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概率论与数理统计部分习题答案
第一章 概率论的基本概念
1. 写出下列随机试验的样本空间
（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1）
，n表小班人数
（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2）
S={10，11，12，………，n，………}
（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。 （[一] (3)）
S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，}
6. 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码。
（1）求最小的号码为5的概率。
记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A
∵ 10人中任选3人为一组：选法有种，且每种选法等可能。
又事件A相当于：有一人号码为5，其余2人号码大于5。这种组合的种数有
∴
（2）求最大的号码为5的概率。
记“三人中最大的号码为5”为事件B，同上10人中任选3人，选法有种，且每种选法等可能，又事件B相当于：有一人号码为5，其余2人号码小于5，选法有种

8. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。
（1）求恰有90个次品的概率。
记“恰有90个次品”为事件A
∵ 在1500个产品中任取200个，取法有种，每种取法等可能。
200个产品恰有90个次品，取法有种
∴
（2）至少有2个次品的概率。
记：A表“至少有2个次品”
B0表“不含有次品”，B1表“只含有一个次品”，同上，200个产品不含次品，取法有种，200个产品含一个次品，取法有种
∵ 且B0，B1互不相容。
∴
9. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？
记A表“4只全中至少有两支配成一对”
则表“4只人不配对”
∵ 从10只中任取4只，取法有种，每种取法等可能。
要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双中的每一双里任取一只。取法有

14.（1） 已知。
解一：
注意. 故有
P (AB)=P (A)－P (A)=0.7－0.5=0.2。
再由加法定理，
P (A∪)= P (A)+ P ()－P (A)=0.7+0.6－0.5=0.8
于是
14.（2） 。
解：由
由乘法公式，得
由加法公式，得
16. 据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P(A)=P{孩子得病}=0.6，P (B|A)=P{母亲得病|孩子得病}=0.5，P (C|AB)=P{父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。
解：所求概率为P (AB)（注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是随机事件，这里不是求P (|AB)
P (AB)= P(A)=P(B|A)=0.6×0.5=0.3, P (|AB)=1－P (C |AB)=1－0.4=0.6.
从而P (AB)= P (AB) · P(|AB)=0.3×0.6=0.18.

17. 已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。
（1）二只都是正品（记为事件A）
法一：用组合做 在10只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种取法等可能。

法二：用排列做 在10只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个排列等可能。

法三：用事件的运算和概率计算法则来作。
记A1，A2分别表第一、二次取得正品。

（2）二只都是次品（记为事件B）
法一：
法二：
法三：
（3）一只是正品，一只是次品（记为事件C）
法一：
法二：
法三：

（4）第二次取出的是次品（记为事件D）
法一：因为要注意第一、第二次的顺序。不能用组合作，
法二：
法三：

18. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？
记H表拨号不超过三次而能接通。
Ai表第i次拨号能接通。
注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。

如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B）问题变为在B已发生的条件下，求H再发生的概率。

22. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P，若第一次及格则第二次及格的概率也为P；若第一次不及格则第二次及格的概率为（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。
解：Ai={他第i次及格}，i=1,2
已知P (A1)=P (A2|A1)=P，
（1）B={至少有一次及格}
所以
∴

（2） （*）
由乘法公式，有P (A1 A2)= P (A1) P (A2| A1) = P2
由全概率公式，有

将以上两个结果代入（*）得
25. 某人下午5:00下班，他所积累的资料表明：

到家时间
5:35~5:39
5:40~5:44
5:45~5:49
5:50~5:54
迟于5:54
乘地铁到
家的概率
0.10
0.25
0.45
0.15
0.05
乘汽车到
家的概率
0.30
0.35
0.20
0.10
0.05
某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5:47到家的，试求他是乘地铁回家的概率。
解：设A=“乘地铁”，B=“乘汽车”，C=“5:45~5:49到家”，由题意,AB=φ,A∪B=S
已知：P (A)=0.5, P (C|A)=0.45, P (C|B)=0.2, P (B)=0.5
由贝叶斯公式有

