以觀察到採動態最適衰退因子的策略，在三種信賴水準與兩種觀察天數下，漏損函數皆大於RiskMetrics的市場衰退因子0.94，這同樣顯示動態最適衰退因子模型較不理想。其次，我們可以觀察到，信賴水準95%、97%與99%在此檢定結果因99% 風險值的準備水準比較高，漏損函數也比較小，就保守性而言是比較好的；但考量資金運用則不能說比95%與97%模型來的好。

綜合以上回溯測試的比較，我們歸納股票市場最適衰退因子研究之小結：在各種測試情況下，動態最適衰退因子模型較RiskMetrics市場衰退因子模型表現較不理想；另一方面，移動窗口250天與500天在股票市場回溯測試並無一致結果，難言孰優孰劣；而信賴水準95%、97%與99%在回溯測試的比較上，三者也不具明顯差異。

（2） 匯率市場
在匯率市場方面，回溯測試結果整理於表3與圖5。外匯市場回溯測試結果顯示，RiskMetrics的市場衰退因子0.94與動態衰退因子相較下，圖5~(1)、圖5~(2)、圖5~(3)可以看出來兩者的表現差距並不大；圖5~(4)則呈現RiskMetrics略優於動態衰退因子現象。因此，與股票市場相似，採取動態的衰退因子並不優於RiskMetrics的市場衰退因子0.94。此外，不同觀察天數的表現，差異並不明顯，沒有定論；而三種信賴水準中，以95%和97%表現較佳，超限比率皆落於理想比率附近，99%則有低估風險之虞，超限比率高於理想比率1%。

6. 日資料市場衰退因子實證分析

前一小節關於動態衰退因子實證分析的結果顯示，採取動態的衰退因子雖然運算成本較高，然而精確性並無法勝過RiskMetrics的市場衰退因子0.94。本節進一步研究檢測，採固定的市場衰退因子0.94對台灣金融市場而言是否為最佳，或是按台灣市場的資料尋找出的市場衰退因子較佳。

首先我們以(6)式來估計股票市場、外匯市場與貨幣市場等各資產的衰退因子，並按(7)~(10)式的誤差加權方式法求算台灣金融市場的市場衰退因子。實證研究的結果如表4，台灣金融市場日資料的市場衰退因子為0.91，月資料市場衰退因子為0.94。本節我們分別以股票市場、外匯市場與貨幣市場進行日資料的測試比較，至於月資料衰退因子的實證則留待下一節。

在股票市場方面，我們以EWMA估計287家上市公司的風險值，衰退因子採0.88到0.99的數據，其中0.91代表本文求出的台灣市場衰退因子，0.94代表RiskMetrics衰退因子。圖6是在不同的市場衰退因子下，風險值估計值回溯測試超限比率盒型圖(註註 按前節回溯測試結果知信賴水準0.95、0.97兩種方法差異不大；測試方法中失敗比率、無條件測試與條件覆蓋測試的三種結果亦相去不遠，因此本節只報告信賴水準0.95與0.99之失敗比率的盒形圖比較，避免重複次數過多。
)，信賴水準分別為95%與99%，移動視窗則分別為250天與500天。由圖6可觀察出，採用0.91或0.94進行回溯測試，結果差異並不大。如果進一步觀察信賴水準99%下，約略看出衰退因子在越大情況下似乎表現較佳(如0.98與0.99)，但一般而言，衰退因子在0.88至0.99所得的結果差距並不大。此外，不論市場衰退因子為何，EWMA在股票市場都有低估風險值的現象，自0.88~0.99情形皆然，與動態衰退因子的實證結果相似。此種原因可能是EWMA假設報酬服從(條件)常態分配而與實際資料有所出入所導致。

