第2章 相似原理与量纲分析.pdf

意义：意义：意义：意义：减少研究复杂问题时需考虑的变量数减少研究复杂问题时需考虑的变量数减少研究复杂问题时需考虑的变量数减少研究复杂问题时需考虑的变量数 设计比原型缩小或放大模型实验设计比原型缩小或放大模型实验设计比原型缩小或放大模型实验设计比原型缩小或放大模型实验 以低成本及少量的时间获得有价值的结果以低成本及少量的时间获得有价值的结果以低成本及少量的时间获得有价值的结果以低成本及少量的时间获得有价值的结果 洞悉复杂现象的本质，作出新的科学发现洞悉复杂现象的本质，作出新的科学发现洞悉复杂现象的本质，作出新的科学发现洞悉复杂现象的本质，作出新的科学发现 以成为现代科学与工程应用中一种主要的研究方法以成为现代科学与工程应用中一种主要的研究方法以成为现代科学与工程应用中一种主要的研究方法以成为现代科学与工程应用中一种主要的研究方法 既需要过去的知识积累，也需要直觉的领悟及洞察力。既需要过去的知识积累，也需要直觉的领悟及洞察力。既需要过去的知识积累，也需要直觉的领悟及洞察力。既需要过去的知识积累，也需要直觉的领悟及洞察力。第第 2 章章 相似原理和量纲分析相似原理和量纲分析 （Similarity and Dimensional Analysis)Similarity and Dimensional Analysis)2.1 2.1 2.1 2.1 相似原理相似原理相似原理相似原理原型原型原型原型/模型模型模型模型流动相似：几何、运动、动力相似流动相似：几何、运动、动力相似流动相似：几何、运动、动力相似流动相似：几何、运动、动力相似相似准则：雷诺、弗雷德、欧拉准则相似准则：雷诺、弗雷德、欧拉准则相似准则：雷诺、弗雷德、欧拉准则相似准则：雷诺、弗雷德、欧拉准则2.2 2.2 2.2 2.2 模型实验模型实验模型实验模型实验模型律的选择及模型设计模型律的选择及模型设计模型律的选择及模型设计模型律的选择及模型设计2.3 2.3 2.3 2.3 量纲分析量纲分析量纲分析量纲分析基本量纲、导出量纲、无量纲量基本量纲、导出量纲、无量纲量基本量纲、导出量纲、无量纲量基本量纲、导出量纲、无量纲量量纲分析法：量纲分析法：量纲分析法：量纲分析法：定理（定理（定理（定理（TheorumTheorum）、瑞利法（）、瑞利法（）、瑞利法（）、瑞利法（RayleighRayleigh）2.4 2.4 2.4 2.4 基本方程的无量纲化基本方程的无量纲化 第第 2 章章 相似原理和量纲分析相似原理和量纲分析 （Similarity and Dimensional Analysis)Similarity and Dimensional Analysis)2.1 2.1 相似原理相似原理相似原理相似原理 2.1.1 2.1.1 流动相似流动相似流动相似流动相似 实物原型实物原型实物原型实物原型（prototypeprototype）的流动规律通常借助于模型）的流动规律通常借助于模型）的流动规律通常借助于模型）的流动规律通常借助于模型由实验解决。由实验解决。由实验解决。由实验解决。模型模型模型模型（modelmodel）指与原型有同样的流动规律、各运动）指与原型有同样的流动规律、各运动）指与原型有同样的流动规律、各运动）指与原型有同样的流动规律、各运动参数存在固定比例关系的缩小物。参数存在固定比例关系的缩小物。参数存在固定比例关系的缩小物。参数存在固定比例关系的缩小物。模型与原型具有同样流动规律的关键是流动相似。模型与原型具有同样流动规律的关键是流动相似。模型与原型具有同样流动规律的关键是流动相似。模型与原型具有同样流动规律的关键是流动相似。相似原理则是研究相似流动的理论基础，即模型实验相似原理则是研究相似流动的理论基础，即模型实验相似原理则是研究相似流动的理论基础，即模型实验相似原理则是研究相似流动的理论基础，即模型实验的理论基础。的理论基础。的理论基础。的理论基础。流动相似除要求模型与原型的几何量（长度、面积等）流动相似除要求模型与原型的几何量（长度、面积等）流动相似除要求模型与原型的几何量（长度、面积等）流动相似除要求模型与原型的几何量（长度、面积等）相似以外，还要求相关的运动量（速度等）相似和作用力相似以外，还要求相关的运动量（速度等）相似和作用力相似以外，还要求相关的运动量（速度等）相似和作用力相似以外，还要求相关的运动量（速度等）相似和作用力相似。相似。相似。相似。