资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．若反比例函数的图象在每一个信息内的值随的增大而增大，则关于的函数的图象经过（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
2．如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，点在函数的图象上，轴于点.若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，点为边中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图2所示，则的长为( )
A． B． C． D．
4．若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1
5．若抛物线的对称轴是直线，则方程的解是（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．如图，在中，点D，E分别为AB，AC边上的点，且，CD、BE相较于点O，连接AO并延长交DE于点G，交BC边于点F，则下列结论中一定正确的是
A． B． C． D．
7．如图，已知AB∥CD∥EF，AC=4，CE=1，BD=3，则DF的值为( )
A． B． C． D．1
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论: ① abc＜0；② 2a＋b＝0; ③ b2－4ac＜0；④ 9a+3b+c＞0; ⑤ c+8a＜0.正确的结论有（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．已知点P（1，-3）在反比例函数的图象上，则的值是
A．3 B．-3 C． D．
10．下列四个物体的俯视图与右边给出视图一致的是（ ）
A． B． C． D．
11．下列说法不正确的是（ ）
A．一组同旁内角相等的平行四边形是矩形
B．一组邻边相等的菱形是正方形
C．有三个角是直角的四边形是矩形
D．对角线相等的菱形是正方形
12．将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，的半径长为，与相切于点，交半径的延长线于点，长为，，垂足为，则图中阴影部分的面积为_______．
14．若圆中一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆周角的度数为______．
15．如图，某试验小组要在长50米，宽39米的矩形试验田中间开辟一横一纵两条等宽的小道，使剩余的面积是1800平方米，求小道的宽.若设小道的宽为米，则所列出的方程是_______（只列方程，不求解）
16．如图，一块含30°的直角三角板ABC（∠BAC＝30°）的斜边AB与量角器的直径重合，与点D对应的刻度读数是54°，则∠BCD的度数为_____度．
17．掷一个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数为奇数的概率是_____．
18．在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数字0，1，2，3，4的小球，它们除数字不同外其余全部相同.现从盒子里随机摸出一个小球（不放回），设该小球上的数字为m，再从盒子中摸出一个小球，设该小球上的数字为n，点P的坐标为，则点P落在抛物线与x轴所围成的区域内（含边界）的概率是________.
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，直线l的解析式为y＝x，反比例函数y＝（x＞0）的图象与l交于点N，且点N的横坐标为1．
（1）求k的值；
（2）点A、点B分别是直线l、x轴上的两点，且OA＝OB＝10，线段AB与反比例函数图象交于点M，连接OM，求△BOM的面积．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作EF⊥AC，垂足为E，且交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）已知AB＝4，AE＝1．求BF的长．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象经过点．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）将直线向上平移个单位长度后与轴交于，与反比例函数图象在第一象限内的交点为，连接，，求点的坐标及的面积.
22．（10分）图中是抛物线拱桥，点P处有一照明灯，水面OA宽4m，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，已知点P的坐标为（3，）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）水面上升1m，水面宽是多少？
23．（10分）如图，在△中，，，点从点出发，沿以每秒的速度向点运动，同时点从点出发，沿以的速度向点运动，设运动时间为秒
（1）当为何值时，．
（2）当为何值时，∥．
（3）△能否与△相似？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
24．（10分）如图，已知正方形，点在延长线上，点在延长线上，连接、、交于点，若，求证：．
25．（12分）如图，已知AB是⊙O的直径，过点O作弦BC的平行线，交过点A的切线AP于点P，连结AC．求证：△ABC∽△POA．
26．某学校游戏节活动中，设计了一个有奖转盘游戏，如图，A转盘被分成三个面积相等的扇形，B转盘被分成四个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字，先转动A转盘，记下指针所指区域内的数字，再转动B转盘，记下指针所指区域内的数字（当指针在边界线上时，重新转动转盘，直到指针指向一个区域内为止）
