八下经典题型.docx

期中复习（1）
二次根式知识要点 知识点一：二次根式的概念形如的式子叫做二次根式。
下列各式一定是二次根式的是（ ）A. B. C. D.
知识点二：最简二次根式： 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
　(1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
下列各式不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D.
知识点三：同类二次根式
化成最简二次根式后的被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式。
与不是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
知识点四：二次根式有意义的条件
2、x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）－； （2）－；
（3）； （4）
知识点五：二次根式的性质
①双重非负性; ②;
③ (字母从根号中开出来时要带绝对值
再根据具体情况判断是否需要讨论)
注：如果，则；如果，则
已知：为实数，且，化简：
一、利用进行因式分解
在实数范围内因式分解
（1） ； (2) 2+2+13； （3）
二、利用二次根式的性质进行化简、计算
4、根据下列条件，求字母x的取值范围：
（1）；（2）；（3）＝1－x ；

6、　　

三、把根号外的因式移到根号内
如果要移到根号内的因式是负的，需要将负号留在根号外
7、练习： ；

注：此种类型的题关键是符号问题。
四、若干非负数之和为0的问题
8、若实数a、b、c、满足，求abc的值。

9、已知的值。

知识点六、分母有理化
12、已知， ，求的值。

知识点七、比较大小
比较二次根式大小常用方法的有平方法、作差法、倒数法。
常见的比较大小的题目有：
； ；

综合应用
1.计算

2. 已知，求的值。
G
A1
D
A
B
C

勾股定理
与勾股定理有关的图形问题
1． 已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是 ．

2．在直线上依次摆着七个正方形(如图)，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______ ___．
3．如图，△ABC中，∠C＝90°，
(1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形(如图①)，探究S1＋S2与S3的关系；
(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图②)，探究S1＋S2与S3的关系；
(3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③)，探究S1＋S2与S3的关系．

图① 图② 图③

4、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ．

三、关于翻折问题
1、如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠，使AD落在对角线BD上，得折痕DG，若AB = 2，BC = 1，求AG.

2、如图，一张矩形纸片ABCD的长AD=9㎝，宽AB=3㎝。现将其折叠，使点D与点B重合。求折叠后BE的长和折痕EF的长。

3、如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.

四、关于最短性问题
1：如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？
A
B
5
3
1

2. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，
A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？

3、如图，一个高18m，周长5m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？(建议：拿张白纸动手操作，你一定会发现其中的奥妙)

五、关于勾股定理判定三角形形状
1：已知△ABC的三边a、b、c，且a+b=17，ab=60，c=13, △ABC是否是直角三角形？你能说明理由吗？

3、 在等腰直角三角形ABC的斜边AB上取两点M,N，使∠MCN=45°，记AM=m，MN=x，BN=n。试判断以
x，m，n为边长的三角形的形状。

七、关于勾股定理的相关证明
1、如图，在△ABC中，AB=AC,P为BC上任意一点，求证:

四边形
第1题图
1．如图，点E、F分别在的边DC、CB上，且AE=AF，DG⊥AF，BH⊥AE，G、H是垂足．求证：DG=BH．

第2题图1
第2题图2
2．已知ABCD的周长为52，自顶点D作DE⊥AB，DF⊥BC，E、F为垂足，若DE=5，DF=8，求BE+BF的值．

第3题图1
3．在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,P是AD边上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF= ．
第3题图2

图3（2）
3．（1）如图3(1)(2)，已知⊿ABD,⊿BCE,⊿ACF是等边三角形，求证：四边形ADEF是平行四边形.
图41（1）

图3（3）
(2)如图3(3)，已知⊿ABC,以AB、AC为边分别作等边三角形⊿ABD,⊿ACF，再以AD、AF为邻边作平行四边形ADEF，求证：三角形BCE是等边三角形.

