浙江省杭州市启萌中学2011-2012学年八年级数学第二学期期末教学质量评估检测卷-浙教版.doc

启萌中学2011-2012学年第二学期期末教学质量评估检测卷
八年级数学
考生须知：
1、本试卷分试题卷和答题卷两部分。满分120分，考试时间120分钟。
2、答题前，必须在答题卷的密封区内填写校名、姓名和准考证号码。
3、所有答案都必须做在答题卷指定的位置上，请务必注意试题序号和答题序号相对应。
4、考试结束后，上交试题卷和答题卷。
试题卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1.将50个数据分成五组，编成组号为①～⑤的五个组，频数颁布如下表：
组号
①
②
③
④
⑤
频数
8
10
■
14
11
A.14 B.7 C.0.14 D.0.7
2．把方程x2﹣8x+3=0化成（x+m）2=n的形式，则m，n的值是（　　）

A
.4，13
B
.﹣4，19
C．
﹣4，13
D．
4，19
3．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（　　）

A．
32
B．
126
C．
135
D．
144
4．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（　　）

A.
和
B.
和
C．
和
D．
和
5．函数y=k（x﹣1）与y=﹣在同一直角坐标系内的图象大致是（　　）

A．

B．

C．

D．

6．在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，则下列三种说法：
①如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形
②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
③如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形
其中正确的有（　　）

A．
3个
B．
2个
C．
1个
D．
0个
7．幼儿园的小朋友们打算选择一种形状、大小都相同的正多边形塑胶板铺活动室的地面，为了保证铺地时既无缝隙又不重叠，请你告诉他们下面形状的塑胶板不能选择的是（　　）

A．
正八边形
B
B.正六边形
C．
正四边形
D.
正三角形
9．如图所示，△ABC中，AB=AC，过AC上一点作DE⊥AC，EF⊥BC，若∠BDE=140°，则∠DEF=（　　）

A．
55°
B．
60°
C．
65°
D．
70°
9．电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB=6，AC=7，BC=8．如果跳蚤开始时在BC边的P0处，BP0=2．跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第1次落点）处，且CP1=CP0；第二步从P1跳到AB边的P2（第2次落点）处，且AP2=AP1；第三步从P2跳到BC边的P3（第3次落点）处，且BP3=BP2；…；跳蚤按上述规则一直跳下去，第n次落点为Pn（n为正整数），则点P2007与P2010之间的距离为（　　）

A.1 B.2 C.3 D.4
10．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=5，BC=8．将腰DC绕点D逆时针方向旋转90°至DE，连接AE，则△ADE的面积（　　）

A．
4
B．

C．

D．
20
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．已知一组数据1，2，0，﹣1，x，1的平均数是1，则这组数据的极差为　_________　．
12．命题“等角的余角相等”的题设是　_________　，结论是　_________　．
13．如图是利用四边形的不稳定性制作的菱形衣帽架．已知其中每个菱形的边长都为20cm，且∠1=60°，在A、B、C各处都钉一个铁钉把衣帽架钉在墙壁上，则B、C两个铁钉之间的距离为　_________　cm．

14．已知实数a、b满足等式（a2+b2）（a2+b2﹣2）=8，则a2+b2=　_________　．
15．如图：两个相同的矩形摆成“L”字形，则∠CFA=　_________　度．

16．将长方形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点处D′，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤），则图⑤中∠α=　_________　．

三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（本小题满分8分）
（1）
（2）
（3）已知 ，，求a2+3ab+b2的值．
18．（本小题满分8分）
已知方程ax2+4x﹣1=0；则①当a取什么值时，方程有两个不相等的实数根？②当a取什么值时，方程有两个相等的实数根？③当a取什么值时，方程没有实数根？
19．（本小题满分8分）
图1是棱长为a的小正方体，图2、图3由这样相同的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层、…、第n层，第n层的小正方体的个数为s．解答下列问题：
（1）按照要求填表：
n
1
2
3
4
…
s
1
3
6