（1）请利用画树状图或列表的方法（只选其中一种），表示出转转盘可能出现的所有结果；
（2）如果将两次转转盘指针所指区域的数据相乘，乘积是无理数时获得一等奖，那么获得一等奖的概率是多少？
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】通过反比例函数的性质可得出m的取值范围，然后根据一次函数的性质可确定一次函数图象经过的象限．
【详解】解：∵反比例函数的图象在每一个信息内的值随的增大而增大
∴
∴
∴
∴关于的函数的图象不经过第三象限．
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点是反比例函数的性质、一次函数的图象与系数的关系、一次函数的性质，掌握以上知识点是解此题的关键．
2、A
【分析】设A的横坐标为a，则纵坐标为，根据题意得出点B的坐标为，代入y=（x＜0）即可求得k的值．
【详解】解：设A的横坐标为a，则纵坐标为，
∵AC=3BC，∴B的横坐标为-a，
∵AB⊥y轴于点C，∴AB∥x轴，∴B（-a，），
∵点B在函数y=（x＜0）的图象上，∴k=-a×=-1，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，表示出点B的坐标是解题的关键．
3、C
【分析】根据图象和图形的对应关系即可求出CD的长，从而求出AD和AC，然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出CP⊥AB时AP的长，然后证出△APC∽△ACB，列出比例式即可求出AB，最后用勾股定理即可求出BC．
【详解】解：∵动点从点出发，线段的长度为，运动时间为的，根据图象可知，当=0时，y=2
∴CD=2
∵点为边中点，
∴AD=CD=2，CA=2CD=4
由图象可知，当运动时间x=时，y最小，即CP最小
根据垂线段最短
∴此时CP⊥AB，如下图所示，此时点P运动的路程DA＋AP=
所以此时AP=
∵∠A=∠A，∠APC=∠ACB=90°
∴△APC∽△ACB
∴
即
解得：AB=
在Rt△ABC中，BC=
故选C．
【点睛】
此题考查的是根据函数图象解决问题，掌握图象和图形的对应关系、相似三角形的判定及性质和勾股定理是解决此题的关键．
4、D
【解析】分析：根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．
详解：∵方程有两个不相同的实数根，
∴
解得：m＜1．
故选D．
点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
5、C
【分析】利用对称轴公式求出b的值，然后解方程.
【详解】解：由题意：
解得：b=-4
∴
解得：，
故选：C
【点睛】
本题考查抛物线对称轴公式及解一元二次方程，熟记公式正确计算是本题的解题关键.
6、C
【分析】由可得到∽，依据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质进行判断即可．
【详解】解：A.∵，
∴ ,故不正确；
B. ∵，
∴ ,故不正确；
C. ∵，
∴∽，∽,
， ．
，故正确；
D. ∵，
∴ ,故不正确；
故选C．
【点睛】
本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．
7、C
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．
【详解】解：∵直线AB∥CD∥EF，AC=4，CE=1，BD=3，
∴ 即，解得DF=．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键．
8、C
【解析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：抛物线开口向下，得：a＜0；抛物线的对称轴为x=-=1，则b=-2a，2a+b=0，b=-2a，故b＞0；抛物线交y轴于正半轴，得：c＞0.
∴abc＜0, ①正确；
2a+b=0，②正确；
由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2-4ac＞0，故③错误；
由对称性可知，抛物线与x轴的正半轴的交点横坐标是x=3，所以当x=3时，y= 9a+3b+c=0,故④错误；
观察图象得当x=-2时，y＜0，
即4a-2b+c＜0
∵b=-2a，
∴4a+4a+c＜0
即8a+c＜0，故⑤正确.
正确的结论有①②⑤，
故选:C
【点睛】
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的表达式求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
9、B
【解析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将P（1，-1）代入，得，解得k=－1．故选B．
10、C
【详解】解：几何体
的俯视图为
，
故选C
【点睛】
本题考查由三视图判断几何体，难度不大．
11、B
【分析】利用正方形的判定、平行四边形的性质，矩形的判定分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、一组同旁内角相等的平行四边形是矩形，正确；
B、一组邻边相等的矩形是正方形，错误；
C、有三个角是直角的四边形是矩形，正确；
D、对角线相等的菱形是正方形，正确．
故选B．
【点睛】
本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的判定，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
12、A
【分析】抛物线平移的规律是：x值左加右减，y值上加下减，根据平移的规律解答即可.