（3）如图3(4)，已知⊿ABD,⊿BCE是等边三角形，A,F是CE，EB上一点，且CA=EB，求证：四边形ADFC是平行四边形.
图3（4）

4、（2007浙江台州）把正方形绕着点，按顺时针方向旋转得到正方形，边与交于点（如图）．试问线段与线段相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．
D
C
A
B
G
H
F
E
第4题图
D
C
A
B
G
H
F
E
第4题图

5、（江苏扬州）如图，正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，边与交于点．
G
D
O
C
F
E
B
A
第5题图
（1）以图中已标字母的点为端点连结两条线段（正方形的对角线除外），要求所连结的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由；（2）若正方形的边长为，重叠部分（四边形）的面积为，求旋转的角度．

第6题图
6．（2007甘肃陇南）四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．
（1）求证：AE=CG；
（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．

A
B
C
D
M
N
E
第7题图

7．（2007淄博）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC
外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形
ADCE是一个正方形？并给出证明．

8．（2007四川资阳）如图47(1)，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F.
(1) 求证：BP=DP；
(2) 如图47(2)，若四边形PECF绕点C旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请证明之；若不是，请举出反例；
(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在旋转的过程中长度始终相等，并证明之.
第8题图2
第8题图1

特殊平行四边形训练题

1、（2013•包头）如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（　　）

A．
S1＞S2
B．
S1=S2
C．
S1＜S2
D．
3S1=2S2
2、（2013•内江）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=　 　．
3、（2013•钦州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是　10　．

4、（2013• 德州）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：
①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．
其中正确的序号是　①②④　（把你认为正确的都填上）．
解答：
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，
∵在Rt△ABE和Rt△ADF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，
∵BC=DC，∴BC﹣BE=CD﹣DF，
∴CE=CF，∴①说法正确；
∵CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°，∴②说法正确；
如图，连接AC，交EF于G点，∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAD≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，∴③说法错误；
∵EF=2，∴CE=CF=，设正方形的边长为a，
在Rt△ADF中，a2+（a﹣）2=4，
解得a=，则a2=2+，S正方形ABCD=2+，④说法正确，故答案为①②④．

5、（2013鞍山）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？

6． (2009年宜宾）已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F.
(1）求证：AM=DM；
(2）若DF=2，求菱形ABCD的周长．

7．（2009年山东青岛市）已知：如图，在中，AE是BC边上的高，将沿方向平移，使点E与点C重合，得．
(1）求证：；
(2）若，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形是菱形？证明你的结论．
A
D
G
C
B
F
E

8．（2009年广东省）在菱形中，对角线与相交于点，．过点作交的延长线于点．
(1）求的周长；
(2）点为线段上的点，连接并延长交于点．A
Q
D
E
B
P
C
O

求证：．

【答案】解：（1）因为四边形为菱形，
所以，
故四边形为平行四边形，
则有，所以，
，
又垂直于，
所以在中有，
所以，
故三角形的周长为

(2）因为四边形为菱形，
所以，则=
又，
所以全等于
故有
∴．
9、（2013•绥化）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF
（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；
①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．

考点：
四边形综合题．
分析：
（1）三角形ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得CF=BD，据此即可证得；
（2）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CF﹣CD=BC；
（3）首先证明△BAD≌△CAF，△FCD是直角三角形，然后根据正方形的性质即可求得DF的长，则OC即可求得．
解答：
证明：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
则在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF，
∵BD+CD=BC，
∴CF+CD=BC；

（2）CF﹣CD=BC；

（3）①CD﹣CF=BC
②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°﹣∠BAF，∠CAF=90°﹣∠BAF，
∴∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，

∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABD=135°，
∴∠ACF=∠ABD=135°，
∴∠FCD=90°，
∴△FCD是直角三角形．
∵正方形ADEF的边长为2且对角线AE、DF相交于点O．
∴DF=AD=4，O为DF中点．
∴OC=DF=2．

10、（2013•毕节地区）四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心　　 点，按顺时针方向旋转　　 度得到；
（3）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．

