直线倾斜角、斜率、斜率公式-直线方程的各种表示方法.docx

承接上次课：倾斜角：当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角关键：直线向上方向；轴的正方向；小于平角的正角.注意:当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.斜率：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.记为.斜率公式：已知直线上两点的直线的斜率公式：.例题1：如图，图中的直线、的斜率分别为k1, k2 ,k3,则( D )A. k1 k2 k3 B. k3 k1 k2 C. k3 k2 k1 D. k1 k3 k2例题2：若经过P（2，m）和Q（m，4）的直线的斜率为1，则m=（ A ）A、1 B、4 C、1或3 D、1或4例题3：若A（3，2），B（9，4），C（x，0）三点共线，则x=（ B ）A、1 B、1 C、0 D、7例题4：直线经过原点和（1，1），则它的倾斜角为（ B ）A、45 B、135 C、45或135 D、45例题5：若经过点P（1，1）和Q（3，2）的直线的倾斜角为钝角，求实数的取值范围.解：(-2,1)学习小结：1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是.2.直线斜率的求法：利用倾斜角的正切来求；利用直线上两点的坐标来求；当直线的倾斜角时，直线的斜率是不存在的3直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系：直线的倾斜角直线的斜率直线的斜率公式定 义取值范围题型一：已知两点坐标求直线斜率例题1：经过下列两点直线的斜率是否存在，若存在，求其斜率（1） (1,1)，(-1,-2) （2） (1,-1)，(-2,4) （3） (-2,-3)，(-2,3)题型二：求直线的倾斜角例题2：设直线L过坐标原点，它的倾斜角为，如果将L绕坐标远点按逆时针方向旋转，得到直线L1那么L1的倾斜角为 ( D ) A. B. C. D.例题3：变式：已知直线L1的倾斜角为，则L1关于x轴对称的直线L1的倾斜角= 题型三：斜率与倾斜角关系例题4：当斜率k的范围如下时，求倾斜角的变化范围： 题型四：利用斜率判定三点共线例题5：已知三点A（a,2），B（5,1），C（-4,2a）在同一条直线上，求a的值。利用斜率相等即可即AB的斜率=BC的斜率用两点式计算斜率(1-2)/(5-a)=(2a-1)/(-4-5)(5-a)(2a-1)=9-2a+11a-5=92a-11a+14=0(2a-7)(a-2)=0a=7/2 或a=2题型五：平行于垂直的判定例题6：已知A（1，-1），B（2,2），C（3,0）三点，求点D的坐标，使直线且CB/AD.题型六：综合应用例题7：变式：若三点A（3,1）,B(-2,k)，C（8,1）能够成三角形，求实数k的取值范围。解：能够成三角形则不能共线AC垂直y轴是y=1则k1例题8：已知两点A（-3,4），B（3,2），过点P（2，-1）的直线L与线段AB有公共点，求直线L的斜率k的取值范围例题1.下列命题正确的个数是 ( C )1) 若a是直线L的倾斜角，则 2）若k是直线的斜率，则3）任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率 4）任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角A1 B.2 C.3 D.4例题2.直线L过, 两点，其中则 （ D ）A.L与x轴垂直 B. L与y轴垂直 C.L过原点和一，三象限 D.L的倾斜角为例题3.已知点,直线L的倾斜角是直线AB的倾斜角的一半，则L的斜率为 （ B ） A.1 D.不存在例题4.直线L经过二、三、四象限，L的倾斜角为a，斜率为k，则 （ B ） 例题5.若三点共线，则a= 2 例题6.已知四边形ABCD的顶点为,求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形。解：有两种情况1、AB/CD 角A=90=角D（5-3）/（2-3）=(n-1)/(m-6)2m+n=13(n-5)/(m-2)=1/2m=18/5n=29/52、AD/BC 角A=90=角B(n-5)/(m-2)=(3-1)/(3-6)=-2/32m+3n=19(n-1)/(m-6)=3/23m-2n=16m=86/13n=25/13两直线平行与垂直的判定 ：平行：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即=垂直：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直.即学习小结：1或的斜率都不存在且不重合.2或且的斜率不存在，或且的斜率不存在.直线的点斜式方程：直线的点斜式方程：已知直线经过点，且斜率为，则方程为直线的点斜式方程.直线的斜截式方程：直线与轴交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距.直线叫做直线的斜截式方程.