34.（1）]设有4个独立工作的元件1，2，3，4。它们的可靠性分别为P1，P2，P3，P4，将它们按图（1）的方式联接，求系统的可靠性。
记Ai表示第i个元件正常工作，i=1，2，3，4，
2
4
1
3
A表示系统正常。
∵ A=A1A2A3+ A1A4两种情况不互斥
∴ P (A)= P (A1A2A3)+P (A1A4)－P (A1A2A3 A4) (加法公式)
= P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4)－P (A1) P (A2)P (A3)P (A4)
= P1P2P3+ P1P4－P1P2P3P4 (A1, A2, A3, A4独立)
3
1
2
L
R
34.（2） 如图1，2，3，4，5表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率为p，且设各继电器闭合与否相互独立，求L和R是通路的概率。
5
4
记Ai表第i个接点接通
记A表从L到R是构成通路的。
∵ A=A1A2+ A1A3A5+A4A5+A4A3A2四种情况不互斥
∴ P (A)=P (A1A2)+P (A1A3A5) +P (A4A5)+P (A4A3A2)－P (A1A2A3A5)
+ P (A1A2 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4) +P (A1A3 A4A5)
+ P (A1A2 A3A4A5) P (A2 A3 A4A5)+ P (A1A2A3 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4A5)
+ (A1A2 A3 A4A5) + P (A1A2 A3 A4A5)－P (A1A2 A3 A4A5)
又由于A1，A2， A3， A4，A5互相独立。
故 P (A)=p2+ p3+ p2+ p3－[p4 +p4 +p4 +p4 +p5 +p4]
+[ p5 + p5+ p5+ p5]－p5=2 p2+ 3p3－5p4 +2 p5
第二章 随机变量及其分布
3. 设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，（1）求X的分布律，（2）画出分布律的图形。
解：任取三只，其中新含次品个数X可能为0，1，2个。

P

x
1
2
O

6. 一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t每个设备使用的概率为0.1，问在同一时刻
（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？

（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？

（3）至多有3个设备被使用的概率是多少？

（4）至少有一个设备被使用的概率是多少？

8. 甲、乙二人投篮，投中的概率各为0.6, 0.7，令各投三次。求
（1）二人投中次数相等的概率。
记X表甲三次投篮中投中的次数
Y表乙三次投篮中投中的次数
由于甲、乙每次投篮独立，且彼此投篮也独立。
P (X=Y)=P (X=0, Y=0)+P (X=2, Y=2)+P (X=3, Y=3)
= P (X=0) P (Y=0)+ P (X=1) P (Y=1)+ P (X=2) P (Y=2)+ P (X=3) P (Y=3)
= (0.4)3× (0.3)3+ [

（2）甲比乙投中次数多的概率。
P (X>Y)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+
P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)
=P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+
P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)
=

19. 以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间（以分计），X的分布函数是

求下述概率：
（1）P{至多3分钟}；（2）P {至少4分钟}；（3）P{3分钟至4分钟之间}；
（4）P{至多3分钟或至少4分钟}；（5）P{恰好2.5分钟}
解：（1）P{至多3分钟}= P {X≤3} =
（2）P {至少4分钟} P (X ≥4) =
（3）P{3分钟至4分钟之间}= P {3<X≤4}=
（4）P{至多3分钟或至少4分钟}= P{至多3分钟}+P{至少4分钟}
=
（5）P{恰好2.5分钟}= P (X=2.5)=0
20. 设随机变量X的分布函数为，
求（1）P (X<2), P {0<X≤3}, P (2<X<)；（2）求概率密度fX (x).
解：（1）P (X≤2)=FX (2)= ln2， P (0<X≤3)= FX (3)－FX (0)=1，