考点：
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
专题：
证明题．
分析：
（1）根据正方形的性质得AD=AB，∠D=∠ABC=90°，然后利用“SAS”易证得△ADE≌△ABF；
（2）由于△ADE≌△ABF得∠BAF=∠DAE，则∠BAF+∠EBF=90°，即∠FAE=90°，根据旋转的定义可得到△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到；
（3）先利用勾股定理可计算出AE=10，在根据△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到AE=AF，∠EAF=90°，然后根据直角三角形的面积公式计算即可．
解答：
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°，
而F是DCB的延长线上的点，
∴∠ABF=90°，
在△ADE和△ABF中
，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；

（2）解：∵△ADE≌△ABF，
∴∠BAF=∠DAE，
而∠DAE+∠EBF=90°，
∴∠BAF+∠EBF=90°，即∠FAE=90°，
∴△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到；
故答案为A、90；

（3）解：∵BC=8，
∴AD=8，
在Rt△ADE中，DE=6，AD=8，
∴AE==10，
∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到，
∴AE=AF，∠EAF=90°，
∴△AEF的面积=AE2=×100=50（平方单位）．
点评：
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理．
11（2013重庆市10分）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE＝CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若BC＝，求AB的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD．
∴∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC．
∴AE＝CF，∴△AEO≌△CFO（ASA）．∴OE＝OF．
（2）连接BO．∵OE＝OF，BE＝BF，∴BO⊥EF，且∠EBO＝∠FBO．∴∠BOF＝90°．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCF＝90°．
又∵∠BEF＝2∠BAC，∠BEF＝∠BAC＋∠EOA，
∴∠BAC＝∠EOA．∴AE＝OE．
∵AE＝CF，OE＝OF， ∴OF＝CF．
又∵BF＝BF，∴△BOF≌△BCF（HL）．∴∠OBF＝∠CBF．
∴∠CBF＝∠FBO＝∠OBE．
∵∠ABC＝90°，∴∠OBE＝30°．∴∠BEO＝60°．∴∠BAC＝30°．
∵tan∠BAC＝，∴tan30°＝，即，∴AB＝6．
12、（08兰州）如图，平行四边形中，，，．对角线相交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交于点．
（1）证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段与总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时绕点顺时针旋转的度数．
A
B
C
D
O
F
E
图15
（1）证明：当时，，
又，
四边形为平行四边形．
（2）证明：四边形为平行四边形，
．
A
B
C
D
O
F
E
．

（3）四边形可以是菱形．
理由：如图，连接，
由（2）知，得，
与互相平分．
当时，四边形为菱形．
在中，，
，又，，
，
绕点顺时针旋转时，四边形为菱形．
13、（2013泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．
（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．
（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，∠EFD=∠BCD，并说明理由．

