直线中的几类典型问题(学).doc

直线中的几类典型问题
一．求倾斜角的范围
1．直线xsin＋ycos＝0的倾斜角是(　　)
A．－　　　　　 B. C. D.
2．直线2xcosα－y－3＝0(α∈)的倾斜角的变化范围是(　　)
A. B. C. D.
3．直线的倾斜角的取值范围是_______
分析：将直线的方程化为斜截式，得出直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系，得出关于的一个三角不等式即可．
说明：解题易得出错误的结果，其原因是没有注意到倾斜角的取值范围．

二．求直线的方程
4．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为________．
5．直线过点（－1，3），倾斜角的正弦是，求直线的方程
分析：根据倾斜角的正弦求出倾斜角的正切，注意有两解．
说明：此题是直接考查直线的点斜式方程，在计算中，要注意当不能判断倾斜角的正切时，要保留斜率的两个值，从而满足条件的解有两个．

6．求经过两点（2，）和（，3）的直线方程．
分析：本题有两种解法，一是利用直线的两点式；二是利用直线的点斜式．在解答中如果选用点斜式，只涉及到与2的分类；如果选用两点式，还要涉及与3的分类．
说明：本题的目的在于使学生理解点斜式和两点式的限制条件，并体会分类讨论的思想方法．

7.直线过点（3,2），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。
分析：借助点斜式求解，或利用截距式求解．
说明：对本例，常见有以下两种误解：
误解一：如下图，由于直线的截距相等，故直线的斜率的值为．若，则直线方程为；若，则直线方程为．故直线方程为或．

误解二：由题意，直线在两轴上的截距相等，则可设直线方程为．由直线过点，得，即，也即方程为．
在上述两种误解中，误解一忽视了截距的意义，截距不是距离，它可正可负，也可以为0．显见，当时，直线的两轴上的截距分别为1和－1，它们不相等．另外，这种解法还漏掉了直线在两轴上的截距均为0的这种特殊情形．误解二中，没有注意到截距式方程的适用范围，同样也产生了漏解．

三、对称问题
对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称. 本文通过几道典型例题，来介绍这几类对称问题的求解策略.
1、点关于点的对称问题
点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.
例1 求点A（2，4）关于点B（3，5）对称的点C的坐标.

点评 解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解. 另外此题有可以利用中点的性质AB=BC，以及A，B，C三点共线的性质去列方程来求解.
练习：求点A（2,2）关于点（-1，5）的对称点坐标。

2、点关于直线的对称问题
点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.
例2 求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A′的坐标.
练习：求点A（2,2）关于直线l:2x-4y+9=0的对称点B坐标。

3、直线关于某点对称的问题
直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.
例3 求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程.
练习：求直线 y=2x+3关于点A（2,2）对称的直线方程。

点评 解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程. 本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.

4、直线关于直线的对称问题
直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.
例4 求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程.
练习：求直线 y=2x+3关于直线 y=2x-1对称的直线方程。
点评 将对称问题进行转化，是我们求解这类问题的一种必不可少的思路. 另外此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l的形式，然后再在直线l2上的任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.
例5 试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程.
练习：求直线 y=2x+3关于直线 y=x-1对称的直线方程。
点评 本题亦可以先求l1，l2的交点A，再在直线l1上取异于点A的任意点B，再求点B关于点A的对称点B′，最后由A，B′两点写出直线l的方程.

总结：（1）一般的，求与直线ax+by+c=0关于x=a0对称的直线方程，先写成a(x-a0)+by+c+aa0=0的形式，再写成a(a0-x)+by+c+aa0=0形式，化简后即是所求值.
（2）一般的，求与直线ax+by+c=0关于y=b0对称的直线方程，先写成ax+b(y-b0)+c+bb0=0的形式，再写ax+b(b0-y)+c+bb0=0成形式，化简后即是的求值.
（3）一般的，求与直线ax+by+c=0关于原点对称的直线方程，只需把x换成-x，把y换成-y，化简后即为所求.
（4）一般地直（曲）线f(x，y)=0关于直线y=x+c的对称直（曲）线为f(y-c，x+c)=0. 即把f(x，y)=0中的x换成y-c、y换成x+c即可.
（5）一般地直（曲）线f(x，y)=0关于直线y= -x+c的对称直（曲）线为f(-y+c，-x+c). 即把f(x，y)=0中的x换成-y+c，y换成-x+c.

四、光的反射问题
1、镜面是坐标轴
O
ｘ
ｙ
P（－3,6）
Q（3,0）
M
例6　光线由点P（－3,6）射到点Q（3,0）后被ｘ轴反射，求入射线和反射线所在的直线方程.

