(有答案)常微分方程模拟题(浙江师范大学).doc

浙江师范大学 数理与信息工程学院
   模拟试题1
一、填空题: (每小题2分,共8分)
1. 方程的通解是 ① ;
2. 是全微分方程(恰当方程)的充要条件 ② ;
3. 方程的通解是 ③ ;
4. 方程 的特解可设为 ④ .

· 参考答案
o 1.  2.
o 3.    4.

二、是非判断题: (每小题2分,共12分)
1. 如果是微分方程组的复值解(这里、、都是实向量函数,是实矩阵函数),
那么是微分方程组的解;
2. 方程(是实数)的通解是;
3. 如果存在定负函数V(X),使得V通过方程组其中）的全导数定正,那么这个方程组的零解渐近稳定;
4. 方程(其中a(x),b(x),c(x)连续)可以有三个线性无关的解;
5. 如果、均为方程组的基解矩阵,那么必存在可逆常数矩阵C使得成立;
6. 方程=2 满足初始条件:x=0时y=0的解只有y=0 .

· 参考答案
o 1. ×, 2. ×, 3. √, 4. √, 5. √, 6.　 ×.
三、(24分)求解下列各方程:
1． =; 2. =;
3. ; 4. .

· 参考答案
o 1. =

通解为 或者 写成;
o 2. == = =
==,
即,通解为;
o 3. ,设,则==,
所以 ,即得通解;
o 4. x()2-2y( )+x=0 ,设,则,两边关于求导得
或 . 由得 ,
所以通解是,由得奇解 .
四、(20分)求下列各方程的通解:

1. ;
2. .

· 参考答案
o 1. 的通解是 ,设原方程的特解是,
将代入原方程得,
所以有 ,
所以原方程的通解是 ;
注:如果用常数变易法或利用辅助方程求解,则参照此解法给分.
o 2. 设 则原方程化为,(其中 ),
即 ,此方程通解是,所以原方程的通解是.
五、(14分)解方程组:

· 参考答案
o 由 =0 得 ,所以，特征值是 .
对于，设 (6分) 代入方程组可得
记,,则.
对于,可求得一特征向量.
因此,原方程的通解是 ,或者写成 .

六、(12分)已知微分方程,其中
g(x)=

试求一连续函数y=y(x),满足条件y(0)=0,且在区间内满足上述方程.

· 参考答案
o 1.当时,,所以,.由得;
当时,,所以,.因为y(x)在x=1连续,所以.
所以,所求函数是.
　　七、(10分)判断下列方程组的零解的稳定性:
1．
2．

· 参考答案
o 1. 一次近似方程是 ,
特征方程 ,,.
因为,特征根的实部都,
所以原方程组的零解是渐近稳定的.
o 2. 构造Lyapunov函数(定正),
则 定负,
因此,原方程组的零解是渐近稳定的.
     模拟试题2       
一．填空题：（第1小题4分，其它每小题3分，共25分）
1．方程是 阶是(非) 线性方程.
2．若方程（连续）是全微分方程，
则满足关系 .
3．李普希兹条件是保证初值问题 解唯一性的 条件.
4．对于一阶方程（p(x),q(x)∈C(a,b)）, 则其任一解的存在区间是 .
5．对于欧拉方程 ，只需作变换 ，即可将其化为常系数线性方程.
6．对于二阶方程，其由解所构成的Wronski行列式必为 .
7．对于常系数线性齐次方程组，若常系数矩阵A的特征根的实部都是负的，
则方程组的任一解当∞时 .
8．单摆运动方程可化为一阶方程组 .

· 参考答案
1. 三 ，非 2 ． 3．充分， 4．(a,b)， 5．，
o 6．常数 ， 7. 趋于零， 8. .
二．求解下述方程：（每小题6分，共42分）
1．
2．
3．
4.
5.
6.
7.