考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
分析：（1）首先利用SSS定理证明△ABC≌△ADC可得∠BAC=∠DAC，再证明△ABF≌△ADF，可得∠AFD=∠AFB，进而得到∠AFD=∠CFE；
（2）首先证明∠CAD=∠ACD，再根据等角对等边可得AD=CD，再有条件AB=AD，CB=CD可得AB=CB=CD=AD，可得四边形ABCD是菱形；
（3）首先证明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根据BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，进而得到∠EFD=∠BCD．
解答：（1）证明：∵在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，
∵在△ABF和△ADF中，∴△ABF≌△ADF，∴∠AFD=∠AFB，
∵∠AFB=∠AFE，∴∠AFD=∠CFE；
（2）证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，
又∵∠BAC=∠DAC，∴∠CAD=∠ACD，∴AD=CD，
∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形；
（3）当EB⊥CD时，∠EFD=∠BCD，
理由：∵四边形ABCD为菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，
在△BCF和△DCF中，∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CBF=∠CDF，
∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°，∴∠EFD=∠BCD．
1、如图（1），在⊿ABC和⊿EDC中，AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、H.
(1)求证：CF=CH；
(2)如图（2），⊿ABC不动，将⊿EDC绕点C旋转到∠BCE=45° 时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论。
【答案】解：（1）（5分）证明：△ ACB和△ECD中
∵∠ACB=∠ECD=90°
∴∠1+∠ECB=∠2+∠ECB
∴∠1=∠2
又∵AC=CE=CB=CD
∴∠A=∠D=45°
∴△ACF≌△DCH
∴CF=CH
（2）（5分）答：四边形ACDM是菱形
证法一：∵∠ACB=∠ECD=90°，∠BCE=45°，
∴∠1=45°，∠2=45°
又∵∠E=∠B=45°，∴∠1=∠E，∠2=∠B
∴AC//MD，CD//AM
又∵AC=CD
∴ACDM是菱形
证法二：∵∠ACB=∠ECD=90°，∠BCE=45°，
∴∠1=45°，∠2=45°
∴∠ACD=∠1+∠BCE+∠2=135°
又∵∠A=45°，∠D=45°
∴∠A+∠ACD=180°，∠D+∠ACD=180°
∴AC//MD，CD//AM
又∵AC=CD ∴ACDM是菱形
A
B
C
D
E
F
(第2题)
2、如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．
⑴求证：△ABF≌△ECF
⑵若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．
【答案】证明：⑴∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD．∴∠ABF=∠ECF.
∵EC=DC, ∴AB=EC．
在△ABF和△ECF中，∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，
∴⊿ABF≌⊿ECF．
（2）解法一：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∴AF=EF， BF=CF．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D，又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC．
∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，∴∠ABF=∠BAF．∴FA=FB．
∴FA=FE=FB=FC, ∴AE=BC．∴口ABEC是矩形．
解法二：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D=∠BCE．
又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠BCE，
∵∠AFC=∠FCE+∠FEC，∴∠FCE=∠FEC．∴∠D=∠FEC．∴AE=AD．
又∵CE=DC，∴AC⊥DE．即∠ACE=90°．
∴口ABEC是矩形．
3、以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．
（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；
（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=（0°＜＜90°），
① 试用含的代数式表示∠HAE；② 求证：HE=HG；
③ 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．
（第3题图2）
（第3题图3）
（第3题图1）

【答案】（1）四边形EFGH是正方形．
　　　　(2) ①∠HAE=90°＋a．
在□ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD=180°－∠ADC=180°－a；
∵△HAD和△EAB都是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°，
∴∠HAE=360°－∠HAD－∠EAB－∠BAD＝360°－45°－45°－（180°－a）＝90°＋a．
②∵△AEB和△DGC都是等腰直角三角形，∴AE=AB，DG=CD，
在□ABCD中，AB=CD，∴AE=DG，∵△HAD和△GDC都是等腰直角三角形，
∴∠DHA=∠CDG= 45°，∴∠HDG=∠HAD＋∠ADC＋∠CDG＝90°＋a＝∠HAE．
∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA=HD，∴△HAE≌△HDG，∴HE=HG．
③四边形EFGH是正方形．
由②同理可得：GH=GF，FG=FE，∵HE=HG（已证），∴GH=GF=FG=FE，
∴四边形EFGH是菱形；∵△HAE≌△HDG（已证），∴∠DHG=∠AHE，
又∵∠AHD=∠AHG＋∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG＋∠AHE＝90°，∴四边形EFGH是正方形
4、 已知：如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连结EF，将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△（如图2）.
（1） 探究AE′与BF'的数量关系，并给予证明；
（2） 当α＝30°时，求证：△AOE′为直角三角形.
【答案】（1）AE′＝BF
证明：如图2，
∵在正方形ABCD中， AC⊥BD
∴∠＝∠AOD＝∠AOB＝90°
即∠AOE′＋∠AOF′＝∠BOF′＋∠AOF′
∴∠AOE′＝∠BOF′
又∵OA＝OB＝OD，OE′＝2OD，OF′＝2OA
∴OE′＝OF′ ∴△OAE′≌△OBF′ ∴AE′＝BF
（2）作△AOE′的中线AM，如图3.
则OE′＝2OM＝2OD＝2OA
∴OA＝OM
∵α＝30° ∴∠AOM＝60° ∴△AOM为等边三角形
∴ MA＝MO＝ME′，∠＝∠
又∵∠＋∠＝∠AMO
即2∠＝60° ∴∠＝30°
∴∠＋∠AOE′＝30°＋60°＝90° ∴△AOE′为直角三角形.