第第 2 章章 相似原理和量纲分析相似原理和量纲分析（1 1）几何相似）几何相似）几何相似）几何相似(geometric similarity)(geometric similarity)模型与原型流场的几何形状相似，即相应线段的长度成比例、夹角模型与原型流场的几何形状相似，即相应线段的长度成比例、夹角模型与原型流场的几何形状相似，即相应线段的长度成比例、夹角模型与原型流场的几何形状相似，即相应线段的长度成比例、夹角相等相等相等相等 tconsllllllltan1rmp2m2p1m1pmplr 称为称为长度比尺长度比尺(length scale ratio)(length scale ratio)，则称为模型比尺。则称为模型比尺。面积比尺面积比尺2r2m2pmprlllAAA体积比尺体积比尺3r3m3pmprlllVVV只要模型与原型各相应长度保持只要模型与原型各相应长度保持 lr 不变，两流动几何相似。不变，两流动几何相似。tconsllllllltan1rmp2m2p1m1pmp2r2m2pmprlllAAA3r3m3pmprlllVVV （2 2 2 2）运动相似运动相似运动相似运动相似(kinematic similarity)(kinematic similarity)(kinematic similarity)(kinematic similarity)模型与原型流场中相应点速度方向相同，大小成比例模型与原型流场中相应点速度方向相同，大小成比例模型与原型流场中相应点速度方向相同，大小成比例模型与原型流场中相应点速度方向相同，大小成比例 tconsuuutanmpr 式中式中 ur 称为称为速度比尺速度比尺(velocity scale ratio)(velocity scale ratio)。由于各相应。由于各相应点速度成比例，相应断点速度成比例，相应断面的平均速度必然成比例，即面的平均速度必然成比例，即rrmpmpmmppmpr/tlttlltltlvvv 式中式中 tr 称为称为时间比尺时间比尺(time scale ratio)(time scale ratio)。rmpmprvvvuuu 速度相似也就意味着加速度相似，即速度相似也就意味着加速度相似，即速度相似也就意味着加速度相似，即速度相似也就意味着加速度相似，即2rrrrmpmpmmppmpr/tltttttaaavvvvv （3）动力相似动力相似 (dynamic similarity)(dynamic similarity)tconsFFFFFFFFtanImIpPmPpGmGpVmVp或或模型与原型流场中相应点处质点受同名力作模型与原型流场中相应点处质点受同名力作用，力的方向相用，力的方向相同，大小成比例。同，大小成比例。根据达朗伯原理，惯性力与其他诸力相平衡，形式上构根据达朗伯原理，惯性力与其他诸力相平衡，形式上构成力多边形。因此，动力相似可以表现为模型与原型的力多成力多边形。因此，动力相似可以表现为模型与原型的力多边形相似。影响流体流动的主要作用力有粘滞力、重力、压边形相似。影响流体流动的主要作用力有粘滞力、重力、压力以及惯性力等，并分别表示为力以及惯性力等，并分别表示为 FV、FG、FP 和和 FI，于是，于是IrPrGrVrFFFF 2.1.2 2.1.2 相似准则相似准则相似准则相似准则 (similarity criteria)(similarity criteria)几何相似是流动相似的基础，而动力相似则是几何相似是流动相似的基础，而动力相似则是几何相似是流动相似的基础，而动力相似则是几何相似是流动相似的基础，而动力相似则是流动相似的保证。模型与原型动力相似的条件为两流动相似的保证。模型与原型动力相似的条件为两流动相似的保证。模型与原型动力相似的条件为两流动相似的保证。模型与原型动力相似的条件为两流动相似准数相等，这样一个条件称为相似准则流动相似准数相等，这样一个条件称为相似准则流动相似准数相等，这样一个条件称为相似准则流动相似准数相等，这样一个条件称为相似准则（similarity criterionsimilarity criterion）。）。）。）。