专题质量评估（八）.doc

专题质量评估(八)
(时间:120分钟,满分:160分)

一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)
1.若x,y满足约束条件 目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,则a的取值范围是 .
【解析】作出可行域如图所示,直线ax+2y=z仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知即-4<a<2.

【答案】(-4,2)
2.已知f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数,当0<x<3时,f(x)的图象如图所示,那么不等式cosx<0的解集是 .

【解析】由已知用对称的方法画全f(x)在(-3,3)上的图象,运用数形结合,如图所示,从”形”中找出图象分别在x轴上、下部分的对应”数”的区间为.

【答案】
3.圆锥曲线离心率则a的值为 .
【解析】当焦点在x轴上时解得;当焦点在y轴上时,
解得a=-1.
【答案】 -1
4.(2011湖南益阳一模)当x,y满足条件|x|+|y|时,变量的取值范围是 .
【解析】|x|+|y|表示的平面区域是正方形及其内部,而可以看成是点(3,0)与(y,x)连线的斜率,由图知,u最大为(3,0)与(0,-1)连线的斜率即最小为(3,0)与(0,1)连线的斜率即.

【答案】
5.三棱柱底面内的一条直线与棱柱的另一底面的三边及三条侧棱所在的6条直线中,能够成异面直线的条数的集合是 .
【解析】如图所示,当直线l分别在图(1)、(2)、(3)、(4)中所示的位置时,与l异面的直线分别有3条、4条、5条、6条,故能构成异面直线的条数的集合是{3,4,5,6}.

【答案】{3,4,5,6}
6.若方程5-m)=0的两根都大于2,则m的取值范围是 .
【解析】令5-m,要使方程f(x)=0的两根都大于2,需函数f(x)的图象与x轴的两交点均在2的右边,则
解得.
【答案】(-5,-4]
7.已知函数a<3),若则与的大小关系是 .
【解析】f(x)的图象对称轴为x=-1,因为0<a<3,
则-2<1-a<1,若则-2,
不满足且-2<1-a<1;
当时,由知所以有;
当时,有.
又因为f(x)在上为增函数,
所以.
【答案】
8.对任意实数x、y,规定运算x※y=ax+by+cxy,其中a、b、c是常数,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算,已知1※2=3,2※3=4,并且有一个非零常数m,使得对任意实数x,都有x※m=x,则m= .
【解析】依题意,x※m=ax+bm+cxm=x对任意实数x恒成立,令x=0,则mb=0,由m是非零常数得b=0.
故x※y=ax+cxy.
由已知得 解之得a=5,c=-1.
故5x-mx=x对任意实数x恒成立,则m=4.
【答案】4
9.过抛物线的焦点F作相互垂直的两条弦AB和CD,则AB+CD的最小值为 .
【解析】F(a,0),设AB的斜率为k.

∴.
∴.
∴.
同理.
∴.
【答案】16a
10.命题甲:成等比数列,命题乙:lgx,lg(x+1),lg(x+3)成等差数列,则甲是乙的
条件.
【解析】本题考查数列的性质以及充分必要条件的概念.若甲成等比数列,有x,解之得x=1或x=-2,满足条件的x的集合为{-2,1},若乙成等差数列,有2lg(x+1)=mlgx+lg(x+3),且x(x+3),得x=1,则满足乙的x的集合为{1},因{1,-2}{1},所以甲是乙的必要不充分条件.
【答案】必要不充分
11.设函数sinx,若时,f(mcosf(1-m)>0恒成立,则实数m的取值范围是 .
【解析】易知f(x)为奇函数、增函数,
f(mcos0,即f(mcosf(m-1),
∴mcos
而时,cos
∴ 得m<1.
【答案】
12.定义:若存在常数k,使得对定义域D内的任意两个、均有||||成立,则称函数f(x)在定义域上满足利普希茨条件.若函数满足利普希茨条件,则常数k的最小值为 .
【解析】f ′′因||′(1),
||′所以.
【答案】
13.(2011辽宁辽阳一模)定义在R上的函数f(x)具有以下性质:
①对任意R,都有;②对于任意R都有则f(0)+f(1)+f(-1)的值是 .
【解析】由题意得f(0)=
∴f(1),f(-1),f(0)从0,-1,1中任选一值.
又∵当时
∴f(1)+f(-1)+f(0)=0-1+1=0.
【答案】0
14.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数.若方程f(x)=m(m>0),在区间[-8,8]上有四个不同的根则 .
【解析】因为定义在R上的奇函数,满足f(x-4)=-f(x),所以f(4-x)=f(x),因此,函数图象关于直线x=2对称且f(0)=0.由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x),所以函数是以8为周期的周期函数.又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(x)在区间[-2,0]上也是增函数,如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根不妨设.由对称性知所以-12+4=-8.