…
（2）当s=55时，求n的值．
20．（本小题满分10分）
如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？

21．（本小题满分10分）
甲、乙两支篮球队在集训期内进行了五场比赛，将比赛成绩进行统计后，绘制成如图1、图2的统计图．
（1）在图2中画出折线表示乙队在集训期内这五场比赛成绩的变化情况；
（2）已知甲队五场比赛成绩的平均分x甲=90分，请你计算乙队五场比赛成绩的平均分x乙；
（3）就这五场比赛，分别计算两队成绩的极差；
（4）如果从甲、乙两队中选派一支球队参加篮球锦标赛，根据上述统计，从平均分、折线的走势、获胜场数和极差四个方面分别进行简要分析，你认为选派哪支球队参赛更能取得好成绩？
22．（10分）如图，直线y=kx+2k（k≠0）与x轴交于点B，与双曲线y=（m+5）x2m+1交于点A、C，其中点A在第一象限，点C在第三象限．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求B点的坐标；
（3）若S△AOB=2，求A点的坐标；
（4）在（3）的条件下，在x轴上是否存在点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

23．（12分）等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=12，AD=4，∠B=60°，点P是腰AB上的一个动点．
（1）求BC的长．
（2）如图1，如果点M在BC上，BM=12，PM平分梯形ABCD的面积，求出此时PB的长；
（3）过点P作直线PM，是否存在PM将梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时PB的长；若不存在，请说明理由；

答案与评分标准
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）将50个数据分成五组，编成组号为①～⑤的五个组，频数颁布如下表：
组号
①
②
③
④
⑤
频数
8
10
■
14
11

A．
14
B．
7
C．
0.14
D．
0.7

考点：
频数（率）分布表。
专题：
图表型。
分析：
根据频数的性质：一组数据中，各组的频数和等于总数，可以求出第③组的频数．根据频率、频数的关系：频率=频数÷数据总和，可以求出第③组的频率．
解答：
解：根据统计表可知第③组的频数=50﹣8﹣10﹣14﹣11=7，
则第③组的频率=7÷50=0.14．
故选C．
点评：
本题是对频率、频数意义的综合考查．
注意：各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1．

2．（3分）把方程x2﹣8x+3=0化成（x+m）2=n的形式，则m，n的值是（　　）

A．
4，13
B．
﹣4，19
C．
﹣4，13
D．
4，19

考点：
解一元二次方程-配方法。
分析：
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
解答：
解：∵x2﹣8x+3=0
∴x2﹣8x=﹣3
∴x2﹣8x+16=﹣3+16
∴（x﹣4）2=13
∴m=﹣4，n=13
故选C．
点评：
配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

3．（3分）（2010•扬州）电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB=6，AC=7，BC=8．如果跳蚤开始时在BC边的P0处，BP0=2．跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第1次落点）处，且CP1=CP0；第二步从P1跳到AB边的P2（第2次落点）处，且AP2=AP1；第三步从P2跳到BC边的P3（第3次落点）处，且BP3=BP2；…；跳蚤按上述规则一直跳下去，第n次落点为Pn（n为正整数），则点P2007与P2010之间的距离为（　　）

A．
1
B．
2
C．
3
D．
4

考点：
规律型：图形的变化类。
分析：
根据题意，观察循环规律，由易到难，由特殊到一般．
解答：
解：根据规律：CP1=CP0=8﹣2=6，AP1=AP2=7﹣6=1，
BP2=BP3=6﹣1=5，CP3=CP4=8﹣5=3，AP4=AP5=7﹣3=4，…
由此可得
P0P3=CP0﹣CP3=6﹣3=3，
P1P4=AP4﹣AP1=4﹣1=3，
P2P5=AP5﹣AP2=4﹣1=3，
…
∴P2007P2010=3．故选C．
点评：
本题是观察规律题，通过列举几个落点之间的距离，寻找一般规律．