由于不同流动条件下有不同力的作用，很难使由于不同流动条件下有不同力的作用，很难使由于不同流动条件下有不同力的作用，很难使由于不同流动条件下有不同力的作用，很难使模型和原型的各种力都如动力相似所要求的保持相模型和原型的各种力都如动力相似所要求的保持相模型和原型的各种力都如动力相似所要求的保持相模型和原型的各种力都如动力相似所要求的保持相同的比例，因此我们常常选取对研究的问题来说重同的比例，因此我们常常选取对研究的问题来说重同的比例，因此我们常常选取对研究的问题来说重同的比例，因此我们常常选取对研究的问题来说重要的一对力或一些力，使它们在原型和模型之间的要的一对力或一些力，使它们在原型和模型之间的要的一对力或一些力，使它们在原型和模型之间的要的一对力或一些力，使它们在原型和模型之间的比例一定。这就带来了不同力的相似准数，以及不比例一定。这就带来了不同力的相似准数，以及不比例一定。这就带来了不同力的相似准数，以及不比例一定。这就带来了不同力的相似准数，以及不同的相似准则。同的相似准则。同的相似准则。同的相似准则。用两个力的特征量表示用两个力的特征量表示ImIpVmVpFFFFReVmImVpIpFFFF或或RelllllultlldydVAMaFFuuuu22223VI无量纲数无量纲数Relluu称为称为雷诺数雷诺数（Reynolds Number）。(1(1）雷诺准则）雷诺准则）雷诺准则）雷诺准则 考虑原型与模型之间粘性力与惯性力的关系考虑原型与模型之间粘性力与惯性力的关系考虑原型与模型之间粘性力与惯性力的关系考虑原型与模型之间粘性力与惯性力的关系于是原型与模型粘滞力与惯性力之比相等可表示为于是原型与模型粘滞力与惯性力之比相等可表示为mpReRe这表明，若原型与模型的雷诺数相等，两流动的粘滞力相似。这表明，若原型与模型的雷诺数相等，两流动的粘滞力相似。（2 2）弗汝德准则）弗汝德准则 考虑原型与模型之间重力与惯性力的关系考虑原型与模型之间重力与惯性力的关系ImIpGmGpFFFFGmImGpIpFFFF或或FrglgllgltllmgmaFF2322323GIuuglFr2v用两个力的特征量表示用两个力的特征量表示无量纲数无量纲数称为弗汝德数称为弗汝德数（Froude Number）。于是原型与模型重力与惯性力之比可表示为于是原型与模型重力与惯性力之比可表示为mpFrFr这表明，若原型与模型的弗汝德数相等，两流动的重力相似。这表明，若原型与模型的弗汝德数相等，两流动的重力相似。（3）欧拉准则欧拉准则考虑原型与模型之间压力与惯性力的关系考虑原型与模型之间压力与惯性力的关系用两个力的特征量表示用两个力的特征量表示ImIpPmPpFFFFImPmIpPpFFFF或或无量纲数无量纲数称为欧拉数（称为欧拉数（Euler Number）。）。2222IPuuplplFF22uuppEu 于是原型与模型压力与惯性力之比可表示为于是原型与模型压力与惯性力之比可表示为mpEuEu这表明，原型与模型的欧拉数相等，两流动的压力相似。这表明，原型与模型的欧拉数相等，两流动的压力相似。（4）马赫数、韦伯数等马赫数、韦伯数等Mach NumberMach Number，Weber NumberWeber NumbercVEVELLVM/2/1222弹性力惯性力LVLLpVW/22表面张力惯性力 两个相似流动相应点上的封闭力多边形是相似形。虽然两个相似流动相应点上的封闭力多边形是相似形。虽然两个相似流动相应点上的封闭力多边形是相似形。虽然两个相似流动相应点上的封闭力多边形是相似形。虽然影响液体运动还有诸如弹性力、表面张力等，但通常情况下影响液体运动还有诸如弹性力、表面张力等，但通常情况下影响液体运动还有诸如弹性力、表面张力等，但通常情况下影响液体运动还有诸如弹性力、表面张力等，但通常情况下决定流动的作用力只有粘滞力、重力和压力，即该封闭力多决定流动的作用力只有粘滞力、重力和压力，即该封闭力多决定流动的作用力只有粘滞力、重力和压力，即该封闭力多决定流动的作用力只有粘滞力、重力和压力，即该封闭力多边形由这边形由这边形由这边形由这 3 3 3 3 个力和惯性力组成。那么，只要其中两个同名作个力和惯性力组成。那么，只要其中两个同名作个力和惯性力组成。那么，只要其中两个同名作个力和惯性力组成。那么，只要其中两个同名作用力和惯性力成比例，另一个对应的同名力将自动成比例。用力和惯性力成比例，另一个对应的同名力将自动成比例。用力和惯性力成比例，另一个对应的同名力将自动成比例。用力和惯性力成比例，另一个对应的同名力将自动成比例。由于压力通常是待求量，这样只要粘滞力、重力相似，由于压力通常是待求量，这样只要粘滞力、重力相似，由于压力通常是待求量，这样只要粘滞力、重力相似，由于压力通常是待求量，这样只要粘滞力、重力相似，压力将自行相似。