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参数方程

目标认知
学习目标：
　　1.了解参数方程，了解参数的意义，能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程；
　　2.了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程，了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用。

重点、难点：
　　理解参数方程的概念及转化方法，重点掌握直线和圆的参数方程及椭圆的参数方程，并能利用它们解决一些应用问题；以及利用参数建立点的轨迹方程。

知识要点梳理:
知识点一：参数方程
　　1. 1. 概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数：
　　，并且对于的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数（简称参数）.
　　相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。
　　2. 把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方法有：代入消法 ；加减消参；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等.
　　把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性， 注意方程中的参数的变化范围。互化时，必须使坐标x, y的取值范围在互化前后保持不变，否则，互化就是不等价的。

知识点二：常见曲线的参数方程
1．直线的参数方程
　　（1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为：
　　（为参数）；
　　其中参数的几何意义：，有，即表示直线上任一点M到定点的距离。（当在上方时，，在下方时，)。

　　（2）过定点，且其斜率为的直线的参数方程为：
　　（为参数，为为常数，）；
　　其中的几何意义为：若是直线上一点，则。
　　（3）若直线l的倾角a=0时，直线l的参数方程为.

2．圆的参数方程
　　（1）已知圆心为，半径为的圆的参数方程为：
　　（是参数，）；
　　特别地当圆心在原点时，其参数方程为（是参数）。
　　（2）参数的几何意义为：由轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。

　　（3）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。

3. 椭圆的参数方程
　　（1）椭圆（）的参数方程（为参数）。
　　（2）参数的几何意义是椭圆上某一点的离心角。如图中，点对应的角为（过作轴，交大圆即以为直径的圆于），切不可认为是。

　　（3）从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。椭圆上任意一点可设成，为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。

4. 双曲线的参数方程
　　双曲线（,）的参数方程为（为参数）。

5. 抛物线的参数方程
　　抛物线()的参数方程为（是参数）。
　　参数的几何意义为：抛物线上一点与其顶点连线的斜率的倒数，即。

6. 圆的渐开线与摆线的参数方程：
　　（1）圆的渐开线的参数方程（是参数）；
　　（2）摆线的参数方程 （是参数）。

规律方法指导
　　1.参数方程作为选考内容，试题内容涉及参数方程与普通方程的互化，直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及在解题中的应用中。由于该内容在高考试题的特殊位置，仅以填空题的形式出现一般为容易题或中等题。以考察基础知识，基本运算为主。
　　2. 加强消参的技巧性学习，注意等价性，消参常用的方法有代入法、三角法、加减法等。
　　3.从数的角度理解，圆与椭圆的参数方程实际上是一组三角代换，为解决有关圆、椭圆问题提供了一条新的途径.

经典例题精析
类型一：参数方程与普通方程互化
　　1.已知圆的方程是，将它表示为圆的参数方程形式。
　　思路点拨: 将圆的方程配方得圆的标准方程，然后利用平方和公式进行三角代换转化为参数方程。
　　解析：配方得圆的标准方程
　　　　　令 ， 得圆的参数方程为（q为参数）.
　　总结升华：
　　圆与椭圆的普通方程转化为圆与椭圆的参数方程一般都是利用进行三角代换。
　　举一反三：
　　【变式】化普通方程为参数方程。
　　（1）　　　　　 （2）
　　【答案】：（1）配方得圆的标准方程，
　　　　　　　　　 令 ， 得圆的参数方程为（q为参数）.
　　　　　　　（2）变形得，令，
　　　　　　　　　 得椭圆的参数方程为（q为参数）.