4．（3分）（2012•潍坊）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（　　）

A．
32
B．
126
C．
135
D．
144

考点：
一元二次方程的应用。
分析：
根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为192，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可．
解答：
解：根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为x+16，根据题意得出：
x（x+16）=192，
解得：x1=8，x2=﹣24，（不合题意舍去），
故最小的三个数为：8，9，10，
下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为：15，16，17，
第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为：22，23，24，
故这9个数的和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144．
故选：D．
点评：
此题主要考查了数字变化规律以及一元二次方程的解法，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键．

5．（3分）（2003•辽宁）在下列各组根式中，是同类二次根式的是（　　）

A．
和
B．
和
C．
和
D．
和

考点：
同类二次根式。
分析：
将四个选项逐一化简，找到被开方数相同的二次根式即可．
解答：
解：A、=2，与不是同类二次根式；
B、化简得和是同类二次根式；
C、化简得：和，不是同类二次根式；
D、被开方数不同，不是同类二次根式．
故选B．
点评：
此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．

6．（3分）函数y=k（x﹣1）与y=﹣在同一直角坐标系内的图象大致是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
反比例函数的图象；一次函数的图象。
分析：
因为k的符号不确定，所以应根据k的符号及一次函数与反比例函数的特点解答．
解答：
解：当k＜0时，﹣k＞0，反比例函数y=﹣的图象在一、三象限，一次函数y=k（x﹣1）的图象过一、二、四象限，选项A符合；
当k＞0时，﹣k＜0，反比例函数y=﹣的图象在二、四象限，一次函数y=k（x﹣1）的图象过一、三、四象限，无选项符合．
故选A．
点评：
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．

7．（3分）在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，则下列三种说法：
①如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形
②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
③如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形
其中正确的有（　　）

A．
3个
B．
2个
C．
1个
D．
0个

考点：
矩形的判定；菱形的判定。
专题：
证明题。
分析：
根据题意可得四边形AEDF是平行四边形；由∠BAC=90°，得四边形AEDF是矩形；由AD平分∠BAC，得四边形AEDF是菱形；当AD⊥BC且AB=AC时，四边形AEDF是菱形．
解答：
解：∵DE∥CA，DF∥BA，
∴四边形AEDF是平行四边形；
∵∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形；
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠FAD=∠ADF，
∴AF=DF，
∴四边形AEDF是菱形；
∵AD⊥BC且AB=AC，
∴AD平分∠BAC，
∴四边形AEDF是菱形；
故①②③正确．
故选A．
点评：
本题考查了矩形的判定和菱形的判定，还考查了平行四边形的判定和性质．

8．（3分）（2006•山西）幼儿园的小朋友们打算选择一种形状、大小都相同的正多边形塑胶板铺活动室的地面，为了保证铺地时既无缝隙又不重叠，请你告诉他们下面形状的塑胶板不能选择的是（　　）

A．
正八边形
B．
正六边形
C．
正四边形
D．
正三角形

考点：
平面镶嵌（密铺）。
专题：
应用题。
分析：
根据密铺的条件可知，正三角形，正四边形，正六边形的每个内角都能整除360度，所以都能密铺；正八边形的每个内角为180°﹣360°÷8=135°，不能整除360°，不能密铺．
解答：
解：A、正八边形的每个内角为180°﹣360°÷8=135°，不能整除360°，不能密铺；
B、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能密铺；
C、正四边形的每个内角是90°，4个能密铺；
D、正三角形的每个内角是60°，6个能密铺．
故选A．
点评：
本题考查一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．