【详解】∵将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，
∴，
故选：A.
【点睛】
此题考查抛物线的平移规律，正确掌握平移的变化规律由此列函数关系式是解题的关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】由已知条件易求直角三角形AOH的面积以及扇形AOC的面积，根据，计算即可．
【详解】∵BA与⊙O相切于点A，
∴AB⊥OA，
∴∠OAB=90°，
∵OA=2，AB=2，
∴，
∵，
∴∠B=30°，
∴∠O=60°，
∵，
∴∠OHA=90°，
∴∠OAH=30°，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了切线的性质、勾股定理的运用以及扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式．
14、30°或150°
【解析】与半径相等的弦与两条半径可构成等边三角形，所以这条弦所对的圆心角为60，而弦所对的圆周角两个，根据圆内接四边形对角互补可知，这两个圆周角互补，其中一个圆周角的度数为 ，所以另一个圆周角的度数为150.
故答案为30°或150°.
15、（答案不唯一）
【分析】可设道路的宽为xm，将4块剩余矩形平移为一个长方形，长为（50-x）m，宽为（39-x）m．根据长方形面积公式即可列出方程．
【详解】解：设道路的宽为xm，依题意有
（50-x）（39-x）=1．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识，应熟记长方形的面积公式．解题关键是利用平移把4块试验田平移为一个长方形的长和宽．
16、1．
【分析】先利用圆周角定理的推论判断点C、D在同一个圆上，再根据圆周角定理得到∠ACD=27°，然后利用互余计算∠BCD的度数.
【详解】解：∵∠C＝90°，
∴点C在量角器所在的圆上
∵点D对应的刻度读数是54°，即∠AOD＝54°，
∴∠ACD＝∠AOD＝27°，
∴∠BCD＝90°﹣27°＝1°．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半. 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
17、
【解析】解：掷一次骰子6个可能结果，而奇数有3个，
所以掷到上面为奇数的概率为：．
故答案为．
18、
【分析】采用画树状图法写出的所有可能出现的结果，画出函数图像，并描出在抛物线与x轴所围成的区域内（含边界）点，再用符合题意的点的个数除以总个数，即可求出答案．
【详解】如图，
由树状图可知共有20种等可能结果，由坐标系可知，在抛物线与x轴所围成的区域内（含边界）的点有（0，0）、（1，3），（2，0）、（3，3），（3，0），（4，0），共6种结果，
∴点在抛物线上的概率是=，
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
三、解答题（共78分）
19、（1）27；（2）2
【分析】（1）把x＝1代入y＝x，求得N的坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值；
（2）根据勾股定理求得A的坐标，然后利用待定系数法求得直线AB的解析式，再和反比例函数的解析式联立，求得M的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得△BOM的面积．
【详解】解：（1）∵直线l经过N点，点N的横坐标为1，
∴y＝×1＝，
∴N（1，），
∵点N在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝1×＝27；
（2）∵点A在直线l上，
∴设A（m，m），
∵OA＝10，
∴m2+（m）2＝102，解得m＝8，
∴A（8，1），
∵OA＝OB＝10，
∴B（10，0），
设直线AB的解析式为y＝ax+b，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣3x+30，
解得或，
∴M（9，3），
∴△BOM的面积＝＝2．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式和一次函数的解析式，求得、点的坐标是解题的关键.
20、（1）证明见解析；（2）2.
【解析】（1）作辅助线，根据等腰三角形三线合一得BD＝CD，根据三角形的中位线可得OD∥AC，所以得OD⊥EF，从而得结论；
（2）证明△ODF∽△AEF，列比例式可得结论．
【详解】（1）证明：连接OD，AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵OA＝OB，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵OD∥AE，
∴△ODF∽△AEF，
∴，
∵AB＝4，AE＝1，
∴，
∴BF＝2．
【点睛】
本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、相似三角形的性质和判定，圆的切线的判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
21、（1）；；（2）
【分析】（1）将A点的坐标分别代入正比例函数与反比例函数的解析式即可求得答案；
（2）利用直线平移的规律得到直线BC的解析式，再解方程组可求得点C的坐标，利用进行计算可求得结论.