压力将自行相似。压力将自行相似。压力将自行相似。换言之，若雷诺准则、弗汝德准则成立，欧拉准则自行换言之，若雷诺准则、弗汝德准则成立，欧拉准则自行换言之，若雷诺准则、弗汝德准则成立，欧拉准则自行换言之，若雷诺准则、弗汝德准则成立，欧拉准则自行成立。所以又将雷诺准则、弗汝德准则称为成立。所以又将雷诺准则、弗汝德准则称为成立。所以又将雷诺准则、弗汝德准则称为成立。所以又将雷诺准则、弗汝德准则称为独立准则独立准则独立准则独立准则，欧拉，欧拉，欧拉，欧拉准则称为准则称为准则称为准则称为导出准则导出准则导出准则导出准则。液体的运动是由边界条件和作用力决定的，当两个流动液体的运动是由边界条件和作用力决定的，当两个流动液体的运动是由边界条件和作用力决定的，当两个流动液体的运动是由边界条件和作用力决定的，当两个流动一旦实现了几何相似和动力相似，就必然以相同的规律运一旦实现了几何相似和动力相似，就必然以相同的规律运一旦实现了几何相似和动力相似，就必然以相同的规律运一旦实现了几何相似和动力相似，就必然以相同的规律运动。因此，几何相似与独立准则成立是实现流动相似的充分动。因此，几何相似与独立准则成立是实现流动相似的充分动。因此，几何相似与独立准则成立是实现流动相似的充分动。因此，几何相似与独立准则成立是实现流动相似的充分与必要条件。与必要条件。与必要条件。与必要条件。2.2 2.2 模型实验模型实验模型实验模型实验 2.2.1 2.2.1 模型律的选择模型律的选择模型律的选择模型律的选择 为使模型与原型流动相似，除几何相似外，还要动力相为使模型与原型流动相似，除几何相似外，还要动力相为使模型与原型流动相似，除几何相似外，还要动力相为使模型与原型流动相似，除几何相似外，还要动力相似，即同时满足各独立准则。似，即同时满足各独立准则。似，即同时满足各独立准则。似，即同时满足各独立准则。事实上，很难达到独立准则同事实上，很难达到独立准则同事实上，很难达到独立准则同事实上，很难达到独立准则同时满足。一般情况下，只能按照近似相似进行模型实验，即时满足。一般情况下，只能按照近似相似进行模型实验，即时满足。一般情况下，只能按照近似相似进行模型实验，即时满足。一般情况下，只能按照近似相似进行模型实验，即满足主要作用力相似即可。满足主要作用力相似即可。满足主要作用力相似即可。满足主要作用力相似即可。通常，不可压缩液体流动的独立准则为雷诺准则和弗汝通常，不可压缩液体流动的独立准则为雷诺准则和弗汝通常，不可压缩液体流动的独立准则为雷诺准则和弗汝通常，不可压缩液体流动的独立准则为雷诺准则和弗汝准则。因此，主要作用力则是粘滞力或重力。准则。因此，主要作用力则是粘滞力或重力。准则。因此，主要作用力则是粘滞力或重力。准则。因此，主要作用力则是粘滞力或重力。若主要作用力是粘滞力，模型按雷诺模型律设计，即模若主要作用力是粘滞力，模型按雷诺模型律设计，即模若主要作用力是粘滞力，模型按雷诺模型律设计，即模若主要作用力是粘滞力，模型按雷诺模型律设计，即模型与原型之间只满足雷诺准则。例如有压管流。型与原型之间只满足雷诺准则。例如有压管流。型与原型之间只满足雷诺准则。例如有压管流。型与原型之间只满足雷诺准则。例如有压管流。若主要作用力是重力，模型按弗汝德模型律设计，即模若主要作用力是重力，模型按弗汝德模型律设计，即模若主要作用力是重力，模型按弗汝德模型律设计，即模若主要作用力是重力，模型按弗汝德模型律设计，即模型与原型之间只满足弗汝德准则。型与原型之间只满足弗汝德准则。型与原型之间只满足弗汝德准则。型与原型之间只满足弗汝德准则。例如明渠流。例如明渠流。例如明渠流。例如明渠流。2.2.2 2.2.2 模型设计模型设计模型设计模型设计 1.1.1.1.根据实验场地、模型制作条件和量测条件等确定长根据实验场地、模型制作条件和量测条件等确定长根据实验场地、模型制作条件和量测条件等确定长根据实验场地、模型制作条件和量测条件等确定长度比尺度比尺度比尺度比尺 l lr r 或模型比尺或模型比尺或模型比尺或模型比尺，由选定的比尺确定模型区的几何，由选定的比尺确定模型区的几何，由选定的比尺确定模型区的几何，由选定的比尺确定模型区的几何边界；边界；边界；边界；2.2.2.2.根据流动受力情况分析，选择模型律；根据流动受力情况分析，选择模型律；根据流动受力情况分析，选择模型律；根据流动受力情况分析，选择模型律；3.3.3.3.