浙江省2013年高考数学第二轮复习-专题升级训练27-解答题专项训练(立体几何)-文.doc

专题升级训练27　解答题专项训练(立体几何)
1．下图是一个几何体的直观图及它的三视图(其中正(主)视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧(左)视图为直角三角形，尺寸如图所示)．

(1)求四棱锥P－ABCD的体积；
(2)若G为BC的中点，求证：AE⊥PG.
2．有一根长为3π cm，底面半径为2 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？
3．如图，AA1，BB1为圆柱OO1的母线，BC是底面圆O的直径，D，E分别是AA1，CB1的中点，DE⊥平面CBB1.

(1)证明：DE∥平面ABC；
(2)求四棱锥C－ABB1A1与圆柱OO1的体积比．
4．如图所示，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=AD=2，G是EF的中点．

(1)求证：平面AGC⊥平面BGC；
(2)求三棱锥A－GBC的体积．
5．已知正四面体ABCD(图1)，沿AB，AC，AD剪开，展成的平面图形正好是(图2)所示的直角梯形A1A2A3D(梯形的顶点A1，A2，A3重合于四面体的顶点A)．
(1)证明：AB⊥CD；
(2)当A1D＝10，A1A2＝8时，求四面体ABCD的体积．

6．如图，已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN，M，D，S分别为PB，AB，BC的中点．

(1)求证：PA∥平面CDM；
(2)求证：SN⊥平面CDM.
7．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．

(1)求证：MN∥平面BCC1B1；
(2)求证：MN⊥平面A1B1C；
(3)求三棱锥M－A1B1C的体积．
8．一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M，G分别是AB，DF的中点．
(1)求证：CM⊥平面FDM；
(2)在线段AD上(含A，D端点)确定一点P，使得GP∥平面FMC，并给出证明．

参考答案
1．解：(1)由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥面ABCD，PA∥EB，且PA＝4，BE＝2，AB＝AD＝CD＝CB＝4，所以VP－ABCD＝PA·S正方形ABCD＝×4×4×4＝.
(2)证明：连接BP.
因为＝＝，∠EBA＝∠BAP＝90°，
所以△EBA∽△BAP，所以∠PBA＝∠AEB，
所以∠PBA＋∠BAE＝∠BEA＋∠BAE＝90°，
所以PB⊥AE.
由题易证BC⊥平面APEB，
所以BC⊥AE.
又因为PB∩BC＝B，
所以AE⊥平面PBC，
因为PG⊂平面PBC，所以AE⊥PG.
2．解：把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图)，由题意知BC＝3π cm，AB＝4π cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度．AC＝＝5π(cm)，

故铁丝的最短长度为5π cm.
3．(1)证明：连接EO，OA.
∵E，O分别为B1C，BC的中点，
∴EO∥BB1.

又DA∥BB1，且DA=EO=BB1.
∴四边形AOED是平行四边形，
即DE∥OA.又DE平面ABC，AO⊂平面ABC，∴DE∥平面ABC.
(2)解：由题意知DE⊥平面CBB1，且由(1)知DE∥OA，
∴AO⊥平面CBB1，∴AO⊥BC，
∴AC=AB.因BC是底面圆O的直径，得CA⊥AB.而AA1⊥CA，AA1∩AB=A，∴CA⊥平面AA1B1B，即CA为四棱锥的高．
设圆柱高为h，底面半径为r，
则V柱=πr2h，V锥=h(r)·(r)=hr2，
∴V锥∶V柱=.
4．(1)证明：∵G是矩形ABEF的边EF的中点，
∴AG＝BG＝＝2，
从而得：AG2＋BG2＝AB2，∴AG⊥BG.
又∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，且BC⊥AB，
∴BC⊥平面ABEF.∵AG⊂平面ABEF，∴BC⊥AG.
∵BC∩BG＝B，∴AG⊥平面BGC，
∵AG⊂平面AGC，
∴平面AGC⊥平面BGC.
(2)解：由(1)得：BC⊥平面ABEF，
∴CB是三棱锥A－GBC的高，
而S△ABG＝×2×2＝4，
∴VA－GBC＝VC－ABG＝×4×4＝.
5．(1)证明：在四面体ABCD中，
∵⇒AB⊥平面ACD⇒AB⊥CD.

(2)解：在题图2中作DE⊥A2A3于E.
∵A1A2=8，
∴DE=8.
又∵A1D=A3D=10，
∴EA3=6，A2A3=10+6=16.
又A2C=A3C，∴A2C=8.
即图1中AC=8，AD=10，
由A1A2＝8，A1B＝A2B得题图1中AB＝4.
∴S△ACD＝＝DE·A3C＝×8×8＝32.
又∵AB⊥面ACD，
∴VB－ACD＝×32×4＝.
6．证明：(1)在三棱锥P－ABC中，因为M，D分别为PB，AB的中点，所以MD∥PA.
因为MD⊂平面CMD，PA平面CMD，所以PA∥平面CMD.
(2)因为M，D分别为PB，AB的中点，所以MD∥PA.
因为PA⊥平面ABC，所以MD⊥平面ABC，
又SN⊂平面ABC，所以MD⊥SN.
在△ABC中，连接DS，因为D，S分别为AB，BC的中点，
所以DS∥AC且DS＝AC.
又AB⊥AC，所以∠ADS＝∠BAC＝90°.
因为AC＝AB，所以AC＝AD，
所以∠ADC＝45°，因此∠CDS＝45°.
又AB＝4AN，所以DN＝AD＝AC，
即DN＝DS，故SN⊥CD.
又MD∩CD＝D，所以SN⊥平面CMD.
7．(1)证明：连接BC1，AC1.由题知点N在AC1上且为AC1的中点．∵M是AB的中点，

∴MN∥BC1.
又∵MN平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1.
(2)证明：∵三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱与底面垂直，
∴四边形BCC1B1是正方形，
∴BC1⊥B1C，∴MN⊥B1C.
连接A1M，由∠ABC=∠MAA1=90°，BM=AM，BC=AA1得△AMA1≌△BMC.∴A1M=CM.又N是A1C的中点，∴MN⊥A1C.
∵B1C与A1C相交于点C，∴MN⊥平面A1B1C.
(3)解：由(2)知MN是三棱锥M－A1B1C的高．在直角△MNC中，，，∴.
又，∴=MN·=.
8．证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=a.

(1)∵FD⊥平面ABCD，CM⊂平面ABCD，
∴FD⊥CM.
在矩形ABCD中，CD=2a，AD=a，M为AB中点，DM=CM=a，∴CM⊥DM.
∵FD⊂平面FDM，DM⊂平面FDM，FD∩DM=D，∴CM⊥平面FDM.
(2)点P在A点处．
证明：取DC中点S，连接AS，GS，GA，
∵G是DF的中点，∴GS∥FC.
又AS∥CM，AS∩AG=A，
∴平面GSA∥平面FMC.而GA⊂平面GSA，
∴GP∥平面FMC.

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