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第五讲 最大公约数与最小公倍数【知识导引】 一、约数的概念与最大公约数约数又叫因数(在正整数范围内）整数a能被整数b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。最大公约数:如果一个数既是数a的约数，又是数b的约数，称为a,b的约数。几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数,其中最大的一个叫做这几个数的最大 公因数。 1. 求最大公约数的方法 分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。 例如：2313711=，22252237=，所以(231,252)3721=； 短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘。例如：21812 39632 ，所以(12,18)236=； 辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。那么，最后一个除数就是所求的最大公约数(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)。例如，求600和1515的最大公约数：15156002315=L；6003151285=L；315285130=L；28530915=L；301520=L；所以1515和 600的最大公约数是15。 2. 最大公约数的性质 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； 几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； 几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n。 3. 求一组分数的最大公约数 先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求 出各个分数的分子的最大公约数b；b a即为所求。 二、倍数的概念与最小公倍数 对于整数m，能被n整除（n/m）,那么m就是n的倍数。如15能够被3或5整除，我们就说15是3的倍数，也是5的倍数。几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数,其中 最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。 undefined1. 求最小公倍数的方法 分解质因数法求最小公倍数 例如：2313711=，22252237=，所以22231,252237112772=； 短除法求最小公倍数 例如：21812 39632 ，所以18,12233236=； 公式法：,(,) ab abab= 2. 最小公倍数的性质 两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。 两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积。 两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数。 3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤 先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各个分数分母 的最大公约数b；ba即为所求。例如：353,515 ,412(4,12)4= 注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数。例如： ()1,414,4232,3= 三、最大公约数与最小公倍数的常用性质 1. 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。 如果m为A、B的最大公约数，且Ama=，Bmb=，那么ab、互质，所以A、B的最小公倍数为mab，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系： ABmambmmab=，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积； 最大公约数是A、B、AB+、AB-及最小公倍数的约数。 2. 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积，即(,),ababab=。 3. 对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为： 奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数，例如：567210=，210就是567的最小公倍数。 偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍，例如：678336=，而6,7,8的最小公倍数为3362168= 几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大。 【例题解析】 【A组基础夯实】 例1 两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？ 解：由ab=a，b（a，b）可得：另一个数为，252428=36 答：另一个数是36。 例2 求437与323最大公约数是多少？ 解：运用辗转相除法：437323=1114；323114=295；11495=119,9519=5， 那么（437,323）=19 答：437与323的最大公约数是19。 例3 已知两个数的最大公约数是20，最小公倍数560，符合条件的两个数中差最小的两个数各是多少？ 解：由题意可得：56020=28=128=47，显然4与7之间差最小，207=140,204=80 答：符合条件的两个数中差最小的数是80和140。 例4 有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？ 解：最多可以分成(336,252,210)42=（份） 每份中有苹果33642=8（个） 每份中有桔子25242=6（个） 每份中有梨21042=5（个） 答：最多可以分成42份，每份中有苹果8个，有桔子6个，有梨5个。 【B组能力提升】 例1 已知两个自然数的差为2，它们的最小公倍数与最大公约数之间差为142，求这两个自然数。 解：由题意可得：两个自然数的差为2的自然数的最大公约数只有两种可能：一个为1，一个为2 （1）当两个数互质时，1（1+142）=1143=1113； （2）当两个自然数最大公约数为2时，2（142+2）=2144=1618， 所以这两个自然数是11和13或者16和18。