运用准则，确定模型的速度比尺及模型流量。运用准则，确定模型的速度比尺及模型流量。运用准则，确定模型的速度比尺及模型流量。运用准则，确定模型的速度比尺及模型流量。按雷诺模型律设计，模型与原型间只需满足雷诺准则按雷诺模型律设计，模型与原型间只需满足雷诺准则按雷诺模型律设计，模型与原型间只需满足雷诺准则按雷诺模型律设计，模型与原型间只需满足雷诺准则 mmmpppllvv 若模型与原型在相同温度下使用相同介质，则若模型与原型在相同温度下使用相同介质，则p=m，mmppllvv或或1rrlv于是于是mm2mpp2plgvlgv 按弗汝德模型律设计，模型与原型间满足弗劳德准按弗汝德模型律设计，模型与原型间满足弗劳德准按弗汝德模型律设计，模型与原型间满足弗劳德准按弗汝德模型律设计，模型与原型间满足弗劳德准rrlQ若模型与原型同在重力场，则若模型与原型同在重力场，则 g gp p=g gl l ，于是于是m2mp2plvlv或或rrlv流量比尺为流量比尺为2rrmmppmprlAAQQQvvv若按雷诺模型律设计，则若按雷诺模型律设计，则或或1rpmlQQ若按弗汝德模型律设计，则若按弗汝德模型律设计，则2.5rrlQ或或5.2rpmlQQ【例例例例 1 1】桥孔过流模型实验。已知桥墩长桥孔过流模型实验。已知桥墩长桥孔过流模型实验。已知桥墩长桥孔过流模型实验。已知桥墩长 l lp p=24m=24m，桥墩宽，桥墩宽，桥墩宽，桥墩宽b bp p=4.3m=4.3m，水深，水深，水深，水深 h hp p=8.2m=8.2m，平均流速，平均流速，平均流速，平均流速 v vp p=2.3m=2.3m，两桥，两桥，两桥，两桥墩中心距墩中心距墩中心距墩中心距 B Bp p=90m=90m。若长度比尺。若长度比尺。若长度比尺。若长度比尺 l lr r=50=50，要求设计模型。，要求设计模型。，要求设计模型。，要求设计模型。【解解解解】1.1.由给定比尺由给定比尺由给定比尺由给定比尺 l lr r=50=50，算得模型尺寸，算得模型尺寸，算得模型尺寸，算得模型尺寸m48.05024rpmmlll桥墩长桥墩长桥墩宽桥墩宽m086.0503.4rpmmlbb墩台距墩台距m8.15090rpmmlBB水深水深m164.0502.8rpmmhh2.2.无压流，按弗劳德模型律设计无压流，按弗劳德模型律设计无压流，按弗劳德模型律设计无压流，按弗劳德模型律设计s/m16162.83.490/3.23pppppmmsmhbBQv模型流速模型流速s/m0914.050/161635.235.2rpmsmlQQ模型流量模型流量原型流量原型流量s/m325.050/3.2rpmsmlvv 2.3 2.3 量纲分析量纲分析量纲分析量纲分析 2.3.1 2.3.1 量纲（量纲（量纲（量纲（dimensiondimension）量纲量纲量纲量纲 物理量的单位类别，又称因次。物理量的单位类别，又称因次。物理量的单位类别，又称因次。物理量的单位类别，又称因次。例如：衡量长短、远近均使用长度单位，这类物理例如：衡量长短、远近均使用长度单位，这类物理例如：衡量长短、远近均使用长度单位，这类物理例如：衡量长短、远近均使用长度单位，这类物理量则具有长度量纲。通常用量则具有长度量纲。通常用量则具有长度量纲。通常用量则具有长度量纲。通常用 L L 表示长度量纲，表示长度量纲，表示长度量纲，表示长度量纲，MM表示质表示质表示质表示质量量纲，量量纲，量量纲，量量纲，T T表示时间量纲，用表示时间量纲，用表示时间量纲，用表示时间量纲，用 dim dim q q 表示某物理量表示某物理量表示某物理量表示某物理量 q q 的量纲。的量纲。的量纲。的量纲。无量纲量无量纲量无量纲量无量纲量不具有量纲的量，又称为数，如角度等。不具有量纲的量，又称为数，如角度等。不具有量纲的量，又称为数，如角度等。不具有量纲的量，又称为数，如角度等。基本量纲基本量纲（primary dimensions)primary dimensions)无任何联无任何联无任何联无任何联系的、相互独立的量纲。力学中，选取下列量纲为基本系的、相互独立的量纲。力学中，选取下列量纲为基本系的、相互独立的量纲。力学中，选取下列量纲为基本系的、相互独立的量纲。力学中，选取下列量纲为基本量纲量纲量纲量纲 长度量纲长度量纲长度量纲长度量纲 L L 质量量纲质量量纲质量量纲质量量纲 M M 时间量纲时间量纲时间量纲时间量纲 T T 温度温度温度温度 。