例析运用间接法求解排列组合应用题.pdf

2 0 1 4 年第4期 福建中学数学 3 7 中把例 2、例 4中的“=”去掉，若再用拉格朗日中值 定理把切割线“随意等价”替代，那就无法得到正确答 案，给一线教师评卷带来极大的方便 参考文献【1 陈建威关于拉格朗日(L a g r a n g e)中值定理的逆定理问题 红河学院学 报，1 9 8 6(3)：1 3 3-1 3 8 2】陈天明，李云杰 基于考试的数形结合思想研究 福建中学数学，2 0 1 2 (5)：-7 强化命题利用数学归纳法证明不等式 黄俊峰 袁方程 湖北省大冶市第一中学(4 3 5 1 0 0)对于数 列型 不等式 m)可以 先加强为 l厂(聆)，然后 可 用数学归纳法证 明 下面举例说明 例 求 证：吉+1+1(N )分析(1)首先假设命题可以强化为 1+-+1 1-+4 9 一 十 丽 一 (2)利用数学归纳法可以证明，当 时，吉 一 1 归 纳 假 设 吉+1+丽1 一 ，接下来要证 1+一19 2 k 2 k 4 一+)2 5 (+1)(+3)g(尼+1)一 而由归纳假设只能得到 1 l l 1 一+=-+9 2 5 f 2 十1)f 2 七+3)l l l l 4 g(尼)(2 k+3)则需证 1一+1一，即 一 1 (2 k 。g()g(+1)+3)一 (3)观察式的结构，不等式右边分母是二次 多项式，则不等式左边通分后也是一个二次多项式，从而g()=O H+b(a，b 为待定系数)g()：日 +6 代入得 口+6 g(n)=a n+6代入得 a(2 k+3)(a k+b)(a k+n+6)，对 k N 恒成立，即4 a k。+1 2 a k+9 a a 2 k +(2 a b+口 )j+b(a+b)对 k N 恒成立，比较系数可得 a 4，6 4，结合 不妨取 a：4，b=4，即 g(n)=4 n+4，故原不等式 可以加强为 9+1+丽 1 1 一 )(4)用数学归纳法证 明上式即可 例析运用间接法求解排列组合应用题 纪宏伟 江苏省如皋高等师范学校(2 2 6 5 0 0)对于排列组合中的应 用题，一般都有两个方 向 的列式途径：一个是正面考虑，采用的是直接法，这也是大部分情况下采用的方法，另一种是间接法，就是先不考虑元素的约束条件，把所有的排列和组 合数计算出来，再剔除不符合限制条件的情况，从 而间接求出满足条件的结果，也称排除法很多排 列组合问题都有直接法和间接法两条思路本文对 间接法的应用情况简要分析，权当抛砖 引玉 3 8 福建中学数学 2 0 1 4年第4期 1正面复杂，对立面相对简单 某些排列组合问题的正面情况比较复杂，难以 分清，或者计算繁琐，运算量大，但其对立面或反 面的情况比较简单，易于处理，可以优先考虑间接 法 这也就是通常所说的“正难则反”先撷取一个简 单的例子 例 1从 4名男生和 5 名女生中选出 3 人参加学 校合唱团，至少有 1 名男生的选法有多少种?解析 众所周知，像“至多”、“至少”之类的组合 问题，通常都是对事件进行整体分类，然后看所求 问题包含其中的多少个类，采用分类计数原理本 题“从 4名男生和 5 名女生中选出 3人”包含“1 男 2 女”、“2男 1 女”、“3男”、“3女”这 4种情况，而条 件“3 人中至少 1 名男生”，恰好包含这4种情况的前 3 种，故选法种数是c c；+c 2 c +C；=7 4 相比较而 言，它的反面就简洁得多，因为“至少有 1 名男生的 选法”相当于从总的这 4种情况中去除最后一个情 况，也即在所有选法(从 9 名学生中任选 3 人)中，去掉所选 3人都是女 生的选法，所以结果是 一 =7 4 例 2从 8名男医生和 7名女医生中选派一个由 8人组成的医疗队，其 中男女医生都有的选法有多少 种?解析 满足条件要求的选法有 7 类：1 男 7 女，2 男 6女，3男 5女，4男 4女，5男 3女，6男 2女，7 男 l 女，不同的选法种数是：c c；+c 2 c；+c c；+c：c；+c c；+c c；+c c 6 4 3 4 种 可见类别多，计 算繁，让人烦 实际上，问题的反面却非常明确：当且仅 当 8人都是男医生的情况不符合题意，其余 情况均满足要求，故选法有c 一 C 6 4 3 4 种 例 3现有 8 个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙 3 人不能相邻的排法有多少种?