例题1、过点(5，2)且在两坐标轴截距相等的直线方程是_2x-5y=0或y-2=-(x-5)_例题2、经过点并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程。直线的两点式方程：直线的两点式方程：已知直线上两点且，则通过这两点的直线方程为，由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程直线的截距式方程.：已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，其中，则直线的方程叫做直线的截距式方程.例题1、已知直线经过两点,求直线的方程.例题2、已知两点其中，求通过这两点的直线方程。 例题3、 已知三角形的三个顶点A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。解：直线BC：(y3)/(y2)(x3)/(x0)即5x3y60直线BC的中点坐标：x(30)/23/2y(32)/21/2即点(3/2,1/2)直线BC边中线所在的直线方程：(y0)/(y1/2)(x5)/(x3/2)即x13y50学习小结：1直线方程的各种形式总结为如下表格：直线名称已知条件直线方程使用范围点斜式k存在斜截式k存在两点式（截距式2.中点坐标公式:已知,则AB的中点,则.例题1、过点P(2，1）作直线交正半轴于AB两点，当取到最小值时，求直线的方程.直线的一般式方程：直线的一般式方程：关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式例题1、在方程中，A，B，C为何值时，方程表示的直线（1）平行于轴；（2）平行于轴；（3）与轴重合；（4）与重合。解：（1）A=0且B0且C0（2）B=0且A0且C0（3）A=0且B0且C=0 （4）B=0且A0且C=0例题2、根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式： 斜率是，经过点； 经过点，平行于轴； 在轴和轴上的截距分别是； 经过两点.解：（1）（2）（3）（4）两条直线的交点坐标：已知方程组 A1xB1yC1=0 （1）A2xB2yC2= 0 （2） 当A1，A2，B1，B2全不为零时，方程组的解的各种情况分别对应的两条直线的位置关系解：在直线上另（1）B2（2）B1得（A1B2A2B1）x=B1C2B2C11、当A1B2A2B10时，方程组有唯一解，相交:且当时，两直线垂直2、 当A1B2A2B1=0，B1C2B2C10 时，方程组无解，平行3、 当A1B2A2B1=0，B1C2B2C1=0时，方程组有无穷多解，重合例题1、判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标：（1）l1：xy0， l2：3x3y100（2）l1：3xy40，l2：6x2y0（3）l1：3x4y50， l2：6x8y100解：（1）相交交点坐标；（2）平行，无交点（3）同一条直线，无穷多解例题2、求经过两条直线x+2y1=0和2xy7=0的交点，且垂直于直线x+3y5=0的直线方程解：解法一：解方程组这两条直线的交点坐标为（3，-1）又直线x+2y5=0的斜率是1/3所求直线的斜率是3，所求直线方程为y+1=3（x3）即 3xy10=0解法二：所求直线在直线系2xy7+（x+2y1）=0中经整理，可得（2+）x+（21）y7=0解得 = 1/7因此，所求直线方程为3xy10=0两点间的距离：两点之间距离公式：已知平面上两点，则.特殊地：与原点的距离为.点到直线的距离:已知点和直线，则点到直线的距离为：.注意：点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离；在运用公式时，直线的方程要先化为一般式平行线间的距离：已知两条平行线直线，则与的距离为注意：应用此公式应注意如下两点：（1）把直线方程化为一般式方程；（2）使的系数相等.例题1、已知点P(x0，y0)，直线l：Ax+C=0，求点P到直线的距离例题2、已知点P(x0，y0)，直线l：By+C=0，求点P到直线的距离例题3、已知点P(x0，y0)，直线l：Ax+By+C=0，求点P到直线的距离例题4、点P(3,-2)到直线 的距离为 例题5、两条平行线 与 间的距离是 例题6、求平行线2x7y8=0和2x7y6=0的距离解：在直线2x7y6=0上任取点P(x0，y0)，则2 x07 y06=0，点P(x0，y0)到直线2x7y8=0的距离是例题7、直线经过原点，且点M(5,0)到直线 l 的距离等于3，求l 的方程解 ： 3x4y=0例题8、直线l 过点（1，2）且两点（2，-3）,（4，-5）到l 的距离相等，求l 的方程解：x+y-3=0或3x+y-5=0例题9、ABC的一个顶点是A（3，-1）， B, C的内角平分线所在的直线方程分别为x=0和y=x,求顶点B、C坐标。解：A点关于x=0的对称点为(-3,-1), A点关于y=x的对称点为(-1,3)都在BC上BC的方程为x-2y+1=0所以B(0,0.5)、C(1,1)例题10、已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求ABC的面积解：第 13 页 共 13 页