导出量纲导出量纲导出量纲导出量纲 由基本量纲以一定形式组成的量纲，如：由基本量纲以一定形式组成的量纲，如：由基本量纲以一定形式组成的量纲，如：由基本量纲以一定形式组成的量纲，如：面积量纲面积量纲面积量纲面积量纲 dim dim A A=L L2 2 密度量纲密度量纲密度量纲密度量纲 dimdim=MLML-3-3 速度量纲速度量纲速度量纲速度量纲 dim dim v v=LTLT-1-1 加速度量纲加速度量纲加速度量纲加速度量纲 dim dim a a=LTLT-2-2 力量纲力量纲力量纲力量纲 dim dim F F=MLTMLT-2-2 应力量纲应力量纲应力量纲应力量纲 dim dim p p=MLML-1-1T T-2-2 动力粘度量纲动力粘度量纲动力粘度量纲动力粘度量纲 dimdim=MLML-1-1T T-1-1 运动粘度量纲运动粘度量纲运动粘度量纲运动粘度量纲 dimdim=L L2 2T T-1-1 综合以上各量纲式，某一物理量综合以上各量纲式，某一物理量综合以上各量纲式，某一物理量综合以上各量纲式，某一物理量 q q 的量纲的量纲的量纲的量纲dim dim q q 可用三可用三可用三可用三个基本量纲的指数乘积式来表示，即个基本量纲的指数乘积式来表示，即个基本量纲的指数乘积式来表示，即个基本量纲的指数乘积式来表示，即 dim dim q q=MML LT T 无量纲量无量纲量无量纲量无量纲量(dimensionless parameters(dimensionless parameters/non-/non-dimensional parametersdimensional parameters)当量纲式中各量纲指数均为零，即当量纲式中各量纲指数均为零，即当量纲式中各量纲指数均为零，即当量纲式中各量纲指数均为零，即=0=0时，时，时，时，物理量物理量物理量物理量 q q 的量纲的量纲的量纲的量纲 dim dim q q=1=1，为无量纲量。例如有压管，为无量纲量。例如有压管，为无量纲量。例如有压管，为无量纲量。例如有压管流中断面平均流速流中断面平均流速流中断面平均流速流中断面平均流速 v v 、管道直径、管道直径、管道直径、管道直径 DD 和流体运动粘度和流体运动粘度和流体运动粘度和流体运动粘度的的的的组合为组合为组合为组合为DRev其量纲为其量纲为 2.3.2 量纲和谐原理量纲和谐原理 凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲一定是凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲一定是 Re 是由是由 3 个有量纲量组合得到的无量纲量，即雷诺数。个有量纲量组合得到的无量纲量，即雷诺数。1dimdim121TLLLTDRev一致的。如伯努利方程中的各项均具有长度量纲。一致的。如伯努利方程中的各项均具有长度量纲。2.3.3 2.3.3 量纲分析法量纲分析法量纲分析法量纲分析法 （1 1）瑞利法瑞利法瑞利法瑞利法（RayleighRayleigh）若某一物理过程同几个物理量有关，即若某一物理过程同几个物理量有关，即若某一物理过程同几个物理量有关，即若某一物理过程同几个物理量有关，即 f f（q q1 1,q q2 2,q qn n）=0=0其中任一个物理量其中任一个物理量其中任一个物理量其中任一个物理量 q qi i 都可以用其他物理量的指数乘积来表都可以用其他物理量的指数乘积来表都可以用其他物理量的指数乘积来表都可以用其他物理量的指数乘积来表示，即示，即示，即示，即 q qi i=KqKq1 1a aq q2 2b bq qn n-1-1p p其量纲式为其量纲式为其量纲式为其量纲式为 dim dim q qi i=dim(=dim(q q1 1a aq q2 2b bq qn n-1-1p p)将量纲式中各物理量的量纲都用基本量纲的指数积形将量纲式中各物理量的量纲都用基本量纲的指数积形将量纲式中各物理量的量纲都用基本量纲的指数积形将量纲式中各物理量的量纲都用基本量纲的指数积形式表示，并根据量纲和谐原理，确定各指数式表示，并根据量纲和谐原理，确定各指数式表示，并根据量纲和谐原理，确定各指数式表示，并根据量纲和谐原理，确定各指数a a、b b、p p等。等。等。等。以下通过例题进一步说明瑞利法的应用。以下通过例题进一步说明瑞利法的应用。