在外匯市場實證部份，我們採用EWMA衡量台灣與15個國家的外匯風險值並進行測試，圖7是在不同信賴水準與視窗下的實證結果。由圖7可以觀察到衰退因子的選擇對外匯市場的影響較大，衰退因子從0.88至0.99，失敗比率也呈現出較明顯的差異。在95%信賴水準下，當衰退因子較小時容易低估風險，使超限比率偏高；當衰退因子較高時容易高估風險，使超限比率偏低。由此部分實證顯示，EWMA在外匯市場的應用上，在95%信賴水準下，選擇適當的衰退因子，譬如說0.91到0.95之間為佳。在99%信賴水準下，不同的衰退因子都有低估風險的現象，超限比率因而偏高，但以較高的衰退因子表現較佳。

在貨幣市場方面，我們以EWMA衡量台灣五種天期，分別為一、三、六、九與十二個月，的利率風險值。圖8是回溯測試超限比率盒型圖。由圖8顯示，採用衰退因子為0.91或0.94的表現相當。事實上，我們發現95%或99%信賴水準下，超限比率與理想比率有很大的距離，原因之一是利率變動受央行政策影響，多數報酬維持不變，EWMA並不能有效的捕捉這種情況，容易造成風險高估或低估；其次是每組盒形圖只有5個樣本(五種天期利率)，資料組數過少。因此，關於貨幣市場的實證，本文認為不論衰退因子為何，在台灣利率市場中，EWMA並不是良好的風險值估算方法。

7. 月資料衰退因子實證分析
上述幾節是以日資料進行回溯測試，本小節我們進行月資料的檢測。因為月資料需要較長期的資料，故研究期間採10年間的資料。此外，由於自81年至90年具有完整資料的樣本數較少，因此我們將股、匯市與貨幣市場合併作回溯測試，以增加樣本的數目並提高可信度。我們依(6)~(10)式來估計月資料的市場衰退因子，所得到的結果為0.94。圖9為回溯測試失敗比率的盒型圖(註註 因移動窗口為500天的測試，會造成資料不足之情形，故僅進行移動窗口250天之實證。
)。由圖9可觀察出與日資料相類似的結論，採衰退因子為0.94或是0.97測試的結果相去並不遠，事實上，衰退因子在0.88~0.97間的優劣情形並不明顯；但不論衰退因子為何，EWMA在月資料中仍都有低估風險值的現象，自0.88~0.99情形皆然。

肆、 結論

EWMA可稱得上是簡單易用，效果極佳的模型，它僅僅需要一個參數的輸入，就可以估計並更新變異數-共變異數矩陣。關於這個參數，市場的最佳的l值，RiskMetrics是由480筆個別資產的最佳l值，依RMSE的大小，分別指派不同的權重求得。計算的結果，日資料的最佳的l值為0.94，月資料最佳的l值為0.97，此即為業界與文獻上共同採用的數據。一般而言l介於0.75~0.98，有學者建議對短天期的風險值估計採較小的l，以捕捉短期劇烈的波動，因為l愈小，對市場的反應愈迅速；對多天期的風險值採較高的衰退因子，則採用較長的歷史資料做為計算波動率的參考。台灣淺碟式的金融體系，是否因為波動較劇烈而l的水準與國外差異頗大？或者因市場的劇烈波動，導致l嚴重偏離固定的數值？鑒於國內風險值文獻迅速成長以及金融業界對風險值的需求，實有必要對衰退因子做進一步的分析與檢驗。

本文在實證上，以台灣三大金融市場為對象，採取隨時校準的動態衰退因子，計算臺灣市場的最佳衰退因子，並與RiskMetrics市場衰退因子進行一系列的比較，分析對風險值精確性的影響。我們的結論整理如後。

在三大市場中，考慮95%，97%與99%三種信賴區間、250與500天兩種移動窗口共6種情況下的風險值回溯測試比較中，RiskMetrics市場衰退因子較採動態的衰退因子表現來得好，以上經由四種不同的測試方法都得到相類似的結果。動態的衰退因子不但計算成本高且費時，測試結果無法