· 参考答案
o 1. (6分)
o 2. ，解为
o 3. 积分因子为，解为 (6分)；
o 4. 设(1分)，令，解为 (6分)；
o 5. （I）当，;
（II）当,不防设a>0,则方程的两个基本解为，易求得一个特解
所以此时方程的解为
o 6. x″+x=0的通解是 (2分)，
设原方程的特解是(4分)，
将代入原方程得 ，
所以有 ,
所以原方程的通解是
注：如果用常数变易法或利用辅助方程求解，则参照此解法给分
o 7. ,设，则（2分）.
所以，原方程化为
由得，因此得 （6分）
三．（本题11分）
1．何谓是线性齐次方程组的基解矩阵？
2．试求系数矩阵A=上述方程组的基解矩阵.
· 参考答案
o 1. 称是的基解矩阵，如果满足
（a） (b) .（4分）
o 2. 令，可求得（7分）
对于 由可取,
对于，由可取
对于，由可取
因此基解矩阵为.（11分）
四．讨论题：（本题12分）
研究方程
1． 当n=1, 方程是什么类型的方程？并求解之。
2． 当n=2, 方程是什么类型的方程?通过观察能否直接求出其解？
如何作变换将其化为可求解的类型，并具体求解之。
· 参考答案
o 1. 当 n=1 时，方程为线性非齐次方程，
其解为 （3分）
o 2. 当 n=2 时，方程为Riccati方程，通过观察，易知为其一特解（6分），
令（8分），代入原方程后可化简为 此为伯努里方程，
再令，则又可化为可求其解为，
因此原方程的解为 .
五．证明题：（本题10分）
设是方程的基本解组，则线性非齐次方程
满足初始条件的解可表为
（其中w 为解所成的Wronski行列式），试证明之.
· 参考答案
o 证明：设 为方程 （1）的两个线性无关解.
令 ，则（1）化为，其中 （3分）
则据常数变易公式，满足初始条件的解为,（6分）
其中
代入可算得 .
     模拟试题3     
一、填空题：（每小题3分，共21分）
1. 方程的阶数是 ① .
2. 方程的通解是 ② ；
3. 是方程的积分因子的充要条件是 ③ ；
4. 方程的通解是 ④ ；
5. 方程的特解可设为 ⑤ ；
6. 如果是某个二阶线性非齐次方程的特解，那么这个方程的通解是 ⑥ ；
7. 方程满足条件的解有 ⑦ 个.
· 参考答案
o 1. 三 ，
o 2．，
o 3．，
o 4． ，
o 5．,
o 6． ，
o 7.无穷多.
二、是非判断题：（每小题2分，共10分）
8. 如果是微分方程组的复值解（这里、、都是实向量函数，是实矩阵函数），
那么是微分方程组的解.
9. 方程（a是实数）的通解是.
10. 方程（其中连续）可以有三个线性无关的解.
11. 如果是n维方程组=A(t)X的基解矩阵，C是n阶可逆常数矩阵，那么C也是方程组=A(t)X的基解矩阵.
12. 方程= 2满足初始条件：x=0时y=0的解只有y=0.
· 参考答案
o 8. ×， 9. ×， 10 √， 11,√ 12,×.
三、（24分）求解下列各方程：
1. ；
2. =；
3. -=；
4. .
· 参考答案
o 1. =(3分) 通解为 或者写为 (6分)；
o 2. ==(3分) (6分)；
o 3. 设(2分)，则= (4分)，所以 ， 通解是(6分)；
o 4. 设(1分)，则，两边关于求导得

(4分)代入得
(5分)，所以通解是 (6分).
四、（18分）求下列各方程的通解：
1. ；
2. .
· 参考答案
o 1. 的通解是 (2分)，设原方程的特解是(4分)，
将代入原方程得 ，
所以有 ，以原方程的通解是 (6分).
注：如果用常数变易法或利用辅助方程求解，则参照此解法给分.
o 2. 设 (2分) 则原方程化为，（其中 ） (4分)，
此方程通解是，所以原方程的通解是 (6分).

五、（15分）
(1) 求方程组 , , 一基解矩阵；
(2) 利用常数变易法求方程组 +F(t) F(t)= ，满足初始条件 X（0）=的特解X(t).

· 参考答案

o (1) .
o (2) .
六、（12分）已知微分方程，其中

试求一连续函数，满足条件，且在区间 内满足上述方程.

· 参考答案

o 当时，，所以，.由得；
当时，，所以，.
因为在x=1连续，所以.
所以，所求函数是.
     模拟试题4       
一、填空题: (每小题3分,共21分)
1. 方程的阶数是 ① ;
2. 方程的满足条件的特解是 ② ;
3. 方程存在只与y有关的积分因子μ=μ(y)的充要条件是 ③ ;
4. 方程的通解是 ④ ;
5. 方程的特解可设为 ⑤ ;
6. 方程的特解可设为 ⑥ ;
7. 方程满足条件的解有 ⑦ 个.
· 参考答案
o 1. 三 , 2. , 3., 4. ,
o 5., 6., 7. 无穷多.
二、是非判断题: (每小题2分,共10分)
1. 如果是微分方程组的复值解(这里、、都是实向量函数,
是实矩阵函数),那么是微分方程组的解;
2. 方程(是实数)的通解是 ;