【详解】解：（1）把代入得，解得；
把代入得，
正比例函数的解析式为；反比例函数的解析式为；
（2）直线向上平移的单位得到直线的解析式为，
当时，，则，
解方程组得或，
∵点在第一象限内，
点的坐标为；
连接，
.
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，只要把这两个函数的关系式联立成方程组求解即可.
22、（1）y=﹣x2+2x；（2）2m
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（3）在所求函数解析式中求出y=1时x的值即可得．
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
将点O（0，0）、A（4，0）、P（3，）代入，得：
解得：
，
所以抛物线的解析式为y=﹣x2+2x；
（2）当y=1时，﹣x2+2x=1，即x2﹣4x+2=0，
解得：x=2，
则水面的宽为2+﹣（2﹣）=2（m）．
答：水面宽是：2m．
【点睛】
考查二次函数的应用，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
23、（1）秒；（2）秒；（3）能，秒或5秒
【分析】（1）分别用x表示出线段BP和CQ的长，根据其相等求得x的值即可；
（2）当PQ∥BC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，PQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值．
（3）本题要分两种情况进行讨论．已知了∠A和∠C对应相等，那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况来求x的值．
【详解】（1）依题意可得：BP=20-4x，CQ=3x
当BP=CQ时，20-4x=3x
∴（秒）
答：当秒时，BP=CQ
（2）AP=4x，AB=20，AQ=30-3x，AC=30
所以当时，有
即：
解得：x=（秒）
答：当x=秒时，；
（3）能．
①当△APQ∽△CQB时，有
即：
解得：x=（秒）
②当△APQ∽△CBQ时，有
即：
解得：x=5（秒）或x=-10（秒）（舍去）
答：当x=秒或x=5秒时，△APQ与△CQB相似．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据三角形相似得出线段比是解题的关键．
24、见解析.
【分析】根据已知条件证明△ADG≌△CDF,得到∠ADG=∠CDF,根据AD∥BC，推出∠CDF=∠E,由此证明△CDE∽△CFD,即可得到答案.
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠BCD=90，AD=CD，
∴∠DCF=∠A=90，
又∵,
∴△ADG≌△CDF,
∴∠ADG=∠CDF,
∵AD∥BC，
∴∠ADG=∠E,
∴∠CDF=∠E,
∵∠BCD=∠DCF=90，
∴△CDE∽△CFD,
∴,
∴.
【点睛】
此题考查正方形的性质，三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质，在证明题中证明线段成比例的关系通常证明三角形相似，由此得到边的对应比的关系，注意解题方法的积累.
25、证明见解析．
【解析】试题分析： 由BC∥OP可得∠AOP=∠B，根据直径所对的圆周角为直角可知∠C=90°，再根据切线的性质知∠OAP=90°，从而可证△ABC∽△POA．
试题解析：证明：∵BC∥OP，
∴∠AOP=∠B，
∵AB是直径，
∴∠C=90°，
∵PA是⊙O的切线，切点为A，
∴∠OAP=90°，
∴∠C=∠OAP，
∴△ABC∽△POA．
考点：1．切线的性质；2．相似三角形的判定．
26、（1）见解析；（2）．
【分析】（1）列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；本题用列表法得出所有等可能的情况，进而可得转转盘可能出现的所有结果；
（2）无理数是无限不循环小数，找出乘积为无理数的情况数，再除以所有等可能出现的结果数，即可求出一等奖的概率．
【详解】（1）由题意列表如下，
由列表得知：当A转盘出现0，1，-1时，B转盘分别可能有4种等可能情况，
所以共有4×3=12种等可能情况．
即（0，）、（0,1．5）、（0,-3）、（0,﹣）、（1，）、（1,1．5）、（1,-3）、（1,﹣）、（-1，）、（-1,1．5）、（-1,-3）、（-1,﹣）．
（2）无理数是无限不循环小数，由列表得知：乘积是无理数的情况有2种，即（1,﹣）、（-1,﹣）．乘积分别是﹣，，
∴P（乘积为无理数）==．即P（获得一等奖）=．
考点：用列表法或树状图法求随机事件的概率．
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