直线倾斜角、斜率、斜率公式-直线方程的各种表示方法.docx

承接上次课：
倾斜角：当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角
关键：①直线向上方向；②轴的正方向；③小于平角的正角.
注意:当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度..
斜率：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.记为.
斜率公式：已知直线上两点的直线的斜率公式：.
例题1：如图，图中的直线、的斜率分别为k1, k2 ,k3,则( D )
A. k1< k2 <k3 B. k3< k1 <k2 C. k3< k2 <k1 D. k1< k3 <k2

例题2：若经过P（－2，m）和Q（m，4）的直线的斜率为1，则m=（ A ）
A、1 B、4 C、1或3 D、1或4

例题3：若A（3，－2），B（－9，4），C（x，0）三点共线，则x=（ B ）
A、1 B、－1 C、0 D、7

例题4：直线经过原点和（－1，1），则它的倾斜角为（ B ）
A、45° B、135° C、45°或135° D、－45°

例题5：若经过点P（1－，1＋）和Q（3，2）的直线的倾斜角为钝角，求实数的取值范围.
解：(-2,1)
学习小结：
1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是.
2.直线斜率的求法：⑴利用倾斜角的正切来求；⑵利用直线上两点的坐标来求；⑶当直线的倾斜角时，直线的斜率是不存在的
3．直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系：

直线的倾斜角
直线的斜率
直线的斜率公式
定 义

取值范围

题型一：已知两点坐标求直线斜率
例题1：经过下列两点直线的斜率是否存在，若存在，求其斜率
（1） (1,1)，(-1,-2) （2） (1,-1)，(-2,4) （3） (-2,-3)，(-2,3)

题型二：求直线的倾斜角
例题2：设直线L过坐标原点，它的倾斜角为，如果将L绕坐标远点按逆时针方向旋转，得到直线L1那么L1的倾斜角为 ( D )
A. B. C.
D.
例题3：变式：已知直线L1的倾斜角为，则L1关于x轴对称的直线L1的倾斜角=

题型三：斜率与倾斜角关系
例题4：当斜率k的范围如下时，求倾斜角的变化范围：

题型四：利用斜率判定三点共线
例题5：已知三点A（a,2），B（5,1），C（-4,2a）在同一条直线上，求a的值。

利用斜率相等即可
即AB的斜率=BC的斜率
用两点式计算斜率
(1-2)/(5-a)=(2a-1)/(-4-5)
(5-a)(2a-1)=9
-2a²+11a-5=9
2a²-11a+14=0
(2a-7)(a-2)=0
∴a=7/2 或a=2
题型五：平行于垂直的判定
例题6：已知A（1，-1），B（2,2），C（3,0）三点，求点D的坐标，使直线且CB//AD.

题型六：综合应用
例题7：变式：若三点A（3,1）,B(-2,k)，C（8,1）能够成三角形，求实数k的取值范围。
解：能够成三角形则不能共线
AC垂直y轴
是y=1
则k≠1
例题8：已知两点A（-3,4），B（3,2），过点P（2，-1）的直线L与线段AB有公共点，求直线L的斜率k的取值范围

例题1.下列命题正确的个数是 ( C )
1) 若a是直线L的倾斜角，则 2）若k是直线的斜率，则
3）任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率 4）任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角
A．1 B.2 C.3 D.4
例题2.直线L过, 两点，其中则 （ D ）
A.L与x轴垂直 B. L与y轴垂直 C.L过原点和一，三象限 D.L的倾斜角为
例题3.已知点,直线L的倾斜角是直线AB的倾斜角的一半，则L的斜率为 （ B ）
A.1 D.不存在
例题4.直线L经过二、三、四象限，L的倾斜角为a，斜率为k，则 （ B ）

例题5.若三点共线，则a= 2
例题6.已知四边形ABCD的顶点为,求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形。

解：有两种情况
1、AB//CD 角A=90=角D
（5-3）/（2-3）=(n-1)/(m-6)
2m+n=13
(n-5)/(m-2)=1/2
m=18/5
n=29/5
2、AD//BC 角A=90=角B
(n-5)/(m-2)=(3-1)/(3-6)=-2/3
2m+3n=19
(n-1)/(m-6)=3/2
3m-2n=16
m=86/13
n=25/13
两直线平行与垂直的判定 ：
平行：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即=
垂直：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直.
即
学习小结：
1．或的斜率都不存在且不重合.
2．或且的斜率不存在，或且的斜率不存在.

直线的点斜式方程：
直线的点斜式方程：已知直线经过点，且斜率为，则方程为直线的点斜式方程.

直线的斜截式方程：直线与轴交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距.直线叫做直线的斜截式方程.

例题1、过点(5，2)且在两坐标轴截距相等的直线方程是__2x-5y=0或y-2=-(x-5)__．
例题2、经过点并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程。

直线的两点式方程：
直线的两点式方程：已知直线上两点且，则通过这两点的直线方程为，由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程
直线的截距式方程.：已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，其中，则直线的方程叫做直线的截距式方程.