9．（3分）如图所示，△ABC中，AB=AC，过AC上一点作DE⊥AC，EF⊥BC，若∠BDE=140°，则∠DEF=（　　）

A．
55°
B．
60°
C．
65°
D．
70°

考点：
三角形的外角性质。菁优网版权所有
分析：
由DE⊥AC，∠BDE=140°，可计算出∠A，再利用等腰三角形的性质求出∠C，最后利用EF⊥BC及同角的余角相等得到∠DEF的度数．
解答：
解：∵DE⊥AC，∠BDE=140°，
∴∠A=50°，
又∵AB=AC，
∴∠C==65°，
∵EF⊥BC，
∴∠DEF=∠C=65°．
所以A错，B错，C对，D错．故选C．
点评：
考查了垂直的性质，等腰三角形的性质和三角形的外角性质．

10．（3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=5，BC=8．将腰DC绕点D逆时针方向旋转90°至DE，连接AE，则△ADE的面积（　　）

A．
4
B．

C．

D．
20

考点：
旋转的性质；等腰梯形的性质。
专题：
计算题；证明题。
分析：
如图，过E作EF⊥AD的延长线于F，过D作DM⊥BC于M，由于将梯形的腰DC绕点D逆时针方向旋转90°至DE，所以得到EF=CM，而根据等腰梯形的性质和已知条件可以求出DM的长度，也就求出EF的长度，最后利用三角形的面积公式即可解决问题．
解答：
解：如图，过E作EF⊥AD的延长线于F，过D作DM⊥BC于M，过A作AN⊥CB于N，
∵将腰DC绕点D逆时针方向旋转90°至DE，
∴DE=DC，
而EF⊥AD的延长线于F，DM⊥BC于M，AD∥BC，
∴∠EFD=∠DMC=∠MDF=∠CDE=90°，
∴∠EDF=∠MDC，
∴△EDF≌△CDM，
∴EF=MC，
而梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=5，BC=8，
∴CM=BN=1.5，
∴S△ADE=×AD×DE=．
故选B．

点评：
此题主要考查了旋转的定义和性质，也考查了等腰梯形的性质，解题的关键是作辅助线，把所求面积问题转化为求CM的长度即可解决问题．

二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）（2008•永州）已知一组数据1，2，0，﹣1，x，1的平均数是1，则这组数据的极差为　4　．

考点：
极差；算术平均数。
分析：
根据平均数的定义求出x的值，再根据极差的定义解答．
解答：
解：1+2+0﹣1+x+1=1×6，所以x=3，则这组数据的极差=3﹣（﹣1）=4．
故填4．
点评：
本题考查了平均数和极差的概念．

12．（4分）命题“等角的余角相等”的题设是　两个角是等角　，结论是　它们的余角相等　．

考点：
命题与定理。
分析：
一个命题由题设和结论两部分组成，如果是条件，那么是结论．
解答：
解：命题“等角的余角相等”的题设是两个角是等角，结论是它们的余角相等．
点评：
本题比较简单，考查的是命题的组成，需同学们熟练掌握．

13．（4分）如图是利用四边形的不稳定性制作的菱形衣帽架．已知其中每个菱形的边长都为20cm，且∠1=60°，在A、B、C各处都钉一个铁钉把衣帽架钉在墙壁上，则B、C两个铁钉之间的距离为　　cm．

考点：
菱形的性质；三角形内角和定理。
专题：
计算题。
分析：
连接BC，求证四边形BEDC为平行四边形，得BC=DE，进而求证△BEF为等边三角形，得BF=BE，根据菱形对角线垂直的性质得Rt△BEG，根据BE、BG的长可以求得EG，根据EG即可求DE，即BC的长度．
解答：
解：连接BC，如下图

∵BE=CD，BE∥CF
∴四边形BEDC为平行四边形，
∴BC=DE，
∵∠1=60°，即∠BEF=60°，BE=EF
∴△BEF为等边三角形，即BF=BE=20cm，BG=10cm，
∴在Rt△BEG中，BE=20cm，BG=10cm，
∴EG==10cm，
∴BC=DE=2EG=20cm，
故答案为 20．
点评：
本题考查了平行四边形的判定，考查了菱形各边长相等、对角线垂直平分的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中运用勾股定理求EG是解题的关键．

