万有引力定律的典型例题剖析.doc

万有引力的典型例题剖析葛亚苹一、重力加速度的问题1关于重力 (1)在地面上，忽略地球自转时，认为物体的向心力为零各处位置均有 (2)由于 非常小，所以对一般问题的研究认为，2重力加速度 (1)任意星球表面的重力加速度：在星球表面处，由于万有引力近似等于重力， (R为星球半径，M为星球质量)(2)星球上空某一高度h处的重力加速度： 随着高度的增加，重力加速度逐渐减小【例1】英国新科学家杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径R约为45 km，质量M和半径R的关系满足(其中c为光速，G为引力常量)，则该黑洞表面重力加速度的数量级为()A108 m/s2 B1010 m/s2C1012 m/s2 D1014 m/s2解析：对黑洞表面附近一个物体m 有得 m/s2【例2】利用航天飞机，宇航员可以到太空维修出现故障的人造地球卫星已知一颗人造地球卫星在离地高度一定的圆轨道上运行当航天飞机接近这颗卫星并与它运行情况基本相同时，速度达到了6.4 km/s.取地球半径为R6 400 km，地球表面的重力加速度为g9.8 m/s2，试求这颗卫星离地面的高度解析万有引力提供人造地球卫星运行所需的向心力 在地球表面有 由以上两式 解得 , 代入数据可得m二、天体质量密度的计算1解决天体圆周运动问题的一般思路利用万有引力定律解决天体运动的一般步骤 (1)两条线索万有引力提供向心力FFn.重力近似等于万有引力提供向心力(2)两组公式 (为轨道所在处重力加速度)2天体质量和密度的计算(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R. 由于，故天体质量，天体密度.(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r进行计算由万有引力等于向心力，即，得出中心天体质量；若已知天体的半径R，则天体的密度；若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度【例3】 已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g.某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：同步卫星绕地心做圆周运动，由,得.(1)请判断上面的结果是否正确，并说明理由如不正确，请给出正确的解法和结果(2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果解析：天体质量、密度的两种计算方法：万有引力提供向心力 对同步卫星有，得对月球有，得重力近似等于万有引力提供向心力对地球表面附近一物体有，得三、人造卫星问题1人造卫星的动力学特征万有引力提供向心力，即2人造卫星的运动学特征(1)线速度：由得，随着轨道半径的增大，卫星的线速度减小(2)角速度：由得，随着轨道半径的增大，卫星的角速度减小(3)周期：由，得，随着轨道半径的增大，卫星的运行周期增大3 卫星的稳定运行与变轨运行分析(1)什么情况下卫星稳定运行？卫星所受万有引力恰等于做匀速圆周运动的向心力时，将保持匀速圆周运动满足的公式：.(2)变轨运行分析：当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力就不再等于所需的向心力，卫星将做变轨运行当v增大时，所需向心力增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加当卫星的速度突然减小时，向心力减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由知其运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少(卫星的发射和回收就是利用了这一原理)【例4】假设将来人类登上了火星，考察完毕后，乘坐一艘宇宙飞船从火星返回地球时，经历了如图所示的变轨过程，则有关这艘飞船的下列说法，正确的是A飞船在轨道I上运动时的机械能大于在轨道II上运动时的机械能B飞船在轨道II上运动时，经过P点时的速度大于经过Q点时的速度 C飞船在轨道III上运动到P点时的加速度等于飞船在轨道II上运动到P点时的加速度D飞船绕火星在轨道I上运动的周期跟飞船返回地面的过程中绕地球以轨道I同样的轨道半径运动的周期相同解析：飞船从轨道I到轨道II，需要在P点加速，故轨道II上运动时的机械能大于轨道I上运动时的机械能，A错。根据开普勒定律知飞船在轨道上运动时，距火星最近的P点速度大于最远的Q点速度,B正确。不管在哪个轨道上飞船在P点受到的万有引力是相等的，为飞船提供加速度，所以加速度相等，C正确。飞船运动的周期为，可见周期不仅与轨道半径有关，还与中心星的质量有关，D错误。2（2014山东省枣庄模拟）2013年6月13日13时18分，“神舟10号”载人飞船成功与“天宫一号”目标飞行器交会对接如图所示，“天宫一号”对接前从圆轨道变至圆轨道，已知地球半径为R，轨道距地面高度h，轨道距地面高度h2，则关于“天宫一号”的判断正确的是4两个行星的质量分别为m1和m2，它们绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，若它们只受太阳引力的作用，那么这两个行星的向心加速度之比为()A1 B.C. D.4D设行星m1、m2的向心力分别是F1、F2，由太阳、行星之间的作用规律可得：F1，F2，而a1，a2，故，D项正确1（2014年3月北京市东城区联考）2013年6月20日，我国首次实现太空授课，航天员王亚平在飞船舱内与地面学生实时交流了51分钟。设飞船舱内王亚平的质量为m，用R表示地球的半径，用r表示飞船的轨道半径，g表示地球表面处的重力加速度，g 表示飞船所在处的重力加速度，用F表示飞船舱内王亚平受到地球的引力，则下列关系式中正确的是Ag=0 Bg= g CF=mg D1环绕速度与发射速度的比较近地卫星的环绕速度v 7.9 km/s，通常称为第一宇宙速度，它是地球周围所有卫星的最大环绕速度，是在地面上发射卫星的最小发射速度不同高度处的人造卫星在圆轨道上的运行速度v ，其大小随半径的增大而减小但是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，所以将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大【例4】 我国成功发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”设该卫星的运行轨道是圆形的，且贴近月球表面已知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为()A0.4 km/s B1.8 km/s C11 km/s D36 km/s