条件求值问题的解法.doc

江苏省盱眙县第二中学
条件求值问题的解法
庄亿农
满足一定条件的求值问题，是常见题型，也是中考和数学竞赛中的一个亮点；由于它涉及知识广泛，解法灵活多变，使不少学生感到困惑不解。尽管求值问题在具体表现形式上“千姿百态”，但若认真分析一下，我们就会发现，条件求值问题的解法主要有三种类型，下面举例说明其变形求值的方法。
1. 条件式→求值式
根据求值式的结构把条件式恒等变形后再代入求值，如：
例1. 已知，，求的值。
分析：可先将y看作常数。
解：由方程组
解得
故

例2. 设x，y都是实数，且

求的值。
分析：注意到根号内两个数互为相反数。
解：因为x，y都是实数
且
由此可得
故 原式＝8×(－2)3＋(－1)5－4×(－2)2×(－1)
＝－49

例3. 已知，求的值。
解：由已知，得
两边平方，得
所以
故 原式

例4. 若，求的值。
解：设，则

故 原式

例5. 设实数s，t分别满足，，且，求的值。
分析：注意到二次方程系数的顺序倒置。
解：由得

因为 ，
显然t，是二次方程的两不等实根，
所以
故 原式

2. 求值式→条件式
把待求的式子依照条件式的特点进行恒等变换，然后代入求解，如：
例6. 已知，，求的值。
分析：将所求式变形，向已知条件靠拢。
解：原式

例7. 已知m，n是一元二次方程的两根，求代数式的值。
解：由根与系数的关系知

原式

例8. 若，求的值。
分析：利用进行降幂。
解：

3. 条件式和求值式同时变形
依照条件式和求值式的特点，利用综合分析法进行恒等变换，沟通条件式和求值式的关系。如：
例9. 已知，求＋15x＋1的值。
分析：若将x的值直接代入，运算冗长，观察条件式和待求式，可将它化为方程问题，利用多项式除法运算求解。
解：因为
所以
即
故原式

例10. 已知，求的值。
分析：条件中给出了x与，令，化分式为整式降低难度。
解：设
则 ，
所以

故 原式

例11. 已知a，b，c为实数，且，，求的值。
分析：原条件取倒数后易于计算。
解：由已知得
，
所以
又
故 原式。

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