14．（4分）已知实数a、b满足等式（a2+b2）（a2+b2﹣2）=8，则a2+b2=　4　．

考点：
换元法解一元二次方程。
分析：
将a2+b2看作一个整体，然后用换元法解方程即可．
解答：
解：设a2+b2=x，则有：
x（x﹣2）=8
x2﹣2x﹣8=0，
（x+2）（x﹣4）=0
解得x1=﹣2，x2=4；
∵a2+b2≥0，
故a2+b2=x2=4；
点评：
本题的关键是把a2+b2看成一个整体来计算，即换元法思想．

15．（4分）如图：两个相同的矩形摆成“L”字形，则∠CFA=　45　度．

考点：
矩形的性质。
专题：
计算题。
分析：
易得△AFE≌△CAD，那么AF=AC，∠FAE=∠ACD，由∠ACD+∠DAC=90°，可得∠FAE+∠DAC=90°则△AFC是等腰直角三角形，那么∠CFA=45度．
解答：
解：∵矩形ABCD和矩形AGFE是两个相同的矩形，
∴△AFE≌△CAD，∠ADC=90°，
∴AF=AC，∠FAE=∠ACD，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠FAE+∠DAC=90°，
∴△AFC是等腰直角三角形，
∴∠CFA=45°．
故答案为45．
点评：
解决本题的关键是利用全等三角形的性质得到所求角所在的三角形的形状．

16．（4分）将长方形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点处D′，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤），则图⑤中∠α=　22.5°　．

考点：
翻折变换（折叠问题）。
专题：
几何图形问题；数形结合。
分析：
利用折叠的性质，可得∠AEB=45°，∠BEG=DEG，四边形ABFE是正方形，又由平角的定义即可求得∠DEG的度数，继而求得∠α的值．
解答：
解：根据题意得：
如图③：四边形ABFE是正方形，
∴∠AEB=∠FEB=45°，
如图⑤：∵EG是折痕，
∴∠BEG=DEG，
∵∠AEB=45°，∠AEB+∠BEG+∠DEG=180°，
∴∠DEG=67.5°，
∴∠α=90°﹣∠DEG=22.5°．
故答案为：22.5°．
点评：
此题考查了折叠的性质，正方形的性质以及角的和差关系．题目难度不大，解题的关键是数形结合思想的应用．

三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（8分）计算
（1）
（2）
（3）已知 ，，求a2+3ab+b2的值．

考点：
二次根式的化简求值；二次根式的混合运算。
分析：
（1）先把二次根式进行化简，再合并同类二次根式即可；
（2）先根据二次根式的性质对要求的式子进行化简，再合并同类二次根式即可；
（3）先把a2+3ab+b2变形为（a+b）2+ab，再把，代入即可求出?
答案．
解答：
解：（1）=+3﹣2=2；
（2）=2﹣=2﹣；
（3）∵，，
∴a2+3ab+b2=a2+2ab+b2+ab=（a+b）2+ab=[（6+2）+（6﹣2）]2+（6+2）（6﹣2）=144+36﹣20=160；
点评：
此题考查了二次根式的化简求值，关键是把二次根式进行化简，把要求的式子进行变形，在计算时要注意结果的符号．

18．（8分）已知方程ax2+4x﹣1=0；则①当a取什么值时，方程有两个不相等的实数根？②当a取什么值时，方程有两个相等的实数根？③当a取什么值时，方程没有实数根？

考点：
根的判别式；一元二次方程的定义。
分析：
利用根的判别式：△=b2﹣4ac来求解，把系数代入可得16+4a，然后根据一元二次方程根与判别式的关系分别把对应的不同情况列成不等式，解关于a不等式即可求出a的取值范围．
解答：
解：∵△=b2﹣4ac=16+4a，且a≠0
①：当△＞0时有两个不相等的实数根，∴16+4a＞0，∴a＞﹣4且a≠0；
②：当△=0时有两个相等的实数根，∴16+4a=0，∴a=﹣4；
③：当△＜0时没有实数根，∴16+4a＜0，∴a＜﹣4．
点评：
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．

