第一部分：函数图像中的存在性问题.doc

第一部分：函数图象中点的存在性问题（1）（含答案）
※1.1因动点产生的相似三角形问题
1：在平面直角坐标系中，将抛物线沿轴向上平移1个单位，再沿轴向右平移两个单位，平移后抛物线的顶点坐标记作A，直线与平移后的抛物线相交于B，与直线OA相交于C．
（1）求△ABC面积；
（2）点P在平移后抛物线的对称轴上，如果△ABP与△ABC相似，求所有满足条件的P点坐标．
x
y
0

2：如图所示，抛物线(m>0)的顶点为A，直线l：与y轴交点为B.
（1）写出抛物线的对称轴及顶点A的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）证明点A在直线l上，并求∠OAB的度数；
（3）动点Q在抛物线对称轴上，问抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、A为顶点的三角形与⊿OAB全等？若存在，求出m的值，并写出所有符合上述条件的P点坐标；若不存在，请说明理由.

3：如图，抛物线经过三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标．
O
x
y
A
B
C
4

1

（第26题图）

4.已知：抛物线(a≠0)，顶点C (1，)，与x轴交于A、B两点，．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点P为线段AB上一个动点(P与A、B两点不重合)，过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断是否为定值? 若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．

C
O
x
A
D
P
M
E
B
N
y

（3）在(2)的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP ，FG分别与边AE、BE相交于点F、G(F与A、E不重合，G与E、B不重合)，请判断是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

5.将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，，，．动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动，运动秒时，动点从点出发以相等的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点的运动时间为（秒）．
（1）用含的代数式表示；
（2）当时，如图1，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，求点的坐标；
（3）连结，将沿翻折，得到，如图2．问：与能否平行？与能否垂直？若能，求出相应的值；若不能，说明理由．
图1
O
P
A
x
B
D
C
Q
y

图2
O
P
A
x
B
C
Q
y
E

6.如图，抛物线y＝a(x＋1)(x－5)与x轴的交点为M、N．直线y＝kx＋b与x轴交于P(－2，0)，与y轴交于C．若A、B两点在直线y＝kx＋b上，且AO=BO=，AO⊥BO．D为线段MN的中点，OH为Rt△OPC斜边上的高．
(1)OH的长度等于___________；k＝___________，b＝____________；
(2)是否存在实数a，使得抛物线y＝a(x＋1)(x－5)上有一点E，满足以D、N、E为顶点的三角形与△AOB相似?若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点(简要说明理由)；并进一步探索对符合条件的每一个E点，直线NE与直线AB的交点G是否总满足PB·PG＜，写出探索过程．
A

H
C
B
y
(

-2
M
O
D
N
x
P

参考答案：
1.1因动点产生的相似三角形问题

1：解：平移后抛物线的解析式为．……………………2分
∴A点坐标为（2，1），………………………………………………………1分
设直线OA解析式为，将A（2，1）代入
得，直线OA解析式为，
将代入得，∴C点坐标为（3，）．…………………1分
将代入得，∴B点坐标为（3，3）．………1分
∴……………………………………………………………………2分

（2）∵PA∥BC，∴∠PAB=∠ABC
1°当∠PBA=∠BAC时，PB∥AC，∴四边形PACB是平行四边形，
∴．………………………………………1分
x
y
0
A
B
C
P
∴．………………………………………………1分
2°当∠APB=∠BAC时，
，∴．
又∵，
∴………………………………………………1分
∴……………………………………………1分
综上所述满足条件的点有，．……………………………1分
2：解：（1）对称轴： --------1分
顶点:A()--------1分
(2)将 代入函数，得
--------1分
∴点A()在直线l上. --------1分
当x=0时，y=- m ，∴B(0,-m) --------1分
tan∠OAB=，∴∠OAB=30°. --------1分
(3) 以点P、Q、A为顶点的三角形与⊿OAB全等共有以下四种情况：
①当∠AQP=90°，PQ=,AQ=m时,如图1，此时点P在y轴上，与点B重合，其坐标为（0，-m）,代入抛物线得
，∵m>0，∴m=
这时有--------1分
其关于对称轴的对称点也满足条件. --------1分
②当∠AQP=90°，PQ=m,AQ=时
点P坐标为（）,代入抛物线得
，∵m>0，∴m=
这时有--------1分
还有关于对称轴的对称点.--------1分
③当∠APQ=90°，AP=,PQ=m时
点P坐标为（）,代入抛物线得
，∵m>0，∴m=2
这时有--------1分
还有关于对称轴的对称点.--------1分
④当∠APQ=90°，AP =m, PQ =时
点P坐标为（）,代入抛物线得
，∵m>0，∴m=
这时有--------1分
还有关于对称轴对称的点.--------1分
所以当m=时，有点、；
当m=时，有点、；
当m=2时，有点、；
当m=时，有点、.
3. 解：（1）该抛物线过点，可设该抛物线的解析式为．
将，代入，
得解得
此抛物线的解析式为． （3分）
（2）存在． （4分）
如图，设点的横坐标为，
O
x
y
A
B
C
4