（2）
21.（2）设随机变量的概率密度为

求X的分布函数F (x)，并作出f (x)与F (x)的图形。
解：（2）

故分布函数为

f (x)与F (x)的图形如下

f (x)

x
0
F (x)
2
1
x
0

1
2

23. 某种型号的电子的寿命X（以小时计）具有以下的概率密度：

现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）。任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？
解：一个电子管寿命大于1500小时的概率为

令Y表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。则，
24. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为：

某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开。他一个月要到银行5次。以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律。并求P（Y≥1）。
解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为

因此

25. 设K在（0，5）上服从均匀分布，求方程有实根的概率
∵ K的分布密度为：
要方程有根，就是要K满足(4K)2－4×4× (K+2)≥0。
解不等式，得K≥2时，方程有实根。
∴
26. 设X～N（3.22）
（1）求P (2<X≤5)，P (－4)<X≤10)，P{|X|>2}，P (X>3)
∵ 若X～N（μ，σ2），则P (α<X≤β)=φφ
∴ P (2<X≤5) =φφ=φ(1)－φ(－0.5)
=0.8413－0.3085=0.5328
P (－4<X≤10) =φφ=φ(3.5)－φ(－3.5)
=0.9998－0.0002=0.9996
P (|X|>2)=1－P (|X|<2)= 1－P (－2< P<2 )
=
=1－φ(－0.5) +φ(－2.5)
=1－0.3085+0.0062=0.6977
P (X>3)=1－P (X≤3)=1－φ=1－0.5=0.5
（2）决定C使得P (X > C )=P (X≤C)
∵ P (X > C )=1－P (X≤C )= P (X≤C)
得 P (X≤C )==0.5
又 P (X≤C )=φ ∴ C =3
27. 某地区18岁的女青年的血压（收缩区，以mm-Hg计）服从在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X。求
（1）P (X≤105)，P (100<X ≤120). （2）确定最小的X使P (X>x) ≤ 0.05.
解:

28. 由某机器生产的螺栓长度（cm）服从参数为μ=10.05，σ=0.06的正态分布。规定长度在范围10.05±0.12内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少？
设螺栓长度为X
P{X不属于(10.05－0.12, 10.05+0.12)
=1－P (10.05－0.12<X<10.05+0.12)
=1－
=1－{φ(2)－φ(－2)}
=1－{0.9772－0.0228}
=0.0456
29. 一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为μ=160，σ(未知)的正态分布，若要求P (120＜X≤200＝=0.80，允许σ最大为多少？
∵ P (120＜X≤200)=
又对标准正态分布有φ(－x)=1－φ(x)
∴ 上式变为
解出
再查表，得
34. 设随机变量X在（0，1）上服从均匀分布
（1）求Y=eX的分布密度
∵ X的分布密度为：
Y=g (X) =eX是单调增函数
又 X=h (Y)=lnY，反函数存在
且 α = min[g (0), g (1)]=min(1, e)=1
max[g (0), g (1)]=max(1, e)= e
∴ Y的分布密度为：
（2）求Y=－2lnX的概率密度。
∵ Y= g (X)=－2lnX 是单调减函数
又 反函数存在。
且 α = min[g (0), g (1)]=min(+∞, 0 )=0
β=max[g (0), g (1)]=max(+∞, 0 )= +∞
∴ Y的分布密度为：
35. 设X～N（0，1）
（1）求Y=eX的概率密度
∵ X的概率密度是
Y= g (X)=eX 是单调增函数
又 X= h (Y ) = lnY 反函数存在
且 α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=0
β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞
∴ Y的分布密度为：

