多面体旋转体.doc

多面体和旋转体

一. 教学内容：
1. 主要内容：多面体和旋转体
2. 考点分析：多面体和旋转体每年必考，不仅有直接求多面体和旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求几何体中某些元素或元素间的关系问题，近年来即使是考查空间线面位置关系的问题，也常以几何体为依托，该部分内容不仅在选择题、填空题中考，也在解答题中出现。解答题在高考中一直保持中档题的水平，近几年高考立体几何试题多采用一题多问的形式，降低了起点，分散了难点，既有证明，也有计算，一般要求学生先证后算，证明严谨、清楚，计算准确。

【典型例题】
例1.
三棱锥的体积。
分析：由题设

考查方向：考查三棱锥体积的常用求法。
分析一：
分析二：

分析三：割法、补法
解法一：（用公式法解）如图，作底面三角形顶角A的平分线AD，交BC于D，过P点作底面的垂线，垂足为O，由分析知射影O必在AD上，易知△ABC是正三角形，AB=2a，

解法二：（利用等积转换法解）在△PAB中

解法三：（用分割求积法解）

解法四：（用补形求积法解）延长AP到Q，使PQ=a，连结QB、QC，可得一个棱长为2a的正四面体

例2.

考查方向：不规则几何体体积的求法
分析：将不规则几何体割补成规则几何体是求其体积的基本方法。

证法一：

证法二：

小结：证法一运用了“分割”和“等积变形”的方法，将所求的几何体分割成三棱锥，然后运用三棱锥的顶点与底面的轮换，使问题得到解决，证法二引入了参数，使运算得到了简化。

例3. 已知圆锥外切于半径为1的球，求当圆锥体积最小时它的表面积。
考查方向：面积最值的求法。
分析：用一个变量把目标函数表示出来。
解法一：如图，作圆锥SO的轴截面，此时球的截面是该等腰三角形的内切圆

解法二：
SB=l

小结：解法一是应用二次函数求最值，解法二是用基本不等式法求最值。

例4. 四面体的一条棱长是x，其他各条棱长都是1。
（1）把四面体的体积V表示成x的函数f(x)；
（2）求f(x)的值域；
（3）求f(x)的单调区间。
考查方向：立体几何与函数的关系
解：（1）如图，设BC=x，则S到面ABC的垂足O是△ABC的外心

小结：讨论函数V(x)的性质要注意变量x的实际意义。

例5. 斜棱柱的底面是等腰三角形ABC，AB=AC=10，BC=12，棱柱顶点A1到A、B、C三点等距离，侧棱长是13，求它的侧面积。
解法一：

解法二：取BC中点D，则

选题目的：熟练求斜棱柱侧面积的两种解法，旨在培养和提高计算能力，并令学生体会良好的逻辑思维能力是达到正确熟练运算的基础。

例6. 如图，在半径为5cm的球面上有A、B、C三点，每两点间的距离分别是AB=6.4cm，BC=4.8cm，CA=8cm，求：
（1）过这三点的平面与球心O的距离。
（2）B、C两点间的球面距离。
（3）过O’O的球的直径PD的端点P与△ABC的三顶点组成的三棱锥P-ABC的侧面PBC与底面所成的二面角。

解：

故过这三点的平面和球心O的距离为3cm
（2）

【模拟试题】
1. 圆台两底半径分别是1和2，则这个圆台与截得它的圆锥的侧面积之比为（ ）。
A. 2：1 B. 1：2 C. 3：4 D. 1：4
2. 设正方体的全面积为，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（ ）
A. B. C. D.
3. 若干毫升的水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ）
A. B. C. D.
4. 三边长AB=5，BC=3，AC=4，设分别以此三边为轴，把旋转一周所得旋转体的体积为大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
5. 三棱锥的三条侧棱两两垂直，底面内一点到三个侧面的距离分别为2cm、3cm、6cm，则这点到三棱锥顶点的距离为____________。
6. ABCD是边长为1的正方形，E、F分别为BC、CD的中点，沿AE、EF、AF折成四面体，使C、B、D三点重合，那么这个四面体的体积等于__________。
7. 正方体的八个顶点中，有四个恰好为一个正四面体的顶点，那么正方体的表面积与这个正四面体的表面积之比是（ ）
A. B. C. D.
8. 在直径为AB=2的半圆上有一点P，过P的切线CD交BA延长线于P，交过B的切线于C，现以BD为轴旋转得一圆锥，求圆锥体积的最小值，并求取得最小值时此圆锥的高。
9. 如图，在正三棱柱各棱长都等于a，E是的中点，（I）求直线与平面所成角的正弦值；（II）求证：平面；（III）求点

【试题答案】
1. C
2. A 提示：球的直径=正方体的棱长
3. B 提示：利用体积相等
4. D 提示：注意弄清楚旋转所得的圆锥和圆锥的底面半径和高
5. 7 提示：构造长方体（长宽高分别为2、3、6），所求的距离为其对角线长。
6.
7. C
8. 解：设

当且仅当
取等号，这时

9. 解：（I）取

（III）由（II）知，
由三棱柱各棱长都等于a，则