　　2．把参数方程化为普通方程
　　(1) (，为参数)；　　　　(2) (，为参数）；
　　(3) 　(,为参数)； 　　　　　　 (4) (为参数).
　　思路点拨:
　　（1）将第二个式子变形后，把第一个式子代入消参；
　　（2）利用三角恒等式进行消参；
　　（3）观察式子的结构，注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法；或把用表示，反解出后再代入另一表达式即可消参；
　　（4）此题是（3）题的变式，仅仅是把换成而已，因而消参方法依旧，但需要注意、的范围。
　　解析：（1）∵，把代入得；
　　　　　　　 又∵ ,, ∴,,
　　　　　　　 ∴ 所求方程为：(,)
　　　　　（2）∵,把代入得.
　　　　　　　 又∵，
　　　　　　　 ∴ ,. ∴ 所求方程为(,).
　　　　　（3）（法一）：,
　　　　　　　 　　　　　又，,
　　　　　　　 　　　　　∴ 所求方程为(,).
　　　　　　　 （法二）：由得,代入,
　　　　　　　 　　　　　∴（余略）.
　　　　　（4） 由 得, ∴,由得,
　　　　　　　　当时，；当时，，从而.
　　　　　　　　法一:，
　　　　　　　　　　 即（），故所求方程为（）
　　　　　　　　法二: 由 得，代入得，即
　　　　　　　　　　　∴再将代入得，化简得.
　　总结升华：
　　1. 消参的方法主要有代入消参，加减消参，比值消参，平方消参，利用恒等式消参等。
　　2.消参过程中应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出、的范围.在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法.

　　举一反三：
　　【变式1】化参数方程为普通方程。
　　（1）(t为参数) ； （2）（t为参数）.
　　【答案】：（1）由得，代入化简得.
∵, ∴,.
故所求方程为（，）
　（2）两个式子相除得，代入得，即.
　　　　　　　　　 ∵ ，故所求方程为().

　　【变式2】（1）圆的半径为_________ ；
　　　　　　 （2）参数方程(表示的曲线为（ ）。
　　A、双曲线一支，且过点　　　　　　　　B、抛物线的一部分，且过点
　　C、双曲线一支，且过点 　　　　　　　D、抛物线的一部分，且过点
　　【答案】：
　　（1）

　　　　 其中，，∴ 半径为5。
　　（2），且，因而选B。

　　【变式3】（1）直线: (t为参数)的倾斜角为（ ）。
　　A、 　　 B、 　　　C、　　　　 D、

　　　　　　 （2）为锐角，直线的倾斜角（ 　　 ）。
　　A、 　　　　　B、 　　　　　C、 　　　　　D、
　　【答案】：
　　（1），相除得，∴倾斜角为，选C。
　　（2），相除得，
　　∵，∴ 倾角为，选C。

　　3．已知曲线的参数方程（、为常数）。
　　（1）当为常数()，为参数()时，说明曲线的类型；
　　（2）当为常数且，为参数时，说明曲线的类型。
　　思路点拨:通过消参，化为普通方程，再做判断。
　　解析：（1）方程可变形为（为参数，为常数）
　　　　　　　　取两式的平方和，得
　　　　　　　　曲线是以为圆心，为半径的圆。
　　 　　 （2）方程变形为（为参数，为常数）,
　　　　　　　 两式相除，可得，即,
　　　　　　　 曲线是过点且斜率的直线。
　　总结升华：从本例可以看出：某曲线的参数方程形式完全相同，但选定不同的字母为参数，则表示的意义也不相同，表示不同曲线。因此在表示曲线的参数方程时，一般应标明选定的字母参数。

　　举一反三：
　　【变式1】已知椭圆的参数方程为（为参数），求出此椭圆的长轴长，短轴长，焦点坐标，离心率和准线方程.
　　【答案】：由题意得:,, 得. ∴, .即:
　　　　　　　椭圆的长轴长为26，短轴长为10，焦点坐标为(0,-12)和(0,12)，离心率为，
　　　　　　　准线方程为：和.