1

（
D
P
M
E
则点的纵坐标为，
当时，
，．
又，
①当时，
，
即．
解得（舍去），． （6分）
②当时，，即．
解得，（均不合题意，舍去）
当时，． （7分）
类似地可求出当时，． （8分）
当时，．
综上所述，符合条件的点为或或． （9分）
（3）如图，设点的横坐标为，则点的纵坐标为．
过作轴的平行线交于．
由题意可求得直线的解析式为． （10分）
点的坐标为．
． （11分）
．
当时，面积最大．
． （13分）

4. 解：(1)设抛物线的解析式为 1分
将A(－1，0)代入: ∴ 2分
∴ 抛物线的解析式为，即： 3分
（2）是定值， 4分
∵ AB为直径，∴ ∠AEB=90°，∵ PM⊥AE，∴ PM∥BE
∴ △APM∽△ABE，∴ ①
同理: ② 5分
① + ②: 6分
（3）∵ 直线EC为抛物线对称轴，∴ EC垂直平分AB
∴ EA=EB
∵ ∠AEB=90°
∴ △AEB为等腰直角三角形．
∴ ∠EAB=∠EBA=45° 7分
如图，过点P作PH⊥BE于H，
由已知及作法可知，四边形PHEM是矩形，
∴PH=ME且PH∥ME
在△APM和△PBH中
∵∠AMP=∠PHB=90°， ∠EAB=∠BPH=45°
∴ PH=BH
且△APM∽△PBH
∴
∴ 　① 8分
在△MEP和△EGF中，
∵ PE⊥FG， ∴ ∠FGE+∠SEG=90°
∵∠MEP+∠SEG=90° ∴ ∠FGE=∠MEP
∵ ∠PME=∠FEG=90° ∴△MEP∽△EGF
∴ 　　　　②
由①、②知： 9分
（本题若按分类证明，只要合理，可给满分）
5. 解：（1），．
图1
O
P
A
x
B
D
C
Q
y
图2
O
P
A
x
B
C
Q
y

图3
O
F
A
x
B
C
y
E
Q
P

（2）当时，过点作，交于，如图1，
则，，
，．
（3）①能与平行．
若，如图2，则，
即，，而，
．
②不能与垂直．
若，延长交于，如图3，
则．
．

．
又，，
，
，而，
不存在．
6. 解：(1)OH＝1；k＝，b＝；

A

H
C
B
y

-2
M
O
D
N
x
P

(2)设存在实数a，是抛物线y＝a(x＋1)(x－5)上有一点E，满足以D、N、E为顶点的三角形与等腰直角△AOB相似
∴以D、N、E为顶点的三角形为等腰直角三角形，且这样的三角形最多只有两类，一类是以DN为直角边的等腰直角三角形，另一类是以DN为斜边的等腰直角三角形．
①若DN为等腰直角三角形的直角边，则ED⊥DN．
由抛物线y＝a(x＋1)(x－5)得：M(－1，0)，N(5，0)
∴D(2，0)，∴ED＝DN＝3，∴E的坐标是(2，3)．
把E(2，3)代入抛物线解析式，得a＝
∴抛物线解析式为y＝(x＋1)(x－5)
即y＝x2＋x＋
②若DN为等腰直角三角形的斜边，则DE⊥EN，DE＝EN．
∴E的坐标为(3.5，1.5)
把E(3.5，1.5)代入抛物线解析式，得a＝．
∴抛物线解析式为y＝(x＋1)(x－5)，即y＝x2＋x＋
当a＝时，在抛物线y＝x2＋x＋上存在一点E(2，3)满足条件，如果此抛物线上还有满足条件的E点，不妨设为E’点，那么只有可能△DE’N是以DN为斜边的等腰直角三角形，由此得E’(3.5，1.5)．显然E’不在抛物线y＝x2＋x＋上，因此抛物线y＝x2＋x＋上没有符合条件的其他的E点．
当a＝时，同理可得抛物线y＝x2＋x＋上没有符合条件的其他的E点．
当E的坐标为(2，3)，对应的抛物线解析式为y＝x2＋x＋时．
∵△EDN和△ABO都是等腰直角三角形，∴∠GNP＝∠PBO＝45°．
又∵∠NPG＝∠BPO，∴△NPG∽△BPO．
∴，∴PB·PG＝PO·PN＝2×7＝14，∴总满足PB·PG＜．
当E的坐标为(3.5，1.5)，对应的抛物线解析式为y＝x2＋x＋时，
同理可证得：PB·PG＝PO·PN＝2×7＝14，∴总满足PB·PG＜．

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