19．（8分）图1是棱长为a的小正方体，图2、图3由这样相同的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层、…、第n层，第n层的小正方体的个数为s．解答下列问题：
（1）按照要求填表：
n
1
2
3
4
…
s
1
3
6

…
（2）当s=55时，求n的值．

考点：
规律型：图形的变化类。
专题：
规律型。
分析：
（1）第1个图有1层，共1个小正方体，第2个图有2层，第2层正方体的个数为1+2，根据相应规律可得第4层，第6层，第n层正方体的个数；
（2）依据（1）得到的规律可得s=55时n的值．
解答：
解：（1）∵第1个图有1层，共1个小正方体，
第2个图有2层，第2层正方体的个数为1+2，
第3个图有3层，第3层正方体的个数为1+2+3，
∴n=4时，即第4层正方体的个数为：1+2+3+4=10，
n=6时，即第6层正方体的个数为：1+2+3+4+5+6=21，
第n层时，s=1+2+3+…+n=；
故答案为10；21；；

（2）当s=55时，，
解得：n=10．
点评：
本题考查图形规律性的变化；得到第n层正方体的个数的规律是解决本题的关键．

20．（10分）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？

考点：
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质。
专题：
几何综合题。
分析：
（1）根据旋转的性质可得出OC=OD，结合题意即可证得结论；
（2）结合（1）的结论可作出判断；
（3）找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答．
解答：
（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是等边三角形．

（2）答：当α=150°时，△AOD是直角三角形．
理由是：∵△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=150°，
又∵△COD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=90°，
即△AOD是直角三角形．

（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，
∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°，
∴190°﹣α=α﹣60°，
∴α=125°；
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．
∵∠OAD=180°﹣（∠AOD+∠ADO）=180°﹣（190°﹣α+α﹣60°）=50°，
∴α﹣60°=50°，
∴α=110°；
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．
∵∠OAD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，
∠AOD==120°﹣，
∴190°﹣α=120°﹣，
解得α=140°．
综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．

点评：
本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．

21．（10分）（2007•河北）甲、乙两支篮球队在集训期内进行了五场比赛，将比赛成绩进行统计后，绘制成如图1、图2的统计图．
（1）在图2中画出折线表示乙队在集训期内这五场比赛成绩的变化情况；
（2）已知甲队五场比赛成绩的平均分x甲=90分，请你计算乙队五场比赛成绩的平均分x乙；
（3）就这五场比赛，分别计算两队成绩的极差；
（4）如果从甲、乙两队中选派一支球队参加篮球锦标赛，根据上述统计，从平均分、折线的走势、获胜场数和极差四个方面分别进行简要分析，你认为选派哪支球队参赛更能取得好成绩？

考点：
条形统计图；折线统计图；算术平均数；极差。
专题：
图表型。
分析：
（1）根据条形统计图中的数据在图2中，正确描点连线即可；
（2）根据平均数=总成绩÷次数计算；
（3）找到各组数据的最大值和最小值，计算它们的差即是极差；
（4）结合平均数和极差两方面进行分析．
解答：
解：（1）如图：
（2）x乙=（110+90+83+87+80）÷5=90（分）；
（3）甲队成绩的极差是18（分），乙队成绩的极差是30（分）；
（4）从平均分看，两队的平均分相同，实力大体相当；从折线的走势看，甲队比赛成绩呈上升趋势，而乙队比赛成绩呈下降趋势；从获胜场数看，甲队胜三场，乙队胜两场，甲队成绩较好；从极差看，甲队比赛成绩比乙队比赛成绩波动小，甲队成绩较稳定．综上，选派甲队参赛更能取得好成绩．
点评：
熟练掌握对统计图的分析和平均数的计算．要理解极差的概念，能够根据计算的数据进行综合分析．