例7　光线从点A（－3,4）射出，经ｘ轴上的B点反射后交ｙ轴于C点。再经C点从ｙ轴上反射，恰好经过点D（－1,6）.　求直线AB，BC，CD的方程.
ｘ
ｙ
O
（－3,4）A
B
C
D
D，
A，

2、镜面是非轴直线
　　例8　一条光线从点P（5,3）射出，被直线ｌ：ｘ＋ｙ＝1反射，入射光线到ｌ的角为α，且tanα=2，求入射、反射光线所在的直线方程.
解析 被非轴直线一次反射问题，根据已知条件有两种处理方法.

x
P(5,3)
P，
α
O
y
M
N

例9　已知直线ｌ：ｘ－ｙ＋3＝0，一光线从点A（1,2）处射向ｘ轴上的一点B，又从B点反射到ｌ上的一点C，最后从C点反射回A点.
（1）试判断由此得到的△ABC是有限个还是无限个？
（2）依你的判断，认为是无限个时，求出所有这样的△ABC中面积最小值；认为有限个时，求出所有这样的BC线段的方程.
ｘ
ｌ
O　B
A（1,2）
A，
C
A，，
ｙ

五、最值问题
1. 转化为求二次函数的最值
E
70
60
80
P
100
D
C
B
A
M
Q
例10 某房地产公司要在荒地ABCDE上划出一块长方形地面（不改变方位）建造一幢八层楼的公寓，问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积.

2．利用判别式求最值
例11 已知直线l:y=4x和点P(3,2)，点N是l上在第一象限内的点，直线NP交x轴的正半轴于点M，则⊿OMN的面积的最小值是
点评：比较两个三角函数值的大小常常先将它们化为同名函数，然后将角化为在该函数的同一单调区间内的角．最后利用函数的单调性来比较函数值的大小．
3. 数形结合求解最值
P
M1

Q

O
M
M2
例12已知点M（3，5），在直线：和y轴上各找一点P和Q，使的周长最小.

点评：注意平面几何的知识在解析几何中的灵活运用.
例13 直线交x、y轴于A、B两点，试在直线上求一点P1，
使最小，在y=x上求一点P2，使最大，求出两最值及值.
点评：利用三角形两边之和大于第三边或两边之差小于第三边，解决在直线上求一点到两定点距离之和最小或到两定点距离之差为最大的问题.
练习：
1.若点A(a,0)，B(0，b)，C(1，－1)(a>0，b<0)三点共线，则a－b的最小值等于________．
2.经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线
的方程为（ ）
A．x＋2y－6＝0 B．2x＋y－6＝0
C．x－2y＋7＝0 D．x－2y－7＝0
3.已知A(3,0)，B(0,4)，动点P(x，y)在线段AB上移动，则xy的最大值等于________．
4.函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．
5.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点 (2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．

六、直线系方程
1、平行直线系方程在解题中的应用
与直线：（A,B不同时为0）平行的直线系方程为：（）.
例14已知直线：，∥，直线：被，截得的线段长为，求直线的方程.
点评：对于已知两直线平行和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用平行直线系法，以简化计算.本题也可以由两直线平行斜率相等求出所求直线斜率，把所求直线方程设成点斜式，再利用点到直线的距离公式列出关系式求解.
2、垂直直线系方程在解题中的应用
与直线：（A,B不同时为0）垂直的直线系方程为：.
例15已知直线是曲线的一条切线且与直线垂直，求直线的方程.

点评：对已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用垂直直线系法，可以简化计算.本题设出切点坐标，用导数求出切线斜率，利用切线与已知直线垂直，列出关于切点横坐标的关系式，求出切点横坐标，写出直线方程.

3、过定点直线系方程在解题中的应用
过定点（，）的直线系方程：（A,B不同时为0）.
例 16 求过点圆的切线的方程．

点评：对求过定点（，）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为: ，注意的此方程表示的是过点的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．
4、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用
过直线：（不同时为0）与：（不同时为0）交点的直线系方程为：（，为参数）.
例17 求过直线：与直线：的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.

5、求直线系方程过定点问题
例18 证明：直线(是参数且∈R)过定点，并求出定点坐标.
点评：对证明直线系过定点问题，常用方法有恒等式法和特殊直线法，恒等式法就是将直线方程化为关于参数的恒等式形式，利用参数属于R，则恒等式个系数为0，列出关于的方程组，通过解方程组，求出定点坐标;特殊直线法，去两个特殊参数值，得到两条特殊直线，通过接着两条特殊直线的交点坐标，并代入原直线系方程检验，即得定点.

七、直线方程的易错点
1、因概念不清而致错
例19 求过定点P（2，1）且与坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程．
误：设所求的直线方程为．
∵直线过点，，即，①
又由已知，可得，即，②
由①、②可得，解得，．
故所求直线方程为．
2、因忽视零截距而致错
例20 求过定点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
误：设直线在两坐标轴上的截距为a，故所求的直线方程为，即．
将点代入，得．
故所求直线方程为．
3、因忽视直线的斜率不存在而致错
例21 求过点且与x轴的交点到（1，0）的距离为5的直线方程．
误：设直线的斜率为k，则其方程为．
则其与x轴的交点为．
∴，解得．
故所求直线方程为．
4、因忽视题目的隐含条件而致错
例22 如果直线与轴平行，求的值．
误：∵直线与轴平行，∴．
解得或．
∴当或时直线与y轴平行．

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