解析 本题中“甲、乙、丙3 人不能相邻”包括“甲、乙、丙 3人互不相邻”和“甲、乙、丙 3人不能同时相 邻，但允许其中有两人相邻”，采用插空法和捆绑法，可得出A 55 A：+A 5 2 A：=3 6 0 0 0 种；但是注意到“不能 相邻”的对立面就是“甲、乙、丙全相邻”，所以在 8 个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方 法数，就得到甲、乙、丙 3人不能相邻的排法数，这样共有A 一 A：3 6 0 0 0 种 例 4三个班级到甲、乙、丙、丁 4个工厂进行 实习，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可 自由选择，则不 同的分配方案有多少?解析 本题采用直接法易犯这样一个错误：工厂 甲先派一个班，有 3种方法，剩下的 2个班均有 4 种选择，所以共有 3 4 x 4=4 8 种分配方案 这里面 蕴含着重复计算的错误，且这种重复的引入往往比 较隐蔽，不易察觉，而且很难排除例如“A班先去 甲厂，之后 B 班也去了甲厂”与“B班先去 甲厂，之 后 A 班也去了甲厂”是同一种情况注意到“工厂甲 必须有班级去”的对立面就是“工厂 甲没有班级去”，所以先计算 3个班 自由选择工厂的总数，再去除工 厂甲没有班级去的分配数，应是一个非常清晰和自 然的思路 本题答案是 4 4 4 3 3 3=3 7 种 2问题中包含同一性的情况 某些排列组合问题中，存在一些形式不同而实 质同一的对象，这些对象只需要保留一个，常常考 虑用间接法，把多余的一一排除 例 5空间有 1 2 个点，其中 5 个点共面，此外无 任何 4 个点共面，则这 1 2 个点最多可确定多少个不 同的平面?解析 本例用直接法需要分4 类“5 个共面点中任 意 2个点和其余 7个点任意 1 点”、“5个共面点中任 意 1 个点和其余 7 个点任意 2点”、“7 个点中任意 3 点”、“5 个共面点决定自身的 1 个平面”注意到“5 个点共面”存在 同一性，所以用间接法将更直接、更 快捷：全部情况是C 3 属于同一性的有 C；，又因在 同一平面的 5点虽然不能确定c 个平面，但其本身 却可以确定 1 个平面，故有c 一 C；+1=2 1 1 个平面 例 6已知集合 A=5)，B=1，2 ，C=1，3，4)，从这 3个集合 中各取 1个元素构成空 间直角坐标系 中点的坐标，则可以确定多少个不同的点?解析 从集合 B，C都取 l时，点(5，1，1)，(1，5，1)，(1，1，5)出现了同一性，都各 自重复了一次，所以共有 c 1 乙 1 l 一 3=3 3 个满足题意的点 例 7从 1、2、3、4、7、9中任取不相同的两个 数，分别作为对数的底数和真数，能得到多少个不 同的对数值?解析 显然恨容易辨认 lo g 2 3=l o g 4 9，lo g 2 4=l o g 3 9，l o g 3 2=l o g 9 4，l o g 4 2=l o g 9 4，因真数为 1 时，对数为 0，故对数值共有 一 4+1=1 7 个 例 8有面值 5 元、3 元、2 元、1 元的某种货币 2 0 1 4 年第 4 期 福建中学数学 3 9 各一张，可以组成多少种不同的币值?解析 由 4种不同面值货币中取 1张、2张、3 张、4 张都可以组成币值，有C +c +c；4-C：=1 5 种，但其 中包括了1+2=3，2+3=5，1+2+3=1+5=6，1+2+5=3+5=8 的情形，显然组成的 3元、5元、6 元、8 元币都重复出现了一次，应去除，故组成不同 的币值是(C +C；+C +c：)一 4=1 1 种 3“不符合条件”的情况相对简便 排列组合的应用题种类纷繁，抽象性较强，常 常需要用到分类讨论的方法，即根据对象的本质和 属性，将其区分为不同种类，然后逐类进行研究，但在有些情况下，寻求“不符合条件 的类”要比“符合 条件的类”简便得多，此时用间接法显可以降低思维 难度，简化解题过程 例 9某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共 6 节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那有多少种不同的排课方法?