5、已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别做直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F.
（1）如图1，当P点在线段AB上时，求PE+PF的值；
（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE－PF的值.
【解】（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.
∵PF⊥BD，∴PF//AC，同理PE//BD.
∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF.
又∵∠PBF=45°，∴PF=BF.
∴PE+PF=OF+FB=OB=.
（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.
∵PF⊥BD，∴PF//AC，同理PE//BD.
∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF.
又∵∠PBF=45°，∴PF=BF.
∴PE－PF=OF－BF= OB=.

6、如图1，在△ABC中，AB=BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作□APCD，AC与PD相交于点E，已知∠ABC=∠AEP=α（0°<α<90°）.
（1）求证：∠EAP=∠EPA；
（2）□APCD是否为矩形？请说明理由；
（3）如图2，F为BC中点，连接FP，将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN（点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点）.猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论.
图1
A
B
D
C
E
P
图2
A
B
D
C
E
P
M
N
F

【答案】(1)证明：在ΔABC和ΔAEP中
∵∠ABC=∠AEP，∠BAC=∠EAP
∴ ∠ACB=∠APE
在ΔABC中，AB=BC
∴∠ACB=∠BAC
∴ ∠EPA=∠EAP
(2) 答：□ APCD是矩形
∵四边形APCD是平行四边形
∴ AC=2EA, PD=2EP
∵ 由（1）知 ∠EPA=∠EAP
∴ EA=EP
则 AC=PD
∴□APCD是矩形
(3) 答： EM=EN
∵EA=EP ∴ ∠EPA=90°－ α
∴∠EAM=180°-∠EPA=180°-(90°- α)=90°+ α
由（2）知∠CPB=90°,F是BC的中点，∴ FP=FB
∴∠FPB=∠ABC=α

- 24 -

∴ ∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90°- α+α=90°+α

∴ ∠EAM=∠EPN
∵ ∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN
∴ ∠AEP=∠MEN
∴∠AEP- ∠AEN=∠MEN-∠AEN 即 ∠MEA=∠NEP
∴ ΔEAM≌ΔEPN ∴ EM=EN

1．(2012•丽水)甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动．图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程S(千米)随时间t(分)变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶　　千米．

解答：
解：∵据函数图形知：甲用了30分钟行驶了12千米，乙用(18－6)分钟行驶了12千米，
∴甲每分钟行驶12÷30＝千米，
乙每分钟行驶12÷12＝1千米，
∴每分钟乙比甲多行驶1－＝千米，
故答案为：．
1、（2013•十堰）张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距500千米，汽车出发前油箱有油25升，途中加油若干升，加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示．以下说法错误的是（　　）

A．
加油前油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系是y=﹣8t+25

B．
途中加油21升

C．
汽车加油后还可行驶4小时

D．
汽车到达乙地时油箱中还余油6升

考点：
一次函数的应用．3718684
分析：
A、设加油前油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系式为y=kt+b，将（0，25），（2，9）代入，运用待定系数法求解后即可判断；
B、由题中图象即可看出，途中加油量为30﹣9=21升；
C、先求出每小时的用油量，再求出汽车加油后行驶的路程，然后与4比较即可判断；
D、先求出汽车从甲地到达乙地需要的时间，进而得到需要的油量；然后用汽车油箱中原有的油量加上途中的加油量，再减去汽车行驶500千米需要的油量，得出汽车到达乙地时油箱中的余油量即可判断．
解答：
解：A、设加油前油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系式为y=kt+b．
将（0，25），（2，9）代入，
得，解得，
所以y=﹣8t+25，正确，故本选项不符合题意；
B、由图象可知，途中加油：30﹣9=21（升），正确，故本选项不符合题意；
C、由图可知汽车每小时用油（25﹣9）÷2=8（升），
所以汽车加油后还可行驶：30÷8=3＜4（小时），错误，故本选项符合题意；
D、∵汽车从甲地到达乙地，所需时间为：500÷100=5（小时），
∴5小时耗油量为：8×5=40（升），
又∵汽车出发前油箱有油25升，途中加油21升，
∴汽车到达乙地时油箱中还余油：25+21﹣40=6（升），正确，故本选项不符合题意．
故选C．
点评：
本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式的确定，路程、速度、时间之间的关系等知识，难度中等．仔细观察图象，从图中找出正确信息是解决问题的关键．