3. 方程y″+a(x)y′+b(x)y=c(x)(其中a(x)、b(x)、c(x)连续)最多有三个线性无关的解;
4. 如果Φ(t)是n维方程组的基解矩阵,C是n阶常数矩阵,那么Φ(t)C也是方程组的基解矩阵;
5. 对于常系数方程组X′= AX,若A的特征根的实部都是非正的,则方程组的任一解当时都趋于零.
· 参考答案
o 1.√, 2.×, 3.√, 4.×, 5.×.
三、求解下列各方程: (49分)
1. ;
2. ;
3. ;
4. .
5. x″+x=et;
6. ;
7. .
· 参考答案
o 1.;
2.
或者
;
3. 设，则 ,
所以，通解是 ;
4. ;
通解是 y=0也是解;
5. x″+x=0的通解是 ,设原方程的特解是,将代入原方程得
,所以有
所以原方程的通解是 ;
6. ,设 ,
则原方程化为,(其中 ),
的通解是,的通解是,
所以原方程的通解是 .
7. 的通解是.设,代入原方程得

所以,原方程的通解是
.
四、求方程组的基解矩阵,其中.(9分)
· 参考答案
o 因为

所以,特征值是 .
对于,解齐次方程组 得特征向量,
同理,对于,可求得特征向量.
因此,原方程的通解是,或者写成.
五、证明题:(11分)
1.(6分)给定方程,其中在上连续,设是上述方程的两个解,
证明极限存在.
2.(5分)设f(x)是已知的以ω为周期的连续函数,k是非0常数,
试证明方程有且仅有一个周期为ω的周期解,并求出这个周期解.
· 参考答案
o 1.证明:由条件知是线性齐次方程的解,
因为 的特征方程是 ,特征根是,
所以 的通解 ,
所以 ,从而极限 存在.
o 2. 证明:如果有两个以ω为周期的周期解,
则是齐线性方程的解,所以.
由于是以ω为周期的函数,所以c=0,即.
方程的通解是.
由得,所以.
因此,所求解是.
     模拟试题5       
一、填空题：(3′×10)
1．方程的通解为 .
2．形如 的方程叫做欧拉方程.
3．若方程组中矩阵有个互不相等的特征根λ1 ，λ2 ，…,λn，而是对应的特征向量，
则基解矩阵为Ф() =__________________.
4．阶非齐线性方程 + ＋…＋＋＝的通解等于 与 之和.
5．考虑定义在区间[a，b]上的函数, 如果存在 ，
使得恒等式 对于所有t∈[a,b]都成立，则说这些函数是线性相关的.
6．设函数组，则在区间上它们的伏朗斯基行列式是它们在区间上线性相关的 条件（填“充分”，“必要”或“充要”）.
7. 方程为恰当方程的充要条件是 .
8. 与方程组相对应的线性方程为 .
· 参考答案
o 1．.
o 2．.
o 3．.
o 4．它所对应的齐线性方程的通解，它本身的一个特解.
o 5. 不全为零的常数 , .
o 6. 必要.
o 7. .
o 8.
二、解方程（5′×4）
1．
2.
3.
4.
· 参考答案
o 1、，令，代入方程中得，令，则方程转化为，
两端积分得不为0；此外，也是解，
故原方程的通解为，即，为任意常数.
2．令，代入原方程得，且，故有，所以，所以原方程的通解为
3． 由于所以 . 于是有，
所以原方程的通解为 ，其中c为任意常数
4．对应的齐线性方程的通解为，
设代入原方程得，所以原方程的通解为 +.
三、解答题（本大题共15分，其中第一题7分）
1．已知，试求方程组的一个基解矩阵，并计算.
2．用比卡逐步逼近法求下列初值问题的解（其他方法不予计分）.
· 参考答案
o 1. 特征根为，对应的特征向量为

.
2. ,这里，所以在为中心的任何邻域内都满足解的存在唯一定理的条件，
故此初值问题的解存在且唯一，作比卡逐步逼近序列：

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
，由此取极限得： .
四、证明题
1．（10分）设 是n阶齐线性方程 的任意n个解，它们所构成的伏朗斯基行列式为W(t)，
证明：
(1) 满足
(2)
2．（10分）设为区间上的连续实矩阵，为方程的基解矩阵，而为其一解. 试证：
① 对于方程的任一解必有常数.
② 为方程的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵，使.
3．（15分）设是方程组的任意个解，试证明它们线性相关的充要条件是伏朗斯基行列式.
· 参考答案
o 1. 证明：(1) 设是n阶齐线性方程的任意n个解，它们所构成的伏朗斯基行列式为
，由行列式的求导公式得 .
把这个行列式的第1行、第2行、………第n行分别乘以后加到最后一行上，最后一行全部变成0，
所以 .
（2）当时，等式当然成立。当时，
，两端取到的定积分，
得化简即得 .
2. 证明: ①令，则有,因而有常数
②：若存在非奇异的常数矩阵C使得，求导得：