【答案】-8

二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分14分)把一块钢板冲成上面是半圆形,下面是矩形的零件,其周长是P,怎样设计才能使冲成的零件面积最大?并求出它的最大面积.
【解】如图,设矩形的一边长为x,则半圆的周长为

矩形的另一边长为.
设零件的面积为S,则
.
当时,S有最大值,这时.
∴当矩形的两邻边AB与BC之比为1∶2时.
16.(本小题满分14分)求函数f(x)=2-4asinx-cos2x的最大值和最小值.
【解】y=f(x)=2-4asinx-(1-2sin
=2sinsinx+1
=2(sin.
设sinx=t,则
并且y=.
当a<-1时,如图.

有4a,
4a;
当时,
有
为g(-1)和g(1)中的较大者,
即
或.
当a>1时,有4a,
4a.
17.(本小题满分14分)(2011安徽滁州二模)若f(x)是三次函数,且f ′f(0)=1.
(1)求f(x)的单调区间和极值;
(2)若求f(x)的最大值、最小值.
【解】∵f(x)是三次函数,∴f(0)即为其常数项,
故由题意可得.
(1)f ′
f ′(x)=-(x-m)(x-3m),
∴时,f ′(x)<0,f(x)为减函数;
时,f ′(x)>0,f(x)为增函数;
时,f ′(x)<0,f(x)为减函数.
极小值极大值f(3m)=1.

(2)m+2>3m,由图可得最大值在f(0)与f(3m)中产生.
又f(0)=f(3m)=1,所以最大值为1.
最小值在f(m)与f(m+2)中产生.
.
∵f(m)-f(m
∴当时,最小值为f(m;
当时,最小值为.
18.(本小题满分16分)已知函数f(x)在(-1,1)上有意义,-1,且对任意的x、(-1,1)都有f(x)+f(y)=.
(1)若数列{}满足N求;
(2)求…的值.
【解】(1)∵||,∴||.
又∴.
而
∴.
∴{}是以-1为首项,以2为公比的等比数列,
故.
(2)由题设,有f(0)+ff(0),故f(0)=0.
又有f(x)+f(f(0)=0,得f(-x)=-f(x),故知f(x)在(-1,1)上为奇函数.
由

得
.
于是
.
故…=0.
19.(本小题满分16分)设函数g(x)=其中实数.
(1)若a>0,求函数f(x)的单调区间;
(2)当函数y=f(x)与y=g(x)的图象只有一个公共点且g(x)存在最小值时,记g(x)的最小值为h(a),求h(a)的值域;
(3)若f(x)与g(x)在区间(a,a+2)内均为增函数,求a的取值范围.
【解】(1)∵f ′
又a>0,∴当x<-a或时,f ′(x)>0;
当时,f ′(x)<0,
∴f(x)在和内是增函数,在内是减函数.
(2)由题意知.
即恰有一根(含重根).
∴即.
又∴.
∵且a>0,
∴
∴h(a)的值域为.
(3)当a>0时,f(x)在和内是增函数,g(x)在内是增函数.
由题意得 解得.
当a<0时,f(x)在和内是增函数,g(x)在内是增函数.
由题意得 解得.
综上可知,实数a的取值范围为[1,).
20.(本小题满分16分)已知定义在正实数集上的函数f(x)=2ax,g(x)=lnx+b,其中a>0.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同.
(1)用a表示b,并求b的最大值;
(2)求证:.
【解】(1)设y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点处的切线相同.
∵f ′(x)=x+2a,g′
由题意′′.
即
由得:或舍去).
即有lnlna.
令lnt(t>0),
则h′(t)=2t(1-3lnt).
于是当t(1-3lnt)>0,即0<t<e时,h′(t)>0;
当t(1-3lnt)<0,即t>e时,h′(t)<0.
故h(t)在(0,e上为增函数,在(e上为减函数,
于是h(t)在的最大值为h(ee.
(2)证明:设lnx-b(x>0),
则F′(xx>0).
故F(x)在(0,a)上为减函数,在上为增函数,
于是函数F(x)在上的最小值是F(a)=f(a)-g(a)=0.
故当x>0时,有即当x>0时,g(x).