2、（2013哈尔滨）梅凯种子公司以一定价格销售“黄金1号”玉米种子,如果一次购买10千克以上(不含l0千克)的种子，超过l0千克的那部分种子的价格将打折，并依此得到付款金额y(单位：元)与一次购买种子数量x（单位：千克)之间的函数关系如图所示．下列四种说法：
①一次购买种子数量不超过l0千克时，销售价格为5元/千克；
②一次购买30千克种子时，付款金额为100元；
③一次购买10千克以上种子时，超过l0千克的那部分种子的价格打五折：
④一次购买40千克种子比分两次购买且每次购买20千克种子少花25元钱．
其中正确的个数是( )．
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D) 4个

考点：一次函数的应用。
分析：考查一次函数的应用；得到超过10千克的费用的计算方式是解决本题的关键点． （1）0≤x≤10时，付款y=5×相应千克数；数量不超过l0千克 时，销售价格为5元/千克；
（2）x＞10时，付款y=2.5x+25相应千克数,超过l0千克的那部分种子的价格
解答： 由0≤x≤10时，付款y=5×相应千克数，得数量不超过l0千克时，销售价格为5元/千克①是正确；当x=30代入y=2.5x+25
y=100，故②是正确；由（2）x＞10时，付款y=2.5x+25相应千克数,得每千克2.5元，故③是正确；当x=40代入y=2.5x+25
y=125，当x=20代入y=2.5x+25=75，两次共150元，两种相差25元，故④是正确；四个选项都正确，
19、（2013•鄂州）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：
（1）轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？
（2）求线段CD对应的函数解析式．
（3）轿车到达乙地后，马上沿原路以CD段速度返回，求轿车从甲地出发后多长时间再与货车相遇（结果精确到0.01）．

考点：
一次函数的应用．3718684
分析：
（1）根据图象可知货车5小时行驶300千米，由此求出货车的速度为60千米/时，再根据图象得出货车出发后4.5小时轿车到达乙地，由此求出轿车到达乙地时，货车行驶的路程为270千米，而甲、乙两地相距300千米，则此时货车距乙地的路程为：300﹣270=30千米；
（2）设CD段的函数解析式为y=kx+b，将C（2.5，80），D（4.5，300）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求解；
（3）设轿车从甲地出发x小时后再与货车相遇，根据轿车（x﹣4.5）小时行驶的路程+货车x小时行驶的路程=300千米列出方程，解方程即可．
解答：
解：（1）根据图象信息：货车的速度V货==60（千米/时）．
∵轿车到达乙地的时间为货车出发后4.5小时，
∴轿车到达乙地时，货车行驶的路程为：4.5×60=270（千米），
此时，货车距乙地的路程为：300﹣270=30（千米）．
答：轿车到达乙地后，货车距乙地30千米；
（2）设CD段函数解析式为y=kx+b（k≠0）（2.5≤x≤4.5）．
∵C（2.5，80），D（4.5，300）在其图象上，
∴，解得，
∴CD段函数解析式：y=110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；
（3）设轿车从甲地出发x小时后再与货车相遇．
∵V货车=60千米/时，V轿车==110（千米/时），
∴110（x﹣4.5）+60x=300，
解得x≈4.68（小时）．
答：轿车从甲地出发约4.68小时后再与货车相遇．
27、（2013•株洲）某生物小组观察一植