（2）求Y=2X2+1的概率密度。
在这里，Y=2X2+1在(+∞，－∞)不是单调函数，没有一般的结论可用。
设Y的分布函数是FY（y），
则 FY ( y)=P (Y≤y)=P (2X2+1≤y)
=
当y<1时：FY ( y)=0
当y≥1时：
故Y的分布密度ψ( y)是：
当y≤1时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0
当y>1时，ψ( y)= [FY ( y)]' =
=
（3）求Y=| X |的概率密度。
∵ Y的分布函数为 FY ( y)=P (Y≤y )=P ( | X |≤y)
当y<0时，FY ( y)=0
当y≥0时，FY ( y)=P (| X |≤y )=P (－y≤X≤y)=
∴ Y的概率密度为：
当y≤0时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0
当y>0时：ψ( y)= [FY ( y)]' =

第三章 多维随机变量及其分布
1. 在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下：

试分别就（1）（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。
解：（1）放回抽样情况
由于每次取物是独立的。由独立性定义知。
P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j)
P (X=0, Y=0 )=
P (X=0, Y=1 )=
P (X=1, Y=0 )=
P (X=1, Y=1 )=
或写成
X
Y
0
1
0

1

（2）不放回抽样的情况
P {X=0, Y=0 }=
P {X=0, Y=1 }=
P {X=1, Y=0 }=
P {X=1, Y=1 }=
或写成
X
Y
0
1
0

1

2. 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布律。
X
Y
0
1
2
3
0
0
0

1
0

2

0
解：（X，Y）的可能取值为(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j≥2，联合分布律为
P {X=0, Y=2 }=
P {X=1, Y=1 }=
P {X=1, Y=2 }=
P {X=2, Y=0 }=
P {X=2, Y=1 }=
P {X=2, Y=2 }=
P {X=3, Y=0 }=
P {X=3, Y=1 }=
P {X=3, Y=2 }=0
3. 设随机变量（X，Y）概率密度为
（1）确定常数k。 （2）求P {X<1, Y<3}
（3）求P (X<1.5} （4）求P (X+Y≤4}
分析：利用P {(X, Y)∈G}=再化为累次积分，其中
解：（1）∵，∴
（2）
（3）
y
（4）
7. 设二维随机变量（X，Y ）的概率密度为

解：

8. 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
x=y
y
求边缘概率密度。
x
o
解:

9. 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
（1）试确定常数c。（2）求边缘概率密度。
解: l=
y
o

y=x2
x

16.（1） 第1题中的随机变量X和Y是否相互独立。
解：放回抽样的情况
P {X=0, Y=0 } = P {X=0}·P {Y=0} =
P {X=0, Y=1 } = P {X=0}P {Y=1}=
P {X=1, Y=0 } = P {X=1}P {Y=0}=
P {X=1, Y=1 } = P {X=1}P {Y=1}=
在放回抽样的情况下，X和Y是独立的
不放回抽样的情况：
P {X=0, Y=0 } =
P {X=0}=
P {X=0}= P {X=0, Y=0 } + P {Y=0, X=1 }=
P {X=0}·P {Y=0} =
P {X=0, Y=0 }≠P {X=0}P {Y=0}
∴ X和Y不独立
18. 设X，Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布。Y的概率密度为
（1）求X和Y的联合密度。（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。
解：（1）X的概率密度为
y=x2
Y的概率密度为
1
x
D
y
o
且知X, Y相互独立，
于是（X，Y）的联合密度为

（2）由于a有实跟根，从而判别式
即： 记

29. 设随机变量（X，Y）的概率密度为

（1）试确定常数b；（2）求边缘概率密度fX (x)，fY (y)
解：（1）
∴
（2）

第四章

2. 某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次。每次随机地抽取10件产品进行检验，如果发现其中的次品数多于1，就去调整设备，以X表示一天中调整设备的次数，试求E (X)。（设诸产品是否是次品是相互独立的。）
解：设表示一次抽检的10件产品的次品数为ξ
P=P（调整设备）=P (ξ>1)=1－P (ξ≤1)= 1－[P (ξ=0)+ P (ξ=1)]
1－0.7361=0.2639.
因此X表示一天调整设备的次数时X～B(4, 0.2639).
E (X)=np=4×0.2639=1.0556
5. 设在某一规定的时间间段里，其电气设备用于最大负荷的时间X（以分计）是一个连续型随机变量。其概率密度为