　　【变式2】已知曲线C的参数方程为（t为参数）
　　（1）判断点P1（1，2），P2（0，1）与曲线C的位置关系
　　（2）点Q(2,a)在曲线l上，求a的值.
　　（3）化为普通方程，并作图
　　（4）若t≥0， 化为普通方程，并作图.
　　【答案】：（1）若点P在曲线上，则可以用参数t表示出x, y，即可以求出相应t值.
　　　　　　　　　 所以，令， ∴t无解，∴ 点P1不在曲线C上.
　　　　　　　　　 同理，令 ，　　∴ 点P2在曲线C上.
　　　　　　　（2）∵Q在曲线C上， ∴ .
　　　　　　　（3）将代入y=3t2+1,如图.

　　　　　　　（4）∵t≥0, ∴ x=2t≥0, y=3t2+1≥1,　消去t，，
　　　　　　　　　 ∴ t≥0时，曲线C的普通方程为(x≥0, y≥1).

　　点评:在（4）中，曲线C的普通方程的范围也可以只写出x≥0, 但不能写成y≥1，这是因为是关于x的自变量，y为因变量的函数，由x的范围可以确定y的取值范围，但反过来不行.即:所得曲线方程为y=f(x)或x=g(y)形式时，可以只写出自变量的范围，但对于非函数形式的方程，即F(x,y)=0，一般来说，x,y的范围都应标注出来.

　　【变式3】已知圆锥曲线方程为。
　　（1）若为参数，为常数，求此曲线的焦点到准线距离。
　　（2）若为参数，为常数，求此曲线的离心率。
　　【答案】：（1）方程可化为
　　 　　　　　　　消去,得：
　　 　　　　　　　∴曲线是抛物线，焦点到准线距离即为。
　　 　　　　 （2）方程化为，
　　 　　　　　　　消去，得，
　　 　　　　　　　∴曲线为椭圆，其中，，，从而。

类型二：圆渐开线以及摆线
　　4.已知圆渐开线的参数方程是，则基圆面积是_______。
　　解析：，面积为16

　　举一反三：
　　【变式1】半径为10的基圆的渐开线方程是___________;
　　【答案】：（为参数）

　　[变式2]摆线的参数方程为，则一个拱的宽度是_________，高度是_________。
　　【答案】：半径，一个拱宽度为一个圆的周长为16，高度为直径16

类型三：求最值
　　5.P是椭圆上的点，求P到直线的距离的最大值与最小值，并求出达到最值时P点的坐标.
　　思路点拨: 利用参数方程求最值。
　　解析：∵点P是椭圆上的点，∴ 可设，q?[0，2p].
　　 　　　P到l的距离.
　　 　　　当时，即时，，此时P点坐标为.
　　 　　　当即 时，，此时P点坐标为.
　　总结升华：利用参数方程求最值是很常见的一种方法，利用参数方程结合三角函数知识可以较简洁地解决问题。

　　举一反三：
　　【变式1】求椭圆上的点到直线:的最小距离及相应的点的坐标。
　　【答案】：设到的距离为，则

　　　　　　　（当且仅当即时取等号）。
　　　　　　　∴点到直线的最小距离为，此时点，即。

　　【变式2】圆上到直线的距离为的点共有_______个.
　　【答案】：已知圆方程为，
　　　　　　　设其参数方程为（）
　　　　　　　则圆上的点到直线的距离为

　　　　　　　，即，
　　　　　　　∴或
　　　　　　　又，∴，从而满足要求的点一共有三个.

　　【变式3】椭圆内接矩形面积的最大值为_____________.
　　【答案】：设椭圆上第一象限的点，则

　　　　　　　当且仅当时，取最大值，此时点.

　　【变式4】已知实数x, y满足,
　　求:（1）x2+y2的最大值 （2）x+y的最小值.
　　【答案】：原方程配方得，表示以为圆心，2为半径的圆.
　　　　　　　用参数方程表示为: （q为参数，0≤q≤2p）.
　　　（1）
　　 　　　∴当，即时，(x2+y2)max=16.
　　　（2）
　　　　　 ∴当， 即时，.
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