解析 符合“第一节不排体育，最后一节不排数 学”的分类有“体育、数学既不排在第一节也不排在最 后一节”、“数学排在第一节但体育不排在最后一节”、“体育排在最后一节但数学不排在第一节”、“数学排 在第一节体育排在最后一节”，而不符合“第一节不排 体育，最后一节不排数学”的分类有“第一节排体育，最后一节不排数学”、“第一节排体育，最后一节排数 学”、“第一节不排体育，最后一节排数学”，相比较 而言，不符合条件”的分类较为容易划分，也更容易 理解些本题用间接法可得出A：一 A 14 A：一 A：一 A 14 A：=5 0 4种 例 l O有两排座位，前排 l 1 个座位，后排 1 2个，现安排 2人就座，规定前排中间的 3个位置不能坐，且这 2 个人不左右相邻，那么不同的排法数有多少?解析 不符合“2个人不左右相邻”这一条件的，就只有“2个人在前排相邻”和“2个人在后排相邻”这 两个相对较简单的情况，而符合“2 个人不左右相邻”这一条件的，则需分三大类讨论，“两人分别坐在前 后排”、“两人都在后排”、“两人都在前排”，其中“两 人都在前排”又可分为“两人一左一右”、“两人同左或 同右”这两类，相对较烦 故用间接法可以快速达到 目的，结果是A 一 2 A 13 A；一 A 1 A 2 _ 3 4 6 种 例 1 1 要排一张有 4个歌唱节 目、4个舞蹈节 目 和 2个小品节 目的演出节 目单 任何两个舞蹈节 目 不相邻，且任何两个小 品节 目也不相邻，则满足条 件 的排法种数共有多少?解析 本题用插空法直接求解，因为涉及到“二次 插空”的问题，位置关系复杂，较难捉摸，求解容易 出错 不妨考虑间接法，可先把 4个歌唱节 目及 2 个小品排好，再用插空法把舞蹈节目插进去，显然，这里面包含了小品联排的情形，故满足条件的排法 种数是A 66 A；一 A 2 A 5 A：=5 1 8 4 0 0 种 例 1 2四面体的顶点和各棱中点共有 1 0个点，在其中取 4个不共面得点，不 同的取法共有多少种?解析 本题若直接法求解，就需要从不共面的四 类情况分析入手，分别是恰有 3个点在底面上，恰有 2个点在底面上，恰有 1个点在底面上，4个点全不在底面上，其中还要就 2个点是否 在 同一条棱上和这 1个点是棱的中点还是端点展开 讨论，不可谓不繁琐 相 比较不共面 的各种情况，寻求共面的情况则要简便得多、容易得多它只包 括“4个点在同一侧面和底面”、“每条棱的中点和其 对棱上 3点”、“各棱 中点中 4点共面”这三种情况，因此共有取法c 4 0 4 C：一 6 3=1 4 1 种 例 1 3有 8张卡片分别标有 1，2，3，4，5，6，7，8，从 中取 出 6张卡片排成 3行 2列，要求 3行 中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为 5，则有多 少种不同的排法?解析 符合数字之和为 5的情况只有“4+1”和“2+3”两种情况，而不符合这一条件的情况却非常复 杂，所以从整体上不宜考虑间接法，应优先满足数 字之和为 5的要求，故先考虑从“1、4”、“2、3”这两 组数中选出一组排在中间一行有C 12 A；种，接下来，因为数字之和 已经是 5了，此时不符合条件的情况 就非常容易找到，分别是另两个和为 5的数排在第 一行和第三行，根据这种思路，最后可求出结果是 ci2A (A：一 c l A 2 A 2)=1 2 4 8 种 本题是在“步”中的类 中寻找出“不符合条件”的情况，间接法得以在分步中 局部实现 间接法是求解排列组合最重要 的方法之一，在 解题 中有较强的优越性 学生在平 时的学 习中，应 有意识地加强这方面的训练，除了用直接法解题之 外，不妨考虑是否可以利用间接法，达到殊途同归 的 目的