22．（10分）如图，直线y=kx+2k（k≠0）与x轴交于点B，与双曲线y=（m+5）x2m+1交于点A、C，其中点A在第一象限，点C在第三象限．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求B点的坐标；
（3）若S△AOB=2，求A点的坐标；
（4）在（3）的条件下，在x轴上是否存在点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：
反比例函数综合题。
专题：
开放型；分类讨论。
分析：
（1）根据双曲线函数的定义可以确定m的值；
（2）利用y=kx+2k当y=0时，x=2就知道B的坐标；
（3）根据（1）知道OB=2，而S△AOB=2，利用它们可以求出A的坐标；
（4）存在点P，使△AOP是等腰三角形．只是确定P坐标时，题目没有说明谁是腰，是底，所以要分类讨论，不要漏解．
解答：
解：（1）∵y=（m+5）x2m+1是双曲线
∴．
∴m=﹣1（2分）
∴（3分）

（2）∵直线y=kx+2k（k≠0）与x轴交于点B
∴当y=0时，0=kx+2k
∴x=﹣2（5分）
∴B（﹣2，0）（6分）

（3）∵B（﹣2，0）
∴OB=2（7分）
过A作AD⊥x轴于点D
∵点A在双曲线y=上，
∴设A（a，b）
∴ab=4，AD=b（8分）
又∵△AOB=OB•AD=×2b=2
∴b=2（9分）
∴a=2，
∴A（2，2）（10分）

（4）P1（2，0），P2（4，0），P3（﹣2，0），P4（2，0）．
（写对一个得一分）（14分）

点评：
此题考查了反比例函数的定义确定函数的解析式，也考查了利用函数的性质确定点的坐标，最后考查了根据图形变换求点的坐标．

23．（12分）等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=12，AD=4，∠B=60°，点P是腰AB上的一个动点．
（1）求BC的长．
（2）如图1，如果点M在BC上，BM=12，PM平分梯形ABCD的面积，求出此时PB的长；
（3）过点P作直线PM，是否存在PM将梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时PB的长；若不存在，请说明理由；

考点：
等腰梯形的性质；三角形的面积。
专题：
动点型。
分析：
（1）先过点A作AE⊥BC，DF⊥BC，根据AB=12，∠B=60°，得出AE的值，同理得出FC的值，即可求出BC的值；
（2）先作△PBM的高PG，根据等腰梯形ABCD的面积的值和PM平分梯形ABCD的面积，求出S△PBM的值，即可求出PG的值，再根据正弦定理即可求出PB的值；
（3）根据（2）所求出的值，求出梯形ABCD的周长，再根据PB和BM的值来进行判断，正好符合题意，得出结论存在符合题意的直线PM．
解答：
解：（1）过点A作AE⊥BC，DF⊥BC，
∵∠B=60°，AB=12，
∴sin60°=，
∴AE=6，
∴BE=6，同理可证：FC=6，
∴BC=BE+EF+FC=6+4+6=16；

（2）作△PBM的高PG，
∵等腰梯形ABCD的面积是：（AD+BC）•AE=×（4+16）×6=60
∵PM平分梯形ABCD的面积，
∴S△PBM=30，
∵BM=12，
∴PG=5，
∵∠B=60°，
∴PB=，
∴PB=10；

（3）当M在BC上时，梯形ABCD的周长是4+12+16+12=44，
∵PB=10，BM=12时PB+BM=22（符合题意），
PB=12，BM=10时 PB+BM=22（符合题意），
当M在DC上时（舍去），
当M在AD上（舍去），
则存在符合题意的直线PM．

点评：
此题主要考查学生对等腰梯形的性质及三角形的面积的掌握情况．难度适中，解题关键是掌握三角形的面积公式和等腰梯形的周长．

26
用心 爱心 专心