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一枚邮票与悖论画
陈翠花 周志鹏
（河南师范大学数学与信息科学学院 453007）

图 2
图1
图1这枚邮票是奥地利1981年9月14日为了纪念当年在奥地利因斯布鲁克(Innsbruck)召开的第10次国际数学会议而发行的.它上面描绘的是一个“空间不可能体”（Impossible construction of cube）.您看，这“形”似四棱柱的几何体中充满了“不可能”:从上面看，本来是位于前后的两条对棱，到了下面却鬼使神差地交换了位置.这种“奇怪”的现象之根源，就是“错误连接”.“空间不可能体”最早出现在M·C·埃舍尔的《观景楼》中（图2）.您仔细观察这个观景楼台阶旁边坐着的那个人，他手中拿的就是如图1的“空间不可能体”，眼前的地上放着的那张纸上画的还是“空间不可能体”.再看楼上和楼下的柱子，除了左、右两边的四根外，其余的就象“空间不可能体”一样，几乎全都被“错误连接”.我们把这种画叫作悖论画.把它叫做悖论画，是因为它与我们熟悉的罗素悖论具有联袂关系.
图 3
我们知道，19世纪末，第二次数学危机已经基本结束，数学大厦建立在了集合论这一基础之上，数学的前景仿佛一片大好.1900年在法国巴黎召开的第二届国际数学家大会上，庞加莱兴致勃勃地宣告：“完全的严格性已经达到了！”孰不知，平静的水面隐藏着暗流的涌动.就在大会后的第二年，罗素悖论犹如晴空霹雷，使得数学家们为之惶恐失措.而由它引发的第三次数学危机更是震惊数学界.不仅如此，它还影响到了艺术界，激发了艺术家的想象力，为艺术家提供了创作的源泉.其中《观景楼》就是杰出的例证.
《观景楼》完成于1958年.埃舍尔的这幅作品与他以前所作的风景画、镶嵌画等风格完全不同.他受罗素悖论的启发，打破了以往常规的绘画方式，使得《观景楼》似是而非、自相矛盾，让人看了难以置信.所以，悖论画当时不知迷惑了多少人，直到现在还会让人“雾里看花”.著名的物理学家R·彭罗斯在埃舍尔作品的启示下，1958年发明了“彭罗斯三杆”（如图3）.继而埃舍尔又创作了《上升与下降》、《瀑布》等作品.在这些作品中，埃舍尔都运用了“错误连接”.
总之，悖论画的问世是罗素悖论出现的产物，是数学在绘画艺术中的成功运用.如果把理发师悖论作为罗素悖论的一种通俗解释的话，那么悖论画就是对罗素悖论的一种直观诠释.艺术与数学的这种联袂，使得二者互惠互利、共同发展，携手描绘着“悖论”这一朵迷人的奇葩.这也许就是发行这张邮票作为纪念国际数学会议的缘故吧.
数学教学2008年第3期49页 华东师范大学上海《数学教学》杂志社200062
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