，这就说明是解矩阵
而，所以，所是基解矩阵
：若、分别是这两个方程的基解矩阵，则

所以，而，以为非奇异的常数矩阵.
3. 证明:相关存在不全为零的常数，使得恒成立
微分得由于常数不全零，
所以这个关于 得齐线性方程组由非零解，故有
=系数行列式=0
线性相关（见课本定理，证略）
     模拟试题6       
一、(3′×10)填空题:
1. 微分方程的阶数的是 ① .
2. 方程 的通解为 ② .
3. 方程 的奇解指的是 ③ .
4. 方程组的解矩阵为基解矩阵的充要条件是 ④ .
5. 常系数齐线性方程组中,若矩阵有个互不相等的特征根 ,
而 是这个特征根对应的特征向量,则方程组的基解矩阵为 = ⑤ .
6. 阶非齐线性方程 + ＋…＋＋＝的通解等于 ⑥ 与 ⑦ 之和.
7. 形如 的方程叫 ⑧ 方程.
8. 对,若有定正函数,则当为 ⑨ 时,零解为渐近稳定的.
9. 对于非线性方程,若Ａ的特征根的实部 ⑩ 时,其零解为不稳定.
· 参考答案
1． 1.未知函数最高次导数的次数, 2., 3.这个解的每个点上至少还有方程的另外一个解
4. 且, 5. , 6. 它所对应的齐线性方程的通解，它本身的一个特解.
7. 克莱罗, 8.定负函数, 9. 大于零.
二、解方程(8′×3)
1. ;
2. ;
3. .
· 参考答案
o 1. 提示:令,则 .方程的解为:;
2. ，令，则.方程的解为: ;
3. , 解为:.
三、判断下列方程在给定区域上是否满足解的存在唯一定理的条件(5′×2)
(1)、
(2)、R :
· 参考答案
o (1) 易验证满足解的存在唯一定理的条件
(2) 不满足,因为 当时,,所以 在区域R上不满足利普希斯条件,
四、确定下列方程组的奇点类型及稳定性(8′×2)
1、 2、
· 参考答案
o 1.鞍点 不稳定
o 2.稳定焦点,渐近稳定
五、证明题
1.(8′)设及连续,试证方程为线性方程的充要条件是它有仅倚赖于的积分因子.
2.(12′)设，，……, 是阶齐线性方程 + + ……+ + = 0 的任意个解,
它们所构成的伏朗斯基行列式为,试证明:
（1） W(t)满足;
（2） ,其中,.
· 参考答案
o 1. 证
必要性. 若方程为线性方程,则方程可写为.
令 ,由题意知,连续,所以方程有积分因子 ,仅依赖于x的积分因子.
充分性. 设方程有仅倚赖于的积分因子,即 为恰当方程,有

           上式右端仅为x的函数,令其为,积分上式,得 , 故该方程为线性方程.
o 2． 证明:
(1) 设是n阶齐线性方程的任意n个解,它们所构成的伏朗斯基行列式为
,由行列式的求导公式得 .
把这个行列式的第1行、第2行、……第n行分别乘以后加到最后一行上,最后一行全部变成0,
所以
(2) 当时,等式当然成立.当时,,
两端取 到 的定积分 ,得 化简即得 .
     模拟试题7      
一、填空题(3ˊ10):
1.给定微分方程,则它的通解为 ,过点的特解为 .
2.对于微分方程,作变换 ,可将它化为变量分离方程.
3.微分方程为全微分方程的充要条件是 .
4.克来罗方程的通解为 ,奇解为 .
5.已知常系数齐线性方程 的特征根为,则它的通解为 (用实函数表示).
6.已知常系数齐线性方程组 ,若矩阵的个特征根彼此互异,他们所对应的特征向量,
则方程组的基解矩阵 .
7.阶线性方程有复值解,
则其虚部是方程 的解.
8.与初值问题 等价的
阶线性方程的初值问题为 .