以下通过例题进一步说明瑞利法的应用。以下通过例题进一步说明瑞利法的应用。【例例例例 2 2】求水泵输出功率的表达式。求水泵输出功率的表达式。求水泵输出功率的表达式。求水泵输出功率的表达式。【解解解解】水泵输出功率指单位时间水泵输出的能量。水泵输出功率指单位时间水泵输出的能量。水泵输出功率指单位时间水泵输出的能量。水泵输出功率指单位时间水泵输出的能量。（1 1）找出与水泵输出功率）找出与水泵输出功率）找出与水泵输出功率）找出与水泵输出功率 N N 有关的物理量，包括单位有关的物理量，包括单位有关的物理量，包括单位有关的物理量，包括单位体积水的重量体积水的重量体积水的重量体积水的重量=g g 、流量、流量、流量、流量 QQ 、扬程、扬程、扬程、扬程 H H ，于是有，于是有，于是有，于是有 f f（N N,QQ,H H）=0=0 （2 2）指数积关系式）指数积关系式）指数积关系式）指数积关系式 N N=K Ka a QQb b H Hc c （3 3）量纲式）量纲式）量纲式）量纲式 dim dim N N=dim(=dim(a a QQ b b H H c c)（4 4）用基本量纲表示各物理量量纲）用基本量纲表示各物理量量纲）用基本量纲表示各物理量量纲）用基本量纲表示各物理量量纲 MLML2 2T T-3-3=(=(MLML-2-2T T-2-2)a a(L L3 3T T-1-1)b b(L L)c c （5 5）根据量纲和谐原理求量纲指数）根据量纲和谐原理求量纲指数）根据量纲和谐原理求量纲指数）根据量纲和谐原理求量纲指数 MM：1=1=a a L L：2=-22=-2a a+3+3b b+c c T T：-3=-2-3=-2a a-b b解方程得，解方程得，解方程得，解方程得，a a=1=1，b b=1=1，c c=1=1。（6 6）整理方程得整理方程得整理方程得整理方程得 N=KN=KQHQHK K 为由实验确定的常数。为由实验确定的常数。为由实验确定的常数。为由实验确定的常数。问题：由于基本量纲只有问题：由于基本量纲只有问题：由于基本量纲只有问题：由于基本量纲只有3 3个，故只能建立个，故只能建立个，故只能建立个，故只能建立 3 3 个方程求个方程求个方程求个方程求解量纲指数。因此，用瑞利法求力学方程，相关的物理量解量纲指数。因此，用瑞利法求力学方程，相关的物理量解量纲指数。因此，用瑞利法求力学方程，相关的物理量解量纲指数。因此，用瑞利法求力学方程，相关的物理量不能超过不能超过不能超过不能超过4 4个，否则将会出现待定系数。个，否则将会出现待定系数。个，否则将会出现待定系数。个，否则将会出现待定系数。（2 2）定理定理定理定理 定理则是更为普遍的量纲分析基本理论，又称布金定理则是更为普遍的量纲分析基本理论，又称布金定理则是更为普遍的量纲分析基本理论，又称布金定理则是更为普遍的量纲分析基本理论，又称布金汉（汉（汉（汉（BuckinghamBuckingham）定理。）定理。）定理。）定理。若某一物理过程包含若某一物理过程包含若某一物理过程包含若某一物理过程包含 n n 个物理量，个物理量，个物理量，个物理量，f f(q q1 1q q2 2q q3 3q qn n)=0)=0其中有其中有其中有其中有 mm 个基本量个基本量个基本量个基本量(scaling variables)(scaling variables)，则该物理过程，则该物理过程，则该物理过程，则该物理过程可由这可由这可由这可由这 n n 个物理量所构成的（个物理量所构成的（个物理量所构成的（个物理量所构成的（n-mn-m）个无量纲量所表达的）个无量纲量所表达的）个无量纲量所表达的）个无量纲量所表达的关系式来描述，即关系式来描述，即关系式来描述，即关系式来描述，即 F F(1 1,2 2 n-mn-m )=0)=0因无量纲量用因无量纲量用因无量纲量用因无量纲量用 表示，故得名表示，故得名表示，故得名表示，故得名 定理。定理。定理。定理。【例例例例3 3】求真实流体有压管流压强损失（水头损失）表达式。求真实流体有压管流压强损失（水头损失）表达式。求真实流体有压管流压强损失（水头损失）表达式。求真实流体有压管流压强损失（水头损失）表达式。【解解解解】1.1.根据经验与实验资料找出相关物理量。本题中有压强根据经验与实验资料找出相关物理量。本题中有压强根据经验与实验资料找出相关物理量。本题中有压强根据经验与实验资料找出相关物理量。