求E (X)
解：

6. 设随机变量X的分布为
X －2 0 2
Pk 0.4 0.3 0.3
求 E (X)， E (3X2+5)
解： E (X)= (－2)×0.4+0×0.3+2×0.3=－0.2
E (X2)= (－2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8
E (3X2+5) = 3E (X2)+ E (5)= 8.4+5=13.4
7. 设随机变量X的概率密度为

求（1）Y=2X （2）Y=e－2x的数学期望。

解：（1）

（2）

8. 设（X，Y）的分布律为
X
Y
1
2
3
－1
0
1
0.2
0.1
0.1
0.1
0
0.1
0
0.3
0.1

(1) 求E (X)，E (Y )。
(2) 设Z=Y/X，求E (Z )。
(3) 设Z= (X－Y )2，求E (Z)。

解：（1）由X，Y的分布律易得边缘分布为
X
Y
1
2
3

－1
0.2
0.1
0
0.3
0
0.1
0
0.3
0.4
1
0.1
0.1
0.1
0.3

0.4
0.2
0.4
1
E(X)=1×0.4+2×0.2+3×0.4
=0.4+0.4+1.2=2.
E(Y)= (－1)×0.3+0×0.4
+1×0.3=0.

Z=Y/X
－1
－1/2
－1/3
0
1/3
1/2
1
pk
0.2
0.1
0
0.4
0.1
0.1
0.1
（2）

E (Z )= (－1)×0.2+(－0.5)×0.1+(－1/3)×0+0×0.4+1/3×0.1+0.5×0.1+1×0.1
= (－1/4)+1/30+1/20+1/10=(－15/60)+11/60=－1/15.
Z= (X－Y)2
0
(1-1)2
1
(1- 0)2或(2-1)2
4
(2- 0)2或(1- (-1))2或(3-1)2
9
(3- 0)2或(2-(-1))2
16
(3-(-1))2
pk
0.1
0.2
0.3
0.4
0
（3）E (Z )=0×0.1+1×0.2+4×0.3+9×0.4+16×0=0.2+1.2+3.6=5
11. 一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为工厂规定出售的设备若在一年内损坏，可予以调换。若工厂出售一台设备可赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元。试求厂方出售一台设备净赢
利的数学期望。
解：一台设备在一年内损坏的概率为
故设Y表示出售一台设备的净赢利
则
故

12. 某车间生产的圆盘直径在区间（a, b）服从均匀分布。试求圆盘面积的数学期望。
解：设X为圆盘的直径，则其概率密度为

用Y表示圆盘的面积，则

14. 设随机变量X1，X2的概率密度分别为

求（1）E (X1+X2)，E (2X1－3)；（2）又设X1，X2相互独立，求E (X1X2)
解：（1）
=
（2）
=
（3）
15. 将n只球（1～n号）随机地放进n只盒子（1～n号）中去，一只盒子装一只球。将一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X为配对的个数，求E(X )
解：引进随机变量
i=1, 2, … n
则球盒对号的总配对数为
Xi的分布列为
Xi:
1
0
P:

i=1, 2 …… n

∴ i=1, 2 …… n
22. （1）设随机变量X1，X2，X3，X4相互独立，且有E (Xi )=i, D (Xi )=5－i, i=1,2,3,4。设Y=2 X1－X2+3X3－X4，求E (Y)，D (Y)。
（2）设随机变量X，Y相互独立，且X～N（720，302），Y～N（640，252），求Z1=2X+Y，Z2=X－Y的分布，并求P {X>Y }, P {X+Y>1400 }
解：（1）利用数学期望的性质2°，3°有
E (Y )= 2E (X1 )－E (X2 )+3 E (X3 )－E (X4 )=7
利用数学方差的性质2°，3°有
D (Y )=22 D (X1 )+ (－1)2 D (X2 )+32 D (X3 )+()2 D (X4 )=37.25
（2）根据有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，知
Z1～N（· ，·），Z2～N（· ，·）
而E Z1=2EX+Y=2×720+640, D (Z1)= 4D (X )+ D (Y )= 4225
E Z2=EX－EY=720－640=80, D (Z2)= D (X )+ D (Y )= 1525
即 Z1～N（2080，4225）， Z2～N（80，1525）
P {X>Y }= P {X－Y >0 }= P {Z2>0 }=1－P {Z2 ≤0 }
=
P {X+Y >1400 }=1－P {X+Y ≤1400 }
同理X+Y～N（1360，1525）
则P {X+Y >1400 }=1－P {X+Y ≤1400 }
=
23. 5家商店联营，它们每周售出的某种农产品的数量（以kg计）分别为X1，X2，X3，X4，X5，已知X1～N（200，225），X2～N（240，240），X3～N（180，225），X4～N（260，265），X5～N（320，270），X1，X2，X3，X4，X5相互独立。
（1）求5家商店两周的总销售量的均值和方差；
（2）商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存多少公斤该产品？
解：（1）令为总销售量。
已知E X1=200，E X2=240，E X3=180，E X4=260，E X5=320，
D (X1)=225，D (X2)=240，D (X3)=225，D (X4)=265，D (X5)=270，
利用数学期望的性质3°有

利用方差的性质3°有

（2）设商店仓库储存a公斤该产品，使得
P {Y ≤ a}>0.99
由相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，并注意到（1），得
Y～ N（1200，1225）

查标准正态分布表知

∴ a至少取1282.

24． 卡车装运水泥，设每袋水泥重量（以公斤计）服从N（50,2.52）问最多装多少袋水泥使总重量超过2000的概率不大于0.05.
解：已知X～N（50,2.52）不妨设最多可装A袋水泥才使总重量超过2000的概率不大于0.05.则由期望和方差的性质得Y=AX～N（50A,2.52A）.故由题意得
P {Y≥2000}≤0.05
即 解得A≥39.
29. 设随机变量X和Y的联合分布为：
X
Y
－1
0
1
－1

0

0

1

验证：X和Y不相关，但X和Y不是相互独立的。
证：∵ P [X=1 Y=1]= P [X=1]= P [Y=1]=
P [X=1 Y=1]≠P [X=1] P [Y=1]
∴ X，Y不是独立的
又 E (X )=－1×+0×+1×=0
E (Y )=－1×+0×+1×=0
COV(X, Y )=E{[X－E (X )][Y－E (Y )]}= E (XY )－EX·EY
= (－1)(－1) +(－1)1×+1×(－1)×+1×1×=0
∴ X，Y是不相关的
32. 设随机变量（X1，X2）具有概率密度。
， 0≤x≤2, 0≤y≤2
求 E (X1)，E (X2)，COV（X1，X2），
解：

D (X1+X2)= D (X1)+ D (X2)+2COV(X1, X2)
=
33.设X～N（μ，σ 2），Y～N（μ，σ 2），且X，Y相互独立。试求Z1= αX+βY和Z2= αX－βY的相关系数（其中是不为零的常数）.
解：由于X，Y相互独立
Cov(Z1, Z2)=E(Z1,Z2)－E(Z1) E(Z2)=E (αX+βY ) (αX－βY )－(αEX+βEY ) (αEX－βEY )
=α2EX 2－βEY 2－α2 (EX ) 2+β(EY ) 2=α2DX－β 2DY=(α2－β 2) σ 2
DZ1=α2DX+β 2DY=(α2+β 2) σ 2, DZ2=α2DX+β 2DY=(α2+β 2) σ 2,
(利用数学期望的性质2°3°)
故
36. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700，利用契比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200～9400之间的概率p.
解：由题意知μ=7300,σ=700，则由契比雪夫不等式