观察最小二乘多项式的数值不稳定现象.docx

数值实验二
实验目的：
观察最小二乘多项式的数值不稳定现象
实验内容：
1 在[-1,1]区间上取n=20个等距节点，计算出以相应节点上的值做为数据样本，以为基函数作出次的最小二乘多项式，画出～之间的曲线，其中A是确定最小二乘多项式的系数矩阵。计算出不同阶最小二乘多项式给出的最小误差
2 在[-1,1]区间上取n=20个等距节点，计算出以相应节点上的值做为数据样本，以为基函数作出次的最小二乘多项式，其中，是勒让德多项式。画出～之间的曲线，其中A是确定最小二乘多项式的系数矩阵。计算出不同阶最小二乘多项式给出的最小误差，把结果与1比较

实验1结果：
设拟合多项式为
Matlab程序
x=-1:2/19:1;
y=exp(x);
acond=zeros(1,7);
delta=zeros(1,7);
for l=3:2:15
A=zeros(l+1);
B=zeros(l+1,1);
for i=1:l+1
for j=i:l+1
A(i,j)=x.^(i-1)*(x.^(j-1))';
A(j,i)=A(i,j);
end
B(i,1)=x.^(i-1)*y';
end
c=(A\B)';
yf=0;
for i=1:l+1
yf=yf+c(i)*x.^(i-1);
end
delta((l-1)/2)=sum((yf-y).^2);
acond((l-1)/2)=cond(A);
end
l=3:2:15;
plot(l,log(acond));
xlabel('l');
ylabel('ln(Cond(A)_2)');

图1 以为基函数条件下关系曲线

图2以为基函数条件下Variables-delta值
根据图2，列出以为基函数条件下不同阶最小二乘多项式给出的最小误差，如表1所示。

3
5
7
9
11
13
15

3.1369e-04
2.2457e-08
4.0116e-13
2,2582e-18
5.0499e-24
5.2194e-23
5.0101e-21
表1 以为基函数条件下不同阶最小二乘多项式给出的最小误差
实验1结论：
从图1可看出，A的条件数随着最小二乘多项式的阶数的增加而增加。
从表1可看出，起初最小二乘多项式给出的最小误差随其阶数的增加而减少，但当阶数达到一定值（13及以上）时，最小误差反而增加。

实验2结果：
设拟合多项式为
其中，
Matlab程序
x=-1:2/19:1;
y=exp(x);
acond=zeros(1,7);
delta=zeros(1,7);
P=zeros(16,20);
for n=0:15
Pt=legendre(n,x);
P(n+1,:)=Pt(1,:);
end
for l=3:2:15
A=zeros(l+1);
B=zeros(l+1,1);
for i=1:l+1
for j=i:l+1
A(i,j)=P(i,:)*P(j,:)';
A(j,i)=A(i,j);
end
B(i,1)=P(i,:)*y';
end
c=(A\B)';
yf=c*P(1:l+1,:);
delta((l-1)/2)=sum((yf-y).^2);
acond((l-1)/2)=cond(A);
end
l=3:2:15;
plot(l,log(acond));
xlabel('l');
ylabel('ln(Cond(A)_2)');

图3 以勒让德多项式为基函数条件下关系曲线

图4 以勒让德多项式为基函数条件下Variables-delta值
根据图2，列出以勒让德多项式为基函数条件下不同阶最小二乘多项式给出的最小误差，如表2所示。

3
5
7
9
11
13
15

3.1369e-04
2.2457e-08
4.0116e-13
2.2582e-18
4.4161e-24
1.4807e-29
9.7307e-29
表2 以勒让德多项式为基函数条件下不同阶最小二乘多项式给出的最小误差
实验2结论：
从图2可看出，A的条件数随着最小二乘多项式的阶数的增加而增加。
从表2可看出，起初最小二乘多项式给出的最小误差随其阶数的增加而减少，但当阶数达到一定值（15）时，最小误差反而增加。

实验1、2对比：
1、对比以和以勒让德多项式为基函数条件下关系曲线。

图5 关系曲线对比

2、对比以和以勒让德多项式为基函数条件下不同阶最小二乘多项式给出的最小误差、。其中，。

3
5
7
9
11
13
15

3.1369e-04
2.2457e-08
4.0116e-13
2,2582e-18
5.0499e-24
5.2194e-23
5.0101e-21

3.1369e-04
2.2457e-08
4.0116e-13
2.2582e-18
4.4161e-24
1.4807e-29
9.7307e-29
表3不同阶最小二乘多项式给出的最小误差对比
实验1、2对比结论：
从图5可看出，以和以勒让德多项式为基函数条件下，A的条件数均随着最小二乘多项式的阶数的增加而增加，但以勒让德多项式为基函数时的条件数小于以为基函数时的条件数。
从表3可看出，次数时两种方法的偏差相同，而随着阶数继续增加，以勒让德多项式为基函数时的偏差小于相同阶数下以为基函数时的偏差，且以为基函数时的偏差在阶数达到13时开始增加，而以勒让德多项式为基函数时的偏差直到阶数达到15时才开始增加。

6 / 6