万有引力定律的典型例题剖析.doc

万有引力的典型例题剖析
葛亚苹
一、重力加速度的问题
1．关于重力
(1)在地面上，忽略地球自转时，认为物体的向心力为零．各处位置均有
(2)由于 非常小，所以对一般问题的研究认为，
2．重力加速度
(1)任意星球表面的重力加速度：在星球表面处，由于万有引力近似等于重力，
(R为星球半径，M为星球质量)
(2)星球上空某一高度h处的重力加速度：
随着高度的增加，重力加速度逐渐减小．
【例1】英国《新科学家》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650—500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径R约为45 km，质量M和半径R的关系满足＝(其中c为光速，G为引力常量)，则该黑洞表面重力加速度的数量级为(　　)
A．108 m/s2 B．1010 m/s2
C．1012 m/s2 D．1014 m/s2
解析：　对黑洞表面附近一个物体m 有
得 m/s2
【例2】利用航天飞机，宇航员可以到太空维修出现故障的人造地球卫星．已知一颗人造地球卫星在离地高度一定的圆轨道上运行．当航天飞机接近这颗卫星并与它运行情况基本相同时，速度达到了6.4 km/s.取地球半径为R＝6 400 km，地球表面的重力加速度为g＝9.8 m/s2，试求这颗卫星离地面的高度．
解析　万有引力提供人造地球卫星运行所需的向心力
在地球表面有
由以上两式 解得 , 代入数据可得m
二、天体质量密度的计算
1．解决天体圆周运动问题的一般思路
利用万有引力定律解决天体运动的一般步骤
(1)两条线索
①万有引力提供向心力F＝Fn.
②重力近似等于万有引力提供向心力．
(2)两组公式
①
② (为轨道所在处重力加速度)
2．天体质量和密度的计算
(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
由于，故天体质量，天体密度.
(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r进行计算．
①由万有引力等于向心力，即，得出中心天体质量；
②若已知天体的半径R，则天体的密度；
③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
【例3】 已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g.某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：同步卫星绕地心做圆周运动，由,得.
(1)请判断上面的结果是否正确，并说明理由．如不正确，请给出正确的解法和结果．
(2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果．
解析：天体质量、密度的两种计算方法：
①万有引力提供向心力
对同步卫星有，得
对月球有，得
②重力近似等于万有引力提供向心力
对地球表面附近一物体有，得
三、人造卫星问题
1．人造卫星的动力学特征
万有引力提供向心力，即
2．人造卫星的运动学特征
(1)线速度：由得，随着轨道半径的增大，卫星的线速度减小．
(2)角速度：由得，随着轨道半径的增大，卫星的角速度减小．
(3)周期：由，得，随着轨道半径的增大，卫星的运行周期增大．
3． 卫星的稳定运行与变轨运行分析
(1)什么情况下卫星稳定运行？
卫星所受万有引力恰等于做匀速圆周运动的向心力时，将保持匀速圆周运动．
满足的公式：.
(2)变轨运行分析：
当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力就不再等于所需的向心力，卫星将做变轨运行．
①当v增大时，所需向心力增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加．
②当卫星的速度突然减小时，向心力减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由知其运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少(卫星的发射和回收就是利用了这一原理)．
【例4】假设将来人类登上了火星，考察完毕后，乘坐一艘宇宙飞船从火星返回地球时，经历了如图所示的变轨过程，则有关这艘飞船的下列说法，正确的是

A．飞船在轨道I上运动时的机械能大于在轨道II上运动时的机械能
B．飞船在轨道II上运动时，经过P点时的速度大于经过Q点时的速度
C．飞船在轨道III上运动到P点时的加速度等于飞船在轨道II上运动到P点时的加速度
D．飞船绕火星在轨道I上运动的周期跟飞船返回地面的过程中绕地球以轨道I同样的轨道半径运动的周期相同
解析：飞船从轨道I到轨道II，需要在P点加速，故轨道II上运动时的机械能大于轨道I上运动时的机械能，A错。根据开普勒定律知飞船在轨道上运动时，距火星最近的P点速度大于最远的Q点速度,B正确。不管在哪个轨道上飞船在P点受到的万有引力是相等的，为飞船提供加速度，所以加速度相等，C正确。飞船运动的周期为，可见周期不仅与轨道半径有关，还与中心星的质量有关，D错误。

2．（2014山东省枣庄模拟）2013年6月13日13时18分，“神舟10号”载人飞船成功与“天宫一号”目标飞行器交会对接．如图所示，“天宫一号”对接前从圆轨道Ⅰ变至圆轨道Ⅱ，已知地球半径为R，轨道Ⅰ距地面高度h１，轨道Ⅱ距地面高度h2，则关于“天宫一号”的判断正确的是

4．两个行星的质量分别为m1和m2，它们绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，若它们只受太阳引力的作用，那么这两个行星的向心加速度之比为(　　)
A．1 B.
C. D.
4．D　[设行星m1、m2的向心力分别是F1、F2，由太阳、行星之间的作用规律可得：F1∝，F2∝，而
a1＝，a2＝，故＝，D项正确．]
1．（2014年3月北京市东城区联考）2013年6月20日，我国首次实现太空授课，航天员王亚平在飞船舱内与地面学生实时交流了51分钟。设飞船舱内王亚平的质量为m，用R表示地球的半径，用r表示飞船的轨道半径，g表示地球表面处的重力加速度，g′ 表示飞船所在处的重力加速度，用F表示飞船舱内王亚平受到地球的引力，则下列关系式中正确的是
A．g′=0 B．g’= g
C．F=mg D．

1．环绕速度与发射速度的比较
近地卫星的环绕速度v＝ ＝＝7.9 km/s，通常称为第一宇宙速度，它是地球周围所有卫星的最大环绕速度，是在地面上发射卫星的最小发射速度．
不同高度处的人造卫星在圆轨道上的运行速度v＝ ，其大小随半径的增大而减小．但是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，所以将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大．

【例4】 我国成功发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”．设该卫星的运行轨道是圆形的，且贴近月球表面．已知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为(　　)
A．0.4 km/s B．1.8 km/s C．11 km/s D．36 km/s