· 参考答案
o 1.,; 2. ; 3. ; 4., ,
5.,; 6 ;
7.;
8..
二、判断题(2ˊ5)
1.阶线性方程的通解包含了方程的一切解,因而方程没有奇解.
2.在解的存在唯一定理中,若满足利氏条件,则一定连续.
3.对于区间 上的连续函数 ,若它们构成的伏朗斯基行列式,则这个函数在区间上线性相关.
4.设线性无关的函数都是二阶非齐线性方程的解,
则原方程的通解可以表示为,其中为任意常数.
5.方程应该有一个形如特解,其中待定.

· 参考答案
o 1.×, 2.×, 3.√, 4.×, 5.×.
三、解下列微分方程(5ˊ4):
1.
2.
3.
4.

· 参考答案
o 1.积分因子为 ,通解为 .
2.先求解齐次方程:=0,,齐次方程通解:
取 ,代入原方程比较系数得:,
所以原方程通解:.
3.先求解齐次方程,齐次方程特征根(二重),
设,代入原方程得, 原方程的解为:.
4.设 ,得到K应满足的方程 ,因此,,方程的通解为
.
(以下四——七题每题十分):
四. 已知连续函数满足关系式,试求函数的表达式.

· 参考答案
o 提示:对关系式两边关于x求导,易得 , .
五.已知方程组 ,其中 ,求,并写出方程组的通解.

· 参考答案
o 由得特征根为,
由特征向量方程组,分别求得属于特征根的特征向量为 ,
所以基本解组为 .
标准基本解矩阵为
所以原方程组的通解为 .
六.设不是矩阵的特征值,证明:方程组c有一解形如m,其中c，m是常向量.

· 参考答案
o 证:设方程有形如=m的解,下面证明m是可以唯一确定的.
事实上,将m代入方程组,得,,又因为不是矩阵的特征值,即,所以存在,
于是由,得 ,即m是方程组唯一确定.故方程组有一解 .
七.若的个解,,……,在区间上线性无关,
则他们的伏朗斯基行列式在这个区间的任何点处都不等于零,即.
· 参考答案
o 证明:参见王高雄《常微分方程》P106.
   模拟试题8
一、填空题：（3′×10）
1、如果把函数带入微分方程后， ，则称函数为微分方程的解.
2、方程的通解为 .
3、方程的奇解指的是 .
4、方程组的解矩阵为基解矩阵的充要条件是 .
5. 方程组中矩阵有n个互不相等的特征根λ1 ，λ2 ，…,λn，而是对应的特征向量，
则基解矩阵为Ф(t)= .
6、方程为恰当方程的充要条件是 .
7、形如 的方程叫欧拉方程.
8、考虑定义在区间上的函数, 如果存在 ，
使得恒等式 对于都成立，则说这些函数是线性相关的.
9、设函数是方程 + ＋…＋＋＝0的解,
则 是方程 的解.

· 参考答案
o 1.能使它变为恒等式,
o 2.,
o 3. 这个解的每个点上至少还有方程的另外一个解,
o 4. , 5.
o 6. , 7. ,
o 8. 不全为0的常数; .
o 9. .
二、解方程（6′×6）
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. .
· 参考答案
o 1. 令, 则, 得,即, 从而通解为, 其中为任意常数.
o 2. , 令, 则, 再令, 得通解为,
从而通解为, 其中已经包括 , 这个特解.
o 3. , 则, 得到或者, 从而通解为或(其中均为任意常数).
o 4. 设, 则, 得到, 从而通解为 (为任意常数).
o 5. 当时, ,得到. 从而通解为或.
o 6. 首先判断存在只与有关的积分因子, 因为, 所以 ,
两边同乘以, 最后得到通解为.
三、（5′×2）
判断下列方程在给定区域上是否满足解的存在唯一定理的条件：
（1）、 = ;
（2）、= .

· 参考答案
1. 因为,,有 ,
从而存在满足条件,即满足存在唯一性定理的条件.
2. 不满足，因为 当时，，所以 在区域R上不满足利普希斯条件.
四、证明题
1．（10′）试验证方程为恰当方程并求其解.
2．（14′）设是n阶齐线性方程+ + ……+ + = 0的任意n个解，
它们所构成的伏朗斯基行列式为，证明：
⑴ 满足;
⑵ ，其中，.

· 参考答案
o 1.恰当方程易验证，解为 .
o 2. 证明：(1) 设是n阶齐线性方程的任意n个解，它们所构成的伏朗斯基行列式为
，由行列式的求导公式得 .
把这个行列式的第1行、第2行、………第n行分别乘以后加到最后一行上，最后一行全部变成0，
所以
（2）当时，等式当然成立。当时，
，两端取到的定积分，得化简即得
.

浙江师范大学 数理与信息工程学院