例题1、已知直线经过两点,求直线的方程.

例题2、已知两点其中，求通过这两点的直线方程。

例题3、 已知三角形的三个顶点A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。
解：

直线BC：
(y＋3)/(y－2)＝(x－3)/(x－0)
即5x＋3y－6＝0
直线BC的中点坐标：
x＝(3＋0)/2＝3/2
y＝(－3＋2)/2＝－1/2
即点(3/2,－1/2)
直线BC边中线所在的直线方程：
(y－0)/(y＋1/2)＝(x＋5)/(x－3/2)
即x＋13y＋5＝0
学习小结：
1．直线方程的各种形式总结为如下表格：
直线名称
已知条件
直线方程
使用范围
点斜式

k存在
斜截式

k存在
两点式
（

截距式

2.中点坐标公式:已知,则AB的中点,则.

例题1、过点P(2，1）作直线交正半轴于AB两点，当取到最小值时，求直线的方程.

直线的一般式方程：
直线的一般式方程：关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式
例题1、在方程中，A，B，C为何值时，方程表示的直线
（1）平行于轴；（2）平行于轴；（3）与轴重合；（4）与重合。

解：（1）A=0且B≠0且C≠0（2）B=0且A≠0且C≠0
（3）A=0且B≠0且C=0 （4）B=0且A≠0且C=0

例题2、根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：
⑴ 斜率是，经过点；
⑵ 经过点，平行于轴；
⑶ 在轴和轴上的截距分别是；
⑷ 经过两点.
解：（1）
（2）
（3）
（4）
两条直线的交点坐标：
已知方程组 A1x＋B1y＋C1=0 （1）
A2x＋B2y＋C2= 0 （2）
当A1，A2，B1，B2全不为零时，方程组的解的各种情况分别对应的两条直线的位置关系
解：在直线上
另（1）×B2－（2）×B1得（A1B2－A2B1）x=B1C2－B2C1
1、当A1B2－A2B1≠0时，方程组有唯一解，相交:且当时，两直线垂直
2、 当A1B2－A2B1=0，B1C2－B2C1≠0 时，方程组无解，平行
3、 当A1B2－A2B1=0，B1C2－B2C1=0时，方程组有无穷多解，重合

例题1、判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标：
（1）l1：x－y＝0，　　　　 l2：3x＋3y－10＝0
（2）l1：3x－y＋4＝0，　　l2：6x－2y＝0
（3）l1：3x＋4y－5＝0，　 l2：6x＋8y－10＝0
解：（1）相交交点坐标；
（2）平行，无交点
（3）同一条直线，无穷多解

例题2、求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－7=0的交点，且垂直于直线x+3y－5=0的直线方程
解：解法一：解方程组
∴这两条直线的交点坐标为（3，-1）又∵直线x+2y－5=0的斜率是－1/3
∴所求直线的斜率是3，所求直线方程为y+1=3（x－3）即 3x－y－10=0
解法二：所求直线在直线系2x－y－7+λ（x+2y－1）=0中
经整理，可得（2+λ）x+（2λ－1）y－λ－7=0
解得 λ= 1/7因此，所求直线方程为3x－y－10=0
两点间的距离：
两点之间距离公式：已知平面上两点，则.
特殊地：与原点的距离为.
点到直线的距离:已知点和直线，则点到直线的距离为：.
注意：⑴点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离；
⑵在运用公式时，直线的方程要先化为一般式
平行线间的距离：已知两条平行线直线，
，则与的距离为
注意：应用此公式应注意如下两点：（1）把直线方程化为一般式方程；（2）使的系数相等.
例题1、已知点P(x0，y0)，直线l：Ax+C=0，求点P到直线的距离．

例题2、已知点P(x0，y0)，直线l：By+C=0，求点P到直线的距离．

例题3、已知点P(x0，y0)，直线l：Ax+By+C=0，求点P到直线的距离．

例题4、点P(3,-2)到直线 的距离为

例题5、两条平行线 与 间的距离是

例题6、求平行线2x－7y＋8=0和2x－7y－6=0的距离．
解：在直线2x－7y－6=0上任取点P(x0，y0)，则2 x0－7 y0－6=0，点P(x0，y0)到直线2x－7y＋8=0的距离是

 例题7、直线经过原点，且点M(5,0)到直线 l 的距离等于3，求l 的方程
解 ： 3x±4y=0
例题8、直线l 过点（1，2）且两点（2，-3）,（4，-5）到l 的距离相等，求l 的方程
解：x+y-3=0或3x+y-5=0
例题9、△ABC的一个顶点是A（3，-1）， ∠B, ∠C的内角平分线所在的直线方程分别为x=0和y=x,求顶点B、C坐标·。
解：A点关于x=0的对称点为(-3,-1), A点关于y=x的对称点为(-1,3)都在BC上
BC的方程为x-2y+1=0所以B(0,0.5)、C(1,1)

例题10、已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求△ABC的面积
解：

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