本题中有压强损失损失损失损失p p、流体密度、流体密度、流体密度、流体密度、流体动力粘度、流体动力粘度、流体动力粘度、流体动力粘度、管道长度、管道长度、管道长度、管道长度 l l 、管、管、管、管道直径道直径道直径道直径 D D 、管道壁面粗糙度、管道壁面粗糙度、管道壁面粗糙度、管道壁面粗糙度 e e 与流速与流速与流速与流速 v v，相关量数相关量数相关量数相关量数 n=n=7 7。f f(p,p,l,d,e,l,d,e,v v )=0)=0 2.2.选取基本量。不可压缩流体的运动一般取选取基本量。不可压缩流体的运动一般取选取基本量。不可压缩流体的运动一般取选取基本量。不可压缩流体的运动一般取 mm=3=3。本。本。本。本题中取题中取题中取题中取 v v,D,D,为基本量为基本量为基本量为基本量 （分别含时间、长度和质量）。（分别含时间、长度和质量）。（分别含时间、长度和质量）。（分别含时间、长度和质量）。3.3.组成组成组成组成 数。数。数。数。n-m=n-m=4 4，即，即，即，即4 4个个个个 数。数。数。数。1111cbaDpv2222cbaDv3333cbaDlv4444cbaDev 4.4.计算各计算各计算各计算各数的量纲指数。数的量纲指数。数的量纲指数。数的量纲指数。21vpDv21)dim(dim111cbaDpv111)()()(3121cbaMLLLTTMLMM ：1=1=c c1 1 L L ：-1=-1=a a1 1+b b1 1-3-3c c1 1 T T ：-2=-2=-a a1 1 a a1 1=2=2b b1 1=0=0解得解得c c1 1=1=1 2)dim(dim222cbaDv222)()()(3111cbaMLLLTTMLMM ：1=1=c c2 2 L L ：-1=-1=a a2 2+b b2 2-3-3c c1 1 T T ：-1=-1=-a a1 1 解得解得a a2 2=1=1b b2 2=1=1c c2 2=1=1 0,21 DeDlDpFvv3)dim(dim333cbaDlv333)()()(31cbaMLLLTLa a3 3=0=0b b3 3=1=1解得解得解得解得c c3 3=0=0 4)dim(dim444cbaDev444)()()(31cbaMLLLTL5.5.整理方程整理方程整理方程整理方程 解得解得解得解得a a4 4=0=0b b4 4=1=1c c4 4=0=0 Dl 33)dim(dim333cbaDlv333)()()(31cbaMLLLTL4)dim(dim444cbaDev444)()()(31cbaMLLLTLDe 4或者或者或者或者 求解求解求解求解0,22222 DeDlRepFDeDlDpFFvvvDeDlReFp,32v由实验知由实验知由实验知由实验知p p 与管长与管长与管长与管长 l l 成正比，故成正比，故成正比，故成正比，故DlDeReFp,42v上式为有压管流管道压强损失（水头损失）计算公式，又称上式为有压管流管道压强损失（水头损失）计算公式，又称上式为有压管流管道压强损失（水头损失）计算公式，又称上式为有压管流管道压强损失（水头损失）计算公式，又称达西公式（达西公式（达西公式（达西公式（Darcy)Darcy)，为沿程阻力系数。为沿程阻力系数。为沿程阻力系数。为沿程阻力系数。gDlgDlDeReFgphf22,225vv2.4 基本方程的无量纲化gzpp vpgdtvd2vpdtvd2*/222vLUpLUdtvdULU*Re1*2vpdtvd选取无量纲化特征速度及长度:U,L减少变量数找到重要的无量纲数Hamiltong OperatorLaplacian Operator1.速度v,长度L，重力加速度g的无因次集合是。a.v/gL b.v2/gL c.Lv/g d.gv/L2.压强p，密度，长度L,流量Q的无因次集合是。a.pQ2/L b.Q/pL c.pL4/Q2 d.pLQ/3.进行水力模型试验，要实现有压管流的动力相似，应满足。a.雷诺准则 b.佛汝德准则 c.欧拉准则 d.柯西准则4.进行水力模型试验，要实现明渠水流的动力相似，应满足。a.雷诺准则 b.佛汝德准则 c.欧拉准则 d.马赫准则5.压力输水管同种流体的模型试验，已知长度比为4，则两者的流量比为。a.2 b.4 c.8 d.1/46.明渠水流模型试验，已知长度比为4，则两者的